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贵州省黔东南州黄平民族中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


贵州省黔东南州黄平民族中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 z=1﹣i,则|z|等于( A.2 B. ) C.1 D.0

2.已知 U={2,3,4,5},M={3,4,5},N={2,4,5},则( A.M∩N={4,3} B.M∪N=U C.{?UN}∪M=U<

br />
) D. (?UM)∪N=M

3.下列命题中的假命题 是( A.? x∈R,x <0
3

)

B.“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 C.? x∈R,2 >0 D.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题
x

4.关于两条不同的直线 m、n 与两个不同的平面 α 、β ,下列命题正确的是( A.m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n C.m⊥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m⊥n B.m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n D.m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n

)

5.已知向量 =(2,1) , =(1,x) ,若 ﹣ 与 +4 平行,则实数 x 等于( A. B. C.﹣1? D.1

)

6.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

7.一个正四棱锥的正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是(

)

A.

,8

B.



C.



D.8,8

8.函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,ω >0,|φ |< (x)的图象向左平移

)的部分图象如图所示,将 f )

个长度单位,所得图象对应的函数解析式为(

A.f(x)=sin2x (2x+ )

B.f(x)=﹣sin2x

C.f(x)=sin(2x﹣



D.f(x)=sin

9.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C3 门由于上课时间相同,至多选 1 门.若学 校规定每位学生选修 4 门,则每位学生不同的选修方案共有( A.15 种 B.60 种 C.150 种 ) D.75 种

10.已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值是( A.e B.﹣e C.

) D.﹣

11.已知函数 f(x)=丨 x﹣2 丨+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是( A. (0, ) ) C. (1,2) D. (2,+∞)

B. ( ,1)

12.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、 )

右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. =__________.

14.已知函数,f(x)=

x,则不等式 f(x)>1 的解集为__________.

15.已知(

) 的展开式中,不含 x 的项是

6

,则正数 p 的值是__________.

16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 b﹣c= a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为__________.

三、解答题(本 大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17.已知函数 f(x)=2cosx(sinx﹣ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若对任意 x∈,使得+2m=0 成立,求实数 m 的取值范围. cosx) .

18. 如图, PCBM 是直角梯形, ∠PCB=90°, PM∥BC, PM=PC=AC=1, BC=2, 又∠ACB=120°, AB⊥PC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (2)求二面角 M﹣AC﹣B 的平面角的余弦值.

19.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求 当天的利润 X(单位:元)的分布列与数学期望.

20.已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E 的右焦点,

直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

,O 为坐标原点.

(Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

21.已知函数

为常数,e=2.71828?是自然对数的底数) ,曲线 y=f(x)

在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=(x +x)f′(x) ,其中 f′(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0, g(x)<1+e .
﹣2 2

请在 22、23 二题中任选一题做答,若多做则按所做的第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数 方程 22. 已知圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为 (2, 0) , ( (1)设 P 为线段 MN 的 中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

, ) .

23.已知函数 f(x)=log2(| x+1|+|x﹣2|﹣m) . (1)当 m=5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥1 的解集是 R,求 m 的取值范围.

贵州省黔东南州黄平民族中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 z=1﹣i,则|z|等于( A.2 B. ) C.1 D.0

考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由条件代入复数的模长公式可得. 解答: 解:∵z=1﹣i, ∴|z|= 故选:B 点评:本题考查复数的模长公式,属基础题. =

2.已知 U={2,3,4,5},M={3,4,5},N={2,4,5},则( A.M∩N={4,3} B.M∪N=U C.{?UN}∪M=U

) D. (?UM)∪N=M

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:由已知中 U={2,3,4,5},M={3,4,5},N={2,4,5},结合集合交集,并集,补集 的定义,分析四个答案的正误,可得答案. 解答: 解:∵U={2,3,4,5},M={3,4,5},N={2,4,5}, ∴M∩N={4,5},故 A 错误; M∪N={2,3,4,5}=U,故 B 正确; {?UN}∪M={3,4,5}≠U,故 C 错误; (?UM)∪N={2,4, 5}≠M,故 D 错误; 故选:B 点评:本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题.

3.下列命题中的假命题 是( A.? x∈R,x <0
3

)

B.“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 C.? x∈R,2 >0 D.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题
x

考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型. 分析: 利用特称命题的性质, 充要条件的定义, 全称命题的性质, 及复合命题真假的判断方法, 逐一分析四个答案,即可得到结论. 解答: 解:当 x=﹣1 时,x =﹣1<0,故 A 为真命题; ∵“a>0”时, “|a|>0”成立, 而“|a|>0”时, “a>0”不一定成立, 故“a>0”是“|a| >0”的充分不必要条件,故 B 为真命题 由对数函数的性质,2 >0 恒成立,故 C 为 真命题 若 p∧q 为假命题,则 p,q 可能一个为真命题,一个为假命题,故 D 为假命题 故选 D 点评:本题考查逻辑语言,指数函数、幂函数的值域,充要条件的判断及复合命题真假性的判 断.属于中等题
x 3

4.关于两条不同的直线 m、n 与两个不同的平面 α 、β ,下列命题正确的是( A.m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n B.m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n C.m⊥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m⊥n D.m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n

)

考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:计算题. 分析:根据空 间中面面平行及线面平行的性质,我们易判断 A 的对错,根据线线垂直的判定 方法,我们易判断出 B 的真假;根据空间中直线 与直线垂直的判断方法,我们可得到 C 的正 误;根据线面平行及线面平行的性质,我们易得到 D 的对错,进而得到结论. 解答: 解:若 m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m 与 n 可能平行与可能异面,故 A 错误; 若 m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m⊥n,故 B 错误;

当 n∥β 且 α ∥β 时,存在直线 l? α ,使 l∥n,又由 m⊥α ,故 m⊥l,则 m⊥n,故 C 正确; 若 n⊥β 且 α ⊥β ,则 n∥α 或 n? α ,若 m∥α ,则 m 与 n 可能平行,也可能垂直,也可能 相交,故 D 错误; 故选 C 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系, 熟练掌握空间中线与面之间位 置关系的定义及判定方法是解答本题的关键.

5.已知向量 =(2,1) , =(1,x) ,若 ﹣ 与 +4 平行,则实数 x 等于( A. B. C.﹣1? D.1

)

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:由向量的坐标加减法与数乘运算求得 ﹣ 与 +4 的坐标,再结合 ﹣ 与 +4 平行列 式求得 x 的值. 解答: 解:∵ =(2,1) , =(1,x) , ∴ ﹣ =(1,1﹣x) , +4 =(6,1+4x) , ∵ ﹣ 与 +4 平行, ∴1×(1+4x)﹣6(1﹣x)=0, 解得:x= . 故选;A. 点评:平行问题是一个重要的知识点,在 2015 届高考题中常常出现,常与向量的模、向量的 坐标表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0,是基础题.

6.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 解答: 解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B 点评:本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律.

7.一个正四棱锥的正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是(

)

A.

,8

B.



C.



D.8,8

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据正视图判断几何体的底面边长与高,再求出斜高,代入公式求解即可. 解答: 解:根据正四棱锥的正视图,四棱锥的底面边长 a=2,高 h=2.斜高 h′= ∴S 侧=4× V= 故选 B. 点评:本题考查由三视图求面积、体积问题. = . =4 ;

8.函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,ω >0,|φ |< (x)的图象向左平移

)的部分图象如图所示,将 f )

个长度单位,所得图象对应的函数解析式为(

A.f(x)=sin2x B.f(x)=﹣sin2x (2x+ )

C.f(x)=sin(2x﹣

) D.f(x)=sin

考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:依题意,知 A=1,T=π ,从而可求 ω =2;再由 ω +φ =2kπ +π (k∈Z) ,|φ |< 可

求得 φ ,从而可得 y=f(x)的解析式,最后利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换即可求得 将 f(x)的图象向左边平移 个长度单位所得图象对应的函数解析式. ﹣ = ,

解答: 解:依题意,知 A=1, T= ∴T= =π ,ω =2;又

ω +φ =2kπ +π (k∈Z) , ,

∴φ =2kπ +

(k∈Z) ,又|φ |<

∴φ =

, ) , 个长度单位,

∴f(x)=sin(2x+

∴将 f(x)的图象向左边平移 得 y=f(x+ 故选:B.

)=sin=sin(2x+π )=﹣sin2x,

点评:本题考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的解析式的确定及图象变换,考查分析运算能 力,属于中档题.

9.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C3 门由于上课时间相同,至多选 1 门.若学 校规定每位学生选修 4 门,则每位学生不同的选修方案共有( A.15 种 B.60 种 C.150 种 )

D.75 种

考点:排列、组合的实际应用. 专题:概率与统计. 分析:由题意分两类,可以从 A、B、C 三门选一门,再从其它 6 门选 3 门,也可以从其他六门 中选 4 门,根据分类计数加法得到结果. 解答: 解:由题意知本题需要分类来解, 第一类,若 从 A、B、C 三门选一门,再从其它 6 门选 3 门,有 C3 ?C6 =60, 第二类,若从其他六门中选 4 门有 C6 =15, ∴根据分类计数加法得到共有 60+15=75 种不同的方法. 故选 D. 点评:本题考查分类计数问题,考查排列组合的实际应用,利用分类加法原理时,要注意按照 同一范畴分类,分类做到不重不漏.
4 1 3

10.已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值是( A.e B.﹣e C.

) D.﹣

考点:导数的几何意义.

专题:计算题. 分析:欲求 k 的值,只须求出切线的斜率的值即可,故先利用导数求出在切处的导函数值,再 结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵y=lnx,∴y'= , 设切点为(m,lnm) ,得切线的斜率为 ,

所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为:y﹣lnm= ×(x﹣m) . 它过原点,∴﹣lnm=﹣1,∴m=e, ∴k= . 故选 C. 点评:本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基 础知识,考查运算求解能力.属于基础题.

11.已知函数 f(x)=丨 x﹣2 丨+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是( A. (0, ) ) C. (1,2) D. (2,+∞)

B. ( ,1)

考点:函数的零点. 专题:函数的性质及应用. 分析:画出函数 f(x) 、g(x)的图象,由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线)和函数 g(x) 的图象(红线)有两个交点,数形结合求得 k 的范围. 解答: 解:由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线) 和函数 g(x)的图象(红线)有两个交点, 如图所示:KOA= , 数形结合可得 故选:B. <k<1,

点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于 基础题.

12.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、 )

右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,利用等边三角形的定 义可得:|AB|=|AF2|=|BF2|, : 即可得出. 解答: 解:∵△ABF2 为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a. . = ﹣ .在△AF1F2 中使用余弦定理可得 ,再利用离心率的计算公式

又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a. ∴|AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△AF1F2 中,由余弦定理可得: , ∴ ,化为 c =7a ,
2 2

=



∴ 故选 B.

=



点评:熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. = .

考点:微积分基本定理. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:根据积分计算公式,求出被积函数﹣x +1 的原函数,再根据微积分基本定理加以计算, 即可得到本题答案. 解答: 解:根据题意,可得 . 故答案为: 点评:本题求一个函数的原函数并求定积分值,考查定积分的运算和微积分基本定理等知识, 属于基础题.
2

14.已知函数,f(x)=

x,则不等式 f(x)>1 的解集为(0, ) .

考点:指、对数不等式的解法.

专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:直接求解对数不等式得答案. 解答: 解:∵f(x)= 则不等式 f(x)>1 化为 x, ,



,解得 0<x< .

∴不等式的解集为(0, ) . 故答案为: (0, ) . 点评:本题考查了对数不等式的解法,考查了对数的运算性质,是基础题.

15.已知(

) 的展开式中,不含 x 的项是

6

,则正数 p 的值是 3.

考点:二项式定理. 分析:利用二项展开式的通项公式得第 r+1 项,令 x 的指数为 0 得不含 x 的项列出方程解得. 解答: 解: 的展开式的通项为

= 令 3r﹣12=0 得 r=4 故不含 x 的项为 ∴ 故答案为 3 点评:二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特殊项问题的工具. 解得 p=3

16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 b﹣c= a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为﹣ .

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析:由条件利用正弦定理求得 a=2c,b= 解答: 解:在△ABC 中, ∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC, ∴2b=3c ②, ∴由①②可得 a=2c,b= . ,再由余弦定理求得 cosA= 的值.

再由余弦定理可得 cosA= 故答案为:﹣ .

=

=﹣ ,

点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17.已知函数 f(x)=2cosx(sinx﹣ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若对任意 x∈,使得+2m=0 成立,求实数 m 的取值范围. cosx) .

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简 f(x)=2sin(2x﹣ (2)+2m=0,则有 sin(2x﹣ ﹣ )﹣ 易解得最小正周期. ,有﹣ ≤sin(2x

)+m=0;x∈,则有﹣

)≤1,从而可求出实数 m 的取值范围. cosx)

解答: 解: (1)f(x)=2cosx(sinx﹣ =sin2x﹣2 =sin2x﹣ cos x cos2x﹣ )﹣
2

=2sin(2x﹣

故 f(x)的最小正周期 T= (2)∵f(x)=2sin(2x﹣ ∴+2m=2sin(2x﹣ 即有 sin(2x﹣ ∵x∈,∴﹣ ∴﹣ ≤﹣m≤1, )﹣ )+m=0 +

=π . )﹣ +2m=2sin(2x﹣ )+2m=0

,有﹣

≤sin(2x﹣

)≤1,

故解得 m∈ 点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用和三角函数的周期性及其求法, 属于中档题.

18. 如图, PCBM 是直角梯形, ∠PCB=90°, PM∥BC, PM=PC=AC=1, BC=2, 又∠ACB=120°, AB⊥PC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (2)求二面角 M﹣AC﹣B 的平面角的余弦值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (1)由已知条件推导出 PC⊥平面 ABC,由此能证明平面 PAC⊥平面 ABC. (2)几何法:取 BC 的中点 N,则 CN=1,连接 AN,MN,由 已知条件能推导出 MN⊥平面 ABC, 作 NH⊥AC,得到∠MHN 为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角,由此能求出结果. 向量法:在平面 ABC 内,过 C 作 CD⊥CB,建立空间直角坐标系 C﹣xyz,利用向量法能求出二 面角 M﹣AC﹣B 的平面角的余弦值. 解答: (1)证明:∵PC⊥AB,PC⊥BC,AB∩BC=B, ∴PC⊥平面 ABC,? 又∵PC? 平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 ABC.?

(2)解法一: (几何法) 取 BC 的中点 N,则 CN=1,连接 AN,MN, ∵PM∥CN,PM=CN ∴MN∥PC,MN=PC, 从而 MN⊥平面 ABC 作 NH⊥AC,交 AC 的延长线于 H,连接 MH,则由三垂线定理知,AC⊥NH, ∴∠MHN 为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角 在△CNH 中,NH=CN?sin∠NCH=1× = ,

在△MNH 中,MH=

则 cos∠MHN=

=



解法二: (向量法) 在平面 ABC 内,过 C 作 CD⊥CB,建立空间直角坐标系 C﹣xyz(如图)? 由题意有 A( ∴ ,﹣ ,0) ,M(0,0,1) =( ) , ,

=(0,1,1) ,

设平面 MAC 的一个法向量为 则 , ,



,取 x1=1,得

?

平面 ABC 的法向量取为 设 与 所成的角为 θ ,则 cosθ =

? =﹣ ,?

显然,二面角 M﹣AC﹣B 的平面角为锐角, 故二面角 M﹣AC﹣B 的平面角的余弦值为 .?

点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养.

19.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求 当天的利润 X(单位:元)的分布列与数学期望.

考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)当 n<17 时,由题意知 y=10n﹣85,当 n≥17 时,由题意知 y=85.由此能求出当 天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)①由已知条件利用统计表能求出平均数. ②由题意知 X=55,65,85,分别求出相应的概率,由此能求出当天的利润 X(单位:元)的分 布列与数学期望.

解答: 解: (Ⅰ)当 n<17 时,由题意知 y=10n﹣85, 当 n≥17 时,由题意知 y=85. ∴y= ,n∈N .
*

(Ⅱ)①平均数为 ②由题意知 X=55,65,85, P(X=55)=0.1, P(X=65)=0.2, P(X=75)=0.16, P(X=85)=0.54. ∴X(单位:元)的分布列为: X P 55 0.1 65 0.2 75 0.16



85 0.54

EX=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4(每个结果各 1 分) 点评:本题考查函数解析式的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档 题,解题时要认真审题,在历年 2015 届高考可都是必考题型.

20.已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E 的右焦点,

直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

,O 为坐标原点.

(Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设 F(c,0) ,利用直线的斜率公式可得 即可解得 a,b; ,可得 c.又 ,b =a ﹣c ,
2 2 2

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程联立 可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得 出 S△OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)设 F(c,0) ,∵直线 AF 的斜率为 ∴ 又 ,解得 c=
2 2 2





,b =a ﹣c ,解得 a=2,b=1. ;

∴椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2. 联立 ,

化为(1+4k )x ﹣16kx+12=0,当△=16(4k ﹣3)>0 时,即 , ∴|PQ|= .

2

2

2

时,

=

=



点 O 到直线 l 的距离 d=



∴S△OPQ=

=
2 2



设 ∴

>0,则 4k =t +3, = =1,当且仅当 t=2,即 ,解得 时取等号.

满足△>0,∴△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:



点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系 数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基 础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属于难题.

21.已知函数

为常数,e=2.71828?是自然对数的底数) ,曲线 y=f(x)

在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=(x +x)f′(x) ,其中 f′(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0, g(x)<1+e .
﹣2 2

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某 点切线方 程. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出 f′(x)= ,x∈(0,+∞) ,由 y=f(x)在(1,f(1) )处

的切线与 x 轴平行,得 f′(1)=0,从而求出 k=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,令 h(x)=1﹣x﹣xlnx,

x∈(0,+∞) ,求出 h(x)的导数,从而得 f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减; (Ⅲ)因 g(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,
﹣2 x

+∞) , 得 1﹣x﹣xlnx≤1+e , 设m (x) =e ﹣ (x+1) , 得m (x) >m (0) =0, 进而 1﹣x﹣xlnx≤1+e
﹣2



(1+e ) ,问题得以证明. ,x∈(0,+∞) ,

﹣2

解答: 解: (Ⅰ)∵f′(x)=

且 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行, ∴f′(1)=0, ∴k=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,

令 h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞) , 当 x∈(0,1)时,h(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0, 又 e >0, ∴x∈(0,1)时,f′(x)>0, x∈(1,+∞)时,f′x)<0, ∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减; 证明: (Ⅲ)∵g(x)=(x +x)f′(x) , ∴g(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,
﹣2 2 x

∴? x>0,g(x)<1+e ?1﹣x﹣xlnx<

(1+e ) ,

﹣2

由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣ xlnx,x∈(0,+∞) , ∴h′(x)=﹣(lnx﹣lne ) ,x∈(0,+∞) , ∴x∈(0,e )时,h′(x)>0,h(x)递增, x∈(e ,+∞)时,h(x)<0,h(x)递减, ∴h(x)max=h(e )=1+e , ∴1﹣x﹣xlnx≤1+e , 设 m(x)=e ﹣(x+1) , ∴m′(x)=e ﹣1=e ﹣e , ∴x∈(0,+∞)时,m′(x)>0,m(x)递增, ∴m(x)>m(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,m(x)>0, 即 >1,
﹣2 x x 0 x ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e <
﹣2

(1+e ) ,

﹣2

∴? x>0,g(x)<1+e . 点评:本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,切线的方程,是一道综 合题.

请在 22、23 二题中任选一题做答,若多做则按所做的第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数 方程

22. 已知圆 C 的参数方程为

(θ 为参数) 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为 (2, 0) , ( (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

, ) .

考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)把圆的参数方程化为直角坐标方程,点 M,N 的极坐标化为直角坐标,利用中点坐 标公式即可得出; (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离与半径半径即可得出. 解答: 解: (1)圆 C 的参数方程 ,消去参数 θ 化为:

. 可得圆心 C ,半径 r=2. , ) .

由直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , ( 可得直角坐标: (2,0) , ∴线段 MN 的中点 P , . , .

∴直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= (2)∵点 M、N 的坐标为(2,0) , ∴直线 l 的方程为 x+ y﹣2=0.

圆心 C 到此直线的距离 d= ∴直线 l 与圆 C 相交.

= <2.

点评:本题考查了把圆的参数方程化为直角坐标方程、极坐标化为直角坐标、中点坐标公式、 点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

23.已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m) .

(1)当 m=5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥1 的解集是 R,求 m 的取值范围.

考点:绝对值不等式;对数函数图象与性质的综合应用;绝对值不等式的解法. 专题:压轴题;选作题;分类讨论;不等式的解法及应用. 分析:对于(1)当 m=5 时,求函数 f(x)的定义域.根据 m=5 和对数函数定义域的求法可得 到:|x+1|+|x﹣2|>5,然后分类讨论去绝对值号,求解即可得到答案. 对于(2)由关于 x 的不等式 f(x)≥1,得到|x+1|+|x﹣2|>m+2.因为已知解集是 R,根据 绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3,令 m+2<3,求解即可得到答案. 解答: 解: (1)由题设知:当 m=5 时:|x+1|+|x﹣2|>5, 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集: ,或 ,或 ,

解得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞) ; (2)不等式 f(x)≥1 即 log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m)≥1. 即|x+1|+|x﹣2|≥m+2, ∵x∈R 时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3, 不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2 解集是 R, ∴m+2≤3,m 的取值范围是(﹣∞,1]. 故答案为: (﹣∞,1]. 点评:此题主要考查绝对值不等式的应用问题,题中涉及到分类讨论的思想,考查学生的灵活 应用能力,属于中档题目.


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