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抛物线练习题1

时间:2013-01-02


文科数学抛物线练习题 1
命题人 宋晓丽 1.设过抛物线的焦点 F 的弦为 PQ,则以 PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D. 以上答案均有可能 2.已知 A、B 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上两点,O 为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线 AB 的方程是( A. x ? p 3. 已知⊙ B. x ? 3 p 的圆心在抛物线 C : y ? C. x ? ) D. x ?

3 p 2

5 p 2

1 2 x 上, 且⊙ M 与 y 轴及 C 的准线相切, 则⊙ M 4

的方程是( ) A.

x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0

B. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0

C. x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0

4.抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上,则抛物线 的方程为________ 5 . 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两 点 , 如 果
2

x1 ? x2 ? 6 ,则|AB|的值为____________
2 6.抛物线 y ? x 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是__________

7.已知抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F,定点 A(3,2) ,在此抛物线上求一点 P,使|PA|+|PF|
2

最小,则 P 点坐标为_________ 8.过(-1,2)作直线与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点,则该直线的斜率为________
2

9.抛物线 y ? 2x 为一组斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程是 __________________
2

10.与椭圆 4 x ? 5 y ? 20 有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线方程是____________
2 2

11.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距 离等于 5,则抛物线的方程为 ,m 的值为 .

12.如图,已知动直线 l 经过点 P(4,0) ,交抛物线 y2=4x 于 A、B 两点,O 为原点. (Ⅰ )求证:AO⊥ BO; (Ⅱ 是否存在垂直于 x 轴的直线 l′被以 AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 ) 在,求出 l′的方程;若不存在,请说明理由

文科数学抛物线练习题 1 答案
1. B 2 . D 3. B 4. y 2 ? 16x或x 2 ? ?12y 9. x ? 5. 8 6.(1,1) 7.(2, 8. 0 或 ?1 ? 2 2)

1 1 ( y ? ) 10. y 2 ? ?4x 11. y 2 ? ?8x; m ? ?2 6 2 2

12. 证:①当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-4),

? y ? k ( x ? 4) 由? , 得ky 2 ? 4 y ? 16k ? 0 2 ? y ? 4x
设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ),? y1 y 2 ? ?

16 k ? ?16 k

? x1 x 2 ?

( y1 y 2 ) 2 162 ? =16 16 16

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

?

y1 x1

?

y2 x2

? ?1即k AO ? k BO ? ?1,? AO ? BO
y1 y 2 ? x1 x2

② 当l?x轴时,? x1 ? x2 , y1 ? ? y 2 ,? k AO ? k BO ?

??

y12 4x 4 ? ? 21 ? ? ? ?1 2 x1 x1 x1

? AO?BO

(Ⅱ)解:设 AP 的中点为 C,垂直于 x 轴的直线 l′的方程为 x=a,以 AP 为直径的圆 交 l′于 D、E 两点,DE 的中点为 H.

?| DC |?

1 1 1 | AP |? ( x1 ? 4) 2 ? y12 , | CH |? | ( x1 ? 2a) ? 4 |, 2 2 2 1 1 ?| DH | 2 ?| DC | 2 ? | CH | 2 ? [( x1 ? 4) 2 ? y12 ] ? [( x1 ? 2a) ? 4] 2 4 4 1 ? [( 4a ? 12) x1 ? 4a 2 ? 16 a] ? (a ? 3) x1 ? a 2 ? 4a 4

? 令a ? 3 ,则对任意满足条件的 x1 ,都有|DH|2= ? 9 ? 12 ? 3 (与 x1 无关) ,
即 | DE |? 2 3 为定值.? 所求直线 l′存在,其方程为 x=3.


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