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有关三角形重心的公式结论

时间:2015-01-07


三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心 x ? x ? x y ? y2 ? y3 ). 的坐标是 G ( 1 2 3 , 1 3 3 13.点的平移公式
' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ? ' ? ? ?y ? y ? k ?y ? y ? k 注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P' ( x' , y ' ) ,且

PP' 的坐标为 ( h, k ) . 14.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的函数解 析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C ' 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (4) 曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ' , 则 C ' 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 15. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 四.基本方法和数学思想 1.两个向量平行的充要条件,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), ? 为实数。 (1)向量式:a∥b(b ≠0) ? a= ? b;(2)坐标式:a∥b(b≠0) ? x1y2-x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a⊥b(b≠
2 2 2

0) ? a ? b=0; (2)坐标式:a⊥b ? x1x2+y1y2=0; 3.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b= a b cos? =x1x2+y1y2;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长 度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; 4.设 A(x1,x2) 、B(x2,y2),则 S⊿AOB= 1 x1 y 2 ? x 2 y1 ;
2

5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b=x1x2+y1y2; AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;
? (2)若 a=(x,y),则 a2=a ? a=x2+y2, a ? x2 ? y2 ;

五.高考题回顾 1.(浙江卷)已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |, 则 (A) a ⊥ e (B) a ⊥( a - e ) (C) e ⊥( a - e ) (D) ( a + e )⊥( a - e )

2. (江苏卷) 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点, 若 AM=2, 则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是________。 3. 已知 a ? 2, b ? 4, a与b的夹角为

?
3

,以a, b 为邻边作平行四边形 , 则此平行四边形

的两条对角线中较短的一条的长度


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