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对数函数习题


习题精选一 一、选择题 1.已知 在 上是 的减函数,则 的取值范围是() A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D. 2.当 时,函数 和 的图象只可能是() 3.如果 ,那么 、 之间的关系是() A. B. C. D. 4.如图,曲线是对数函数 的图象,已知 的取值 ,则相应于曲线 的 值依次为( ). A. B. C. D.

9. 将

函数 的图象向左平移一个单位, 得到图象 , 再将 向上平移一个单位得到图象 , 作出 关于直线 的对称图象 ,则 的解析式为() A. B. C. D. 二、填空题 1.设 且 ,则函数 和 的图象关于_________对称;函数 与 的图象关于__________对称; 函数 和 的图象关于________对称. 3.已知 ,则 , , 由小到大的排列顺序是________. 8.已知奇函数 满足 ,当 时,函数 ,则 =____. 9.已知函数 ,则 与 的大小关系是_______. 10.函数 的值域为__________. 三、解答题 1.已知 ,且 , , ,试比较 与 的大小. 2.若 ( , ) ,求 为负值时, 的取值范围. 3.已知函数 ,证明: (1) 的图象关于原点对称; (2) 在定义域上是减函数 4.已知常数 ( )及变数 , 之间存在着关系式 (1)若 ( ) ,用 , 表示 (2)若 在范围 内变化时, 有最小值 8,则这时 的值是多少? 的值是多少? 5.若关于 的方程 的所有解都大于 1,求 的取值范围. 6.设对所有实数 ,不等式 恒成立,求 的取值范围. 7.比较大小: 与 ( ) . 8.求函数 的单调区间. 9.若 , 是两个不相等的正数, 是正的变量,又已知 的最小值是 ,求 的值. 10.设函数 且 . (1)求 的解析式,定义域;

(2)讨论 的单调性,并求 的值域. 11.一种放射性物质不断变化为其它物质,每经过一年剩留的质量约为原来的 84%,现 在这种物质 1 克,试写出其剩留质量随时间变化的函数关系式,如果 , ,你能算出大约经 过多少年,剩留的质量是原质量的一半吗? 12.某工厂 1994 年生产某种产品 2 万件,计划从 1995 年开始,每年的产量比上年增 长 20%,问从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万件? 13.已知 且 ,试求方程 有解时 的取值范围. 14.函数 ( )图象的对称轴方程为 ,求 的值. 参考答案: 一、1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.A 8.A 9.A 10.C 11.D 12.C 二、1. 轴; 轴;直线 2. 3. 4. 5. 为 或 6. 7. 或 8. 9. < 10. 三、1.解: ,则有: (1)当 或 时,得 或 ,都有 , ; (2)当 时, , , ; (3) 时, , , 综上可得:当 或 时, ; 当 时, ;当 时, 说明: 在分类时, 要做到不重不漏, 关键在于找准分类标准, 就此题而言, 分类标准为: 的底 且 ,又由于将 与 0 比较,则还有一个特殊值为 ,故应分为以下四种情况讨论: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 2.解:由已知得 ,即 ,两边同除 得 ,解得 ,或 (舍) ,对 两边取对数得: 当 时, ;当 时, 当 时, 说明:本题分类的标准是 , , ,它是由指数函数的单调性决定的 3.解: (1)证明: 的图象关于原点对称,等价于证明 是奇函数,又 的定义域为

是奇函数,它的图象关于原点对称 (2)设 ,则 , 又 ,故 在 上是减函数,又由(1)知 是奇函数,于是 在其定义域 上为减函数 4.解: (1)由换底公式可将原方程化为 ,若 ,则 ,故有 ,整理有 , ( ) (2)由 ( ) , , 时, 有最小值为 ,由已 知 , ,此时 5.解:由原方程可化为 ,变形整理有 (*) , ,由于方程(*)的根为正根,则 解之得 ,从而

说明:方程(*)不是关于 的方程,而是关于 的一元二次方程,故求出 的范 围,另外,解得 ,其中 是真数,不要忽略 6.解: 对任意 ,函数 值恒为正,则 设 ,则不等式组化为 ,解之得 ,即 , 说明:对所有实数 ,不等式恒成立的充要条件是二次项系数大于 0 且判别式 7.解: 是增函数, 当 时, ,则 当 时, ,则 当 时, ,则 8.解:设 , ,由 得 ,知定义域为 又 ,则当 时, 是减函数;当 时, 是增函数,而 在 上是减函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 9.解: 当 时, 有最小值为 由已知, , 或 10. (1) ; (2)在 上单调递增,在 上单调递减, . 11.解:设经过 年剩留的质量为 克,则 ( )即为所求函数关系式 当 时, ,则 大约经过 4 年,剩留的质量为原来质量的一半 12.解:由题目条件可得 , ,两边取以 1.2 为底的对数可得 , ,这家工厂从 2004 年开始,年产量超过 12 万件. 13.解:由对数函数的性质, 应满足 ,当(1) (3)成立时, (2)显然成立,故只需 解 , 由(1)得 (4) 当 ,由 知(4)无解,故原方程无解; 当 时, (4)的解是 (5) 将(5)代入(3)得 ,即 14.解:解法一:由于函数图象关于 对称,则 ,即 ,解得 , 或 又 , 解法二: 函数 的图象关于直线 对称,则函数 的图象关于 轴对称,则它为偶函数, 即 ,


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