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第一章 集合与简易逻辑(集合)教案

时间:2015-04-24


第一章

集合与简易逻辑
集合的概念

第 1 课时

知识导图
? ()元素与集合的关系:属于( ?)和不属于(?) ?1 ? ? ? 2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ?集合与元素 ( ? ? ( ? 3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? 4)集合的

表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ( ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注? ? ? ? 关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ?集合与集合 ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ?交集 ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ?并集 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ?运算 ? ? ? Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B ) - Card ( A ? B ) ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: ? (CU A) ? A ? ?, (CU A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ), ? ? ? ? ? C ( A ? B ) ? ( C ? U U A) ? (CU B ) ? ? ? ? ?

教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的常 规处理方法. 教学重点:集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法. 教学难点:集合语言、集合思想的综合应用. 教学过程: (一)主要知识: 1.集合、子集、空集的概念; 2.集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法; 3.若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,真子集有 2 ? 1 ,非空子集有 2 ? 1 个,
n n n

非空真子集有 2 ? 2 个. (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么; 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的 3 个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化.
n

(三)例题分析: 例 1.选择题: (1)不能形成集合的是( ) (A)大于 2 的全体实数 (C)方程 y=3x+1 所对应的直线上的所有点

(B)不等式 3x-5<6 的所有解 (D)x 轴附近的所有点 ) (D){x} A )

(2)设集合 A ? {x | x ? 3 2}, x ? 2 6 ,则下列关系中正确的是( (A)x A (3)设集合 M ? {x | x ? (B)x ? A (C){x}∈A

k 1 k 1 ? , k ? Z}, N ? {x | x ? ? , k ? Z} ,则( 2 4 4 2

(A)M=N (B)M N (C)M N (D)M∩N= 解:(1)选 D.“附近”不具有确定性.(2)选 D. (3)选 B.

1 1 3 3 ? M , ? N 故排除(A)、(C),又 ? M , ? N ,故排除(D). 4 4 2 2 k 1 k 1 1 方法二:集合 M 的元素 x ? ? ? ( 2k ? 1), k ? Z. 集合 N 的元素 x ? ? ? 2 4 4 4 2 1 (k ? 2), k ? Z .而 2k+1 为奇数,k+2 为全体整数,因此 M N. 4
方法一: 小结:解答集合问题,集合有关概念要准确,如集合中元素的三性;使用符号要正确; 表示方法会灵活转化.

2 2 2 2 例 2.设集合 P ? ?x ? y, x ? y, xy? ,Q ? x ? y , x ? y , 0 ,若 P ? Q ,求 x, y 的值及集合

?

?

P 、Q . 解:∵ P ? Q 且 0 ? Q ,∴ 0 ? P .
互异性矛盾,∴ x ? y ? 0 且 x ? y ? 0 ; (2)若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 .

2 2 2 2 (1)若 x ? y ? 0 或 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ,从而 Q ? x ? y , 0, 0 ,与集合中元素的

?

?

当 y ? 0 时, P ? ?x, x,0? ,与集合中元素的互异性矛盾,∴ y ? 0 ; 当 x ? 0 时, P ? {? y, y,0} , Q ? { y 2 , ? y 2 ,0},

? y ? ? y2 ? y ? y2 ? ? ? y ? ? y2 ? y ? y2 由 P ?Q得? ① 或? ② y?0 y ? 0 ? ? ? ? 由①得 y ? ?1 ,由②得 y ? 1 , ∴ x ? 0 或 x ? 0 ,此时 P ? Q ? {1, ?1,0} . y ? ?1 y ?1

?

?

2 例 3.若集合 A ? x | x ? ax ? 1 ? 0, x ? R ,集合 B ? ?1,2? ,且 A ? B ,求实数 a 的取值

?

?

范围. 解: (1)若 A ? ? ,则 ? ? a ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 ;
2

(2)若 1 ? A ,则 1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?2 ,此时 A ? {1} ,适合题意;
2

(3)若 2 ? A ,则 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?
2

综上所述,实数 m 的取值范围为 [?2, 2) .

5 5 ,此时 A ? {2, } ,不合题意; 2 2

巩固练习: 1.下列各组对象 ①接近于 0 的数的全体; ②比较小的正整数全体; ③平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体;④正三角形的全体; ⑤ 2 的近似值的全体. 其中能构成集合的组数有( ) A.2 组 B.3 组 C.4 组 D.5 组 2.下列命题中正确的是( ) 2 A.{x|x +2=0}在实数范围内无意义 B.{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合 C.{4,5}与{5,4}表示相同的集合 D.{4,5}与{5,4}表示不同的集合 3.已知 M={m|m=2k,k∈Z},X={x|x=2k+1,k∈Z},Y={y|y=4k+1,k∈Z}, 则( ) A.x+y∈M B.x+y∈X C.x+y∈Y D.x+y ? M
2 4 已知 M ? {x | 2x ? 5x ? 3 ? 0} , N ? {x | mx ? 1} ,若 N ? M ,则适合条件的实数 m 的

集合 P 为 {0, ?2, } ; P 的子集有

1 3

8

个; P 的非空真子集有 6

个.

5 已知集合 P={0,1,2,3,4},Q={x|x=ab,a,b∈P,a≠b},用列举法表示集合 Q =______. 6 设 A 表示集合{2,3,a2+2a-3},B 表示集合{a+3,2},若已知 5∈A,且 5 ? B,求实 数 a 的值.

第 2 课时

集合的运算

教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能利用数轴 或文氏图进行集合的运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法. 教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 教学过程: (一)主要知识: 1.交集、并集、全集、补集的概念; 2. A B ? A ? A ? B , A B ? A ? A ? B ; 3. CU A

CU B ? CU ( A B) , CU A CU B ? CU ( A B) .

(二)主要方法: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; 2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. 例题分析:
? 例 1 . 设 全 集 U ? x | 0 ? x ? 10, x ? N , 若 A

?

?

B ? ?3? , A CU B ? ?1,5,7? ,

CU A CU B ? ?9? ,则 A ? ?1,3,5,7? , B ? ?2,3, 4,6,8? .解法要点:利用文氏图.

3 2 2 . 已 知 集 合 A ? x | x ? 3x ? 2 x ? 0

?

?

2 , B ? x | x ? ax ? b ? 0

?

?

, 若

A

B ? ? | x0 ?

x ? 2 A B ? ?x | x ? ?2? ,求实数 a 、 b 的值. ?,
(0, ??) ,又∵ A B ? ?x | 0 ? x ? 2? ,且 A B ? ?x | x ? ?2? ,
2

3 2 解:由 x ? 3x ? 2 x ? 0 得 x( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ ?2 ? x ? ?1 或 x ? 0 ,

∴ A ? (?2, ?1)

∴ B ? [?1, 2] ,∴ ?1 和 2 是方程 x ? ax ? b ? 0 的根, 由韦达定理得:

1 ? 2 ? ?a ,∴ a ? ?1 . ?? ?b ? ?2 ?1? 2 ? b

说明:区间的交、并、补问题,要重视数轴的运用.
2 例 3.已知集合 A ? ( x, y ) | x ? mx ? y ? 2 ? 0, x ? R ,

?

?

B ? ?( x, y) | x ? y ?1 ? 0,0 ? x ? 2? ,若 A B ? ? ,求实数 m 的取值范围.
2 分析:本题的几何背景是:抛物线 y ? x ? mx ? 2 与线段 y ? x ? 1(0 ? x ? 2) 有公共点, 求实数 m 的取值范围.

x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 得 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ① x ? y ?1 ? 0 ∵ A B ? ? ,∴方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解, 2 首先,由 ? ? (m ? 1) ? 4 ? 0 ,解得: m ? 3 或 m ? ?1 . 设方程①的两个根为 x1 、 x2 , (1)当 m ? 3 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ?1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1知 x1 、 x2 都是负数,不合题意;
解法一:由 (2)当 m ? ?1 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ?1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1 ? 0 知 x1 、 x2 是互为倒数的两个正 数, 故 x1 、 x2 必有一个在区间 [0,1] 内,从而知方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解, 综上所述,实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .

?

解法二:问题等价于方程组

x ? mx ? 2 ? yy ? ? x ?1
2

在 [0, 2] 上有解,

即 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 在 [0, 2] 上有解, 令 f ( x) ? x2 ? (m ?1) x ? 1 ,则由 f (0) ? 1 知抛物线 y ? f ( x) 过点 (0,1) , ∴抛物线 y ? f ( x) 在 [0, 2] 上与 x 轴有交点等价于 f (2) ? 22 ? 2(m ? 1) ? 1 ? 0 ①

?? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 0 ? 1? m ?2 或 ?0 ? ② 2 ? 2 ? f (2) ? 2 ? 2( m ? 1) ? 1 ? 0 3 3 由①得 m ? ? ,由②得 ? ? m ? 1 , 2 2 ∴实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .
巩固练习: 1 设全集 U={a,b,c,d,e}.集合 M={a,b,c},集合 N={b,d,e},那么( UM)∩( UN) 是( ) (A) (B){d} (C){a,c} (D){b,e} 2 全集 U={a,b,c,d,e},集合 M={c,d,e},N={a,b,e},则集合{a,b}可表示为( ) (A)M∩N (B)( UM)∩N (C)M∩( UN) (D)( UM)∩( UN) 3 如图,U 是全集,M、P、S 为 U 的 3 个子集,则下图中阴影部分所表示的集合为( ) (A)(M∩P)∩S (B)(M∩P)∪S (C)(M∩P)∩( US) (D)(M∩P)∪( US)

4 已知集合 M ? {( x, y) | y ? 1 ? x 2 , x, y ? R} ,N ? {( x, y) | x ? 1, y ? R} , 则M ? N =____________ 5 设 数 集 M ? { x | m? x ? m? }, N ? {x | n ?

3 1 ? x ? n} , 且 M 、 N 都 是 集 合 4 3 {x | 0 ? x ? 1} 的子集,如果把 b ? a 叫做集合 ?x | a ? x ? b? 的“长度” ,那么集合 M N 1 . 12

的长度的最小值是

2 6 已知集合 A ? {x | ( x ? a)(x ? 3a) ? 0} ( a ? 0 ) , B ? {x | x ? 6x ? 8 ? 0} ,

1)若 A ? ? B,求实数 a 的取值范围;

2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围; 3)若 A ? B ? {x | 3 ? x ? 4} ,求实数 a 的取值范围。

第 3 课时

集合中的创新性问题

集合的创新性问题是近几年高考热点问题,多是给出新概念、新定义、新运算,主要考查集 合的语言功能和与其它知识的综合应用。 例 1 设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ? S ,都有 x ? y,x ? y,xy ? S , 则称 S 为封闭集。下列命题: ①集合 S={z|z= a+bi( a,b 为整数,为虚数单位)}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 【答案】①② (写出所有真命题的序号)

例 2 集合 A ? ?( x, y ) | ( x ?

? ? ? ?

? 5 2 ? ) ? ( y ? 1) 2 ? 4 ? , 2 ? ?

集合 B (m) ? ( x, y ) | y ? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 2m , m ? R ,设集合 B 是所有 B (m) 的并集, 则A

?

?

B 的面积为________. 4? 【答案】 ? 3 【解析】 y=x2 ? 2mx ? m2 ? 2m ? ( x ? m)2 ? 2m ,所以抛物线的顶 3
点坐标为 (m, 2m) ,即顶点在直线 y =2 x 上,与 y =2 x 平行的直线和抛物线相切,不妨设
2 2 切 线 为 y =2 x ? b , 代 入 y=x2 ? 2mx ? m2 ? 2m 得 2 x ? b=x ? 2mx ? m ? 2m , 即

x2 ? (2m ? 2) x ? m2 ? 2m ? b ? 0 , 判别式为 ? ? (2m ? 2)2 ? 4(m2 ? 2m ? b) ? 0 , 解
得 b ? ?1 ,所以所有抛物线的公切线为 y =2 x ? 1 ,所以集合 A

B 的面积为弓形区域.

直线 AB 方程为 y =2 x ? 1 , 圆心 M (

5 , ? 1) 到直线 y =2 x ? 1 的距离为 ME ? 1 , 所以 2

BM ? 2, BE ? 3 , 所以 AB ? 2 BE ? 2 3 , ?BME ?
的 面 积 为

?
3

, ?BMA ?
ABM

1 2 2? 1 2? 4? r ? ? ? 4? ? 2 3 2 3 3 1 1 ? AB ? ME ? ? 2 3 ? 1 ? 3 , 2 2

2? . 扇形 AMB 3
的 面 积 为

. 三 角 形

所以弓形区域的面积为

4? ? 3 3

例 3 已知 M 是集合 ?1, 2, 3,

,2 k? ? 1k ( ? N *, k ? 2) 的非空子集,且当 x ? M 时,有


2k ? x ? M . 记 满 足 条 件 的 集 合 M 的 个 数 为 f (k ) , 则 f ( 2 )?

f (k ) ?
【答案】3, 2 ? 1
k



巩固练习 1 定 义 集 合 M 与 N 的 新 运 算 如 下 :M*N={x|x ∈ M 或 x ∈ N, 但 x ? A M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M*N)*M 等于( A.M B.{2,3,4,8,9,10,15} C.N ) D.{0,6,12}

B }. 若

2 记集合 T ? ?0,1,2,3,4,5,6} , M ? ?

? a1 a2 a3 a4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4? ,将 M 中的元素 ?7 7 7 7 ?
D.

按从大到小顺序排列,则第 2005 个数是 A.

5 5 6 3 ? 2? 3? 4 7 7 7 7

B.

5 5 6 2 1 1 0 4 ? 2 ? 3 ? 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7

1 1 0 3 ? 2? 3? 4 7 7 7 7
B 中恰含有一
( )

2 2 3 设集合 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 , 集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A

?

?

?

?

个整数,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ?
【答案】B
2 2 解: A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 ? {x x ? 1或x ? ?3} ,因为函数 y ? f ( x) ? x ? 2ax ? 1 的

? ?

3? 4?

B. ? ,

?3 4 ? ? ?4 3 ?

C. ? , ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1, ?? ?

?

?

对称轴为 x ? a ? 0 , f (0) ? ?1 ? 0 ,根据对称性可知要使 A

B 中恰含有一个整数,

? a? ? ? 4 ? 4a ? 1 ? 0 ? 则这个整数解为 2,所以有 f (2) ? 0 且 f (3) ? 0 ,即 ? ,所以 ? ?9 ? 6a ? 1 ? 0 ?a ? ? ?


3 4 。 4 3

3 4 ? a ? ,选 4 3

B.

4 设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件: 当 x∈A 时,15x ? A,则 A 中元素的个数 最多是_______________. 5 设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足; (i) (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . T ? { f ( x) | x ? S} ; 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 3 对集合: ①

A ? N, B ? N*





A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | ?8 ? x ? 10}



③ A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? R . 其中,“保序同构”的集合对的序号是 号) (写出所有“保序同构”的集合对的序

6 S1 , S 2 , S 3 为非空集合,对于 1 , 2 , 3 的任意一个排列 i, j , k ,若 x ? Si , y ? S j ,则

x ? y ? Sk
(1)证明:三个集合中至少有两个相等. (2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素?


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