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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:3.8 正弦定理、余弦定理应用举例

时间:2015-08-07


3.8 正弦定理、余弦定理应用举例

考点梳理

1.仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的 夹角, 目标视线在水平视线______ 目标视线在水平 上方 时叫仰角, 下方 的叫俯角.(如图所示) 视线______

2.方位角 一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角, 如方位 北偏东 4

5° ,即东北方向. 角 45° ,是指____________ 3.坡角 水平面 的夹角.(如图所示) 坡面与__________ 4.坡比 h 坡面的铅直高度与水平宽度之比, 即 i= =tanα(i 为坡比, l α 为坡角).

考点自测 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β, 则 α、β 的关系为( ) A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°

解析:如图所示,从 A 处望 B 处和从 B 处望 A 处视线均 为 AB.而 α,β 同为 AB 与水平线所成的角,因此 α=β. 答案:B

2.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A、B 间的距离, 给定下列四组数据,不能确定 A、B 间距离的是( ) A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b

解析: 选项 B 中由正弦定理可求 b,再由余弦定理可确定 AB.选项 C 中可由余弦定理确定 AB. 选项 D 同 B 类似,故选 A. 答案:A

3.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距 离相等, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10°

解析:由已知∠ACB=180° -40° -60° =80° , 又 AC=BC,∴∠A=∠ABC=50° ,60° -50° =10° . ∴灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10° . 答案:B

4.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的 俯角分别是 30° 、60° ,则塔高为__________m.

解析:如图所示,设塔高为 h m. 由题意及图可知: 200 (200-h)· tan60° = tan60° 400 解得:h= m. 3 400 答案: 3

5.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽 车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶, 同时摩托车以 50 km/h 的 速度由 B 向 C 行驶, 则运动开始________h 后, 两车的距离最 小.

解析:如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车 由 B 行驶到 E,则 AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD =200-80t,问题就是求 DE 最小时 t 的值. 由余弦定理: DE2 = BD2 + BE2 - 2BD· BEcos60° = (200 - 80t)2+2 500t2-(200-80t)· 50t=12 900t2-42 000t+40 000.当 70 t= 时,DE 最小. 43 70 答案: 43

疑点清源 1.解三角形的一般步骤 (1)分析题意,准确理解题意. 分清已知与所求, 尤其要理解应用题中的有关名词、 术语, 如坡度、仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图. (3)将需要解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合 理运用正弦定理、 余弦定理等有关知识正确求解. 演算过程中, 要算法简练,计算正确,并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍.

2.解斜三角形实际应用举例 (1)常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积 问题、航海问题、物理问题等. (2)解题时需注意的几个问题 ①要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这 些角; ②要注意将平面几何中的性质、 定理与正、 余弦定理结合 起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决.

题型探究 题型一 测量距离问题 例 1 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC= 30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离.

解析:如图所示在△ACD 中, ∠ACD=120° ,∠CAD= ∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° .

3sin75° 6+ 2 ∴BC= = . sin60° 2 △ABC 中,由余弦定理,得 ? 6+ 2? 6+ 2 ? ?2 2 2 AB =( 3) +? ×cos75° ? -2× 3× 2 2 ? ? =3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km). ∴A、B 之间的距离为 5 km.

点评: 求距离问题要注意: ①选定或确定要创建的三角形, 要首先确定所求量所在的三角形, 若其他量已知则直接解; 若 有未知量, 则把未知量放在另一确定三角形中求解. ②确定正 弦定理还是余弦定理, 如果都可用, 就选择更便于计算的定理.

变式探究 1 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25° 方向,从 A 出发有一条南偏东 35° 走向的公路,在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 处走, 走 20 千米 到达 D,此时测得 CD 为 21 千米,求此人在 D 处距 A 还有多 少千米?

解析:如图所示,易知∠CAD=25° +35° =60° ,在△BCD 中, 312+202-212 23 cosB= = , 31 2×31×20 12 3 所以 sinB= . 31 BCsinB 在△ABC 中,AC= =24, sinA 由 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA, 得 AB2-24AB-385=0,解得 AB=35, 所以 AD=AB-BD=15. 故此人在 D 处距 A 有 15 千米.

题型二 测量高度问题 例 2.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC =β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,求塔高 AB.

解析:在△BCD 中,∠CBD=π-α-β. BC CD 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD CDsin∠BDC s· sinβ 所以 BC= = . sin∠CBD sin?α+β? stanθsinβ 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= . sin?α+β?

点评:在测量高度时,要正确理解仰角、俯角的概念,画 出准确的示意图, 恰当地选取相关的三角形和正、 余弦定理逐 步进行求解. 注意综合应用方程和平面几何、 立体几何等知识.

变式探究 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后, 望见塔在东北方向, 若沿途测得塔的最大仰角为 30° , 求塔高.

解析:在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30° ,∠ DBC= 135° ,由正弦定理得 CD BD = , sin∠DBC sin∠BCD 40sin30° ∴BD= =20 2. sin135°

过 B 作 BE⊥CD 于 E,显然当人在 E 处时,测得塔的仰 角最大,有∠BEA=30° . 在 Rt△BED 中, ∠AEB=180° -135° -30° =15° . 6- 2 ∴BE=DBsin15° =20 2× =10( 3-1). 4 在 Rt△ABE 中,∠AEB=30° , 10 ∴AB=BEtan30° = (3- 3)(米). 3 10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3

题型三 测量角度问题 例 3.沿一条小路前进,从 A 到 B,方位角(从正北方向顺 时针转到 AB 方向所成的角)是 50° ,距离是 3 km,从 B 到 C, 方位角是 110° ,距离是 3 km,从 C 到 D,方位角是 140° ,距 离是(9+3 3) km.试画出示意图, 并计算出从 A 到 D 的方位角 和距离(结果保留根号).

解析:示意图如图所示, 连接 AC,在△ABC 中, ∠ABC=50° +(180° -110° )=120° , 又 AB=BC=3, ∴∠BAC=∠BCA=30° .

由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BCcos120° ? 1? ? - = 9+9-2×3×3×? ? 2? ? ? = 27=3 3(km). 在△ACD 中,∠ACD=360° -140° -(70° +30° )=120° , CD=3 3+9.

由余弦定理得 AD= AC2+CD2-2AC· CDcos120° ? 1? ? 2 - = 27+?3 3+9? -2×3 3×?3 3+9?×? ? 2? ? ? 9? 2+ 6? = (km). 2 CD· sin∠ACD 由正弦定理得 sin∠CAD= AD

3 ?3 3+9?× 2 2 = = . 2 9? 2+ 6? 2 ∴∠CAD=45° , 于是 AD 的方位角为 50° +30° +45° =125° , 9? 2+ 6? 所以, 从 A 到 D 的方位角是 125° , 距离为 km. 2

点评:解斜三角形应用题的一般步骤是: (1)准确理解题意,分清已知与所求; (2)依题意画出示意图; (3)分析与问题有关的三角形; (4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求 解问题的答案; (5)注意方程思想的运用; (6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识.

变式探究 3 在海岸 A 处, 发现北偏东 45° 方向, 距离 A( 3 -1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向, 距离 A 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度 追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向 北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私 船?

解析: 如图所示, 注意到最快追上走私船且两船所用时间 相等, 若在 D 处相遇, 则可先在△ABC 中求出 BC, 再在△BCD 中求∠BCD. 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2, ∠BAC=120° , ∴由余弦定理, 得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC

=( 3-1)2+22-2×( 3-1)×2×cos120° =6, ∴BC= 6,∵∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD 中,由正弦定理,得 BD· sin∠CBD 10tsin120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° . 即缉私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船.

题型四 平面几何中的综合应用

例 4.如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB 的延 长线上,BC=1,点 P 为半圆上的一个动点,以 DC 为边作等 边△PCD, 且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧, 求四边形 OPDC 面积的最大值.

解析:设∠POB=θ,四边形面积为 y, 则在△POC 中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP· OCcosθ=5-4cosθ. 1 3 ∴y=S△OPC+S△PCD= ×1×2sinθ+ (5-4cosθ) 2 4 ? π? ? ? 5 3 =2sin?θ-3?+ . 4 ? ? π π 5π 5 3 ∴当 θ- = ,即 θ= 时,ymax=2+ . 3 2 6 4 5 3 所以四边形 OPDC 面积的最大值为 2+ . 4

点评:平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、 面积的最值、 优化设计等问题, 这些问题通常是转化到三角形 中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些 具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三 角形的边或角用所设变量表示出来, 再利用正、 余弦定理列出 方程,解之.若研究最值,常使用函数思想.

变式探究 4 如图所示, 扇形 AOB, 圆心角 AOB 等于 60° , 半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线 和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ,求△POC 面积的最大值及此 时 θ 的值.

解析:∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60° -θ, ∠OCP=120° . OP CP 在△POC 中,由正弦定理得 = , sin θ sin∠PCO 2 CP 4 ∴ = ,∴CP= sinθ. sin120° sinθ 3 OC 2 4 又 = ,∴OC= sin(60° -θ). sin?60° -θ? sin120° 3

因此△POC 的面积为 1 S(θ)= CP· OCsin120° 2 1 4 4 3 = · sinθ· sin(60° -θ)× 2 3 2 3 ? 3 ? 4 4 1 ? = sinθsin(60° -θ)= sinθ? cosθ- sinθ? ? 2 3 3 ? 2 ? 2 3 3 2 =2sinθ· cosθ- sin θ=sin2θ+ cos2θ- 3 3 3 2 3 3 = sin(2θ+30° )- 3 3 3 ∴θ=30° 时,S(θ)取得最大值为 . 3

名师归纳 ?方法与技巧 1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三 角函数模型. 2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个平面上 利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.

?失误与防范 在解实际问题时,应正确理解如下角的含义. 1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角. 2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平 角. 3.坡度——坡面与水平面的二面角的度数. 4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平 视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时称为仰 角,目标视线在水平视线下方时称为俯角.

随堂检测

1.(2014· 潍坊调研)如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先 在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D, 测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是__________米.

BC CD 解析: 在△BCD 中, 由正弦定理, 得 = , sin∠BDC sin∠DBC 解得 BC=10 2米,∴在 Rt△ABC 中,塔 AB 的高是 10 6米. 答案:10 6

2.(2014· 东北联考)在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山峰, 山顶设有一个观察站 P.有一艘轮船按一固定方向匀速直线航 行,上午 11:00 时,测得此船在岛北偏东 15° 、俯角为 30° 的 B 处,到 11:10 时,又测得该船在岛北偏西 45° 、俯角为 60° 的 C 处.

(1)求船的航行速度; (2)求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离.

x 解析:(1)设船速为 x km/h,则 BC= km. 6 在 Rt△PAB 中,∠PBA 与俯角相等为 30° , 1 ∴AB= = 3(km). tan30° 1 3 同理,Rt△PCA 中,AC= = (km). tan60° 3 在△ACB 中,∠CAB=15° +45° =60° ,

∴由余弦定理得 BC= ? 3?
2

21 = (km), 3 21 ∴x=6× =2 21, 3 即船的航行速度为 2 21 km/h.

? +? ? ?

3 3? ?2 -2× 3× cos60° ? 3 3?

(2)作 AD⊥BC 于点 D,∴当船行驶到点 D 时,AD 最小, 从而 PD 最小. 3 3 3× × 3 2 AB· AC· sin60° 3 此时,AD= = = 7(km). BC 14 21 3 ?3 ? 259 ? ?2 ∴PD= 1+?14 7? = (km). 14 ? ? 259 ∴船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 14 km.


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