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人教版高二数学必修5知识点归纳(最完整版)

时间:2016-12-21


现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标

必修五数学知识点归纳资料 第一章 1、三角形的性质: ①.A+B+C= ? , ? sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C
A? B ? C A? B C ? ? ? sin ? cos 2 2 2 2 2

解三角形

/>②.在 ?ABC 中, a ? b >c , a ? b <c ; A>B ? sin A > sin B , A>B ? cosA<cosB, a >b ? A>B ? ? ? ③.若 ?ABC 为锐角 ? ,则 A ? B > ,B+C > ,A+C > ; 2 2 2
a 2 ? b 2 > c2 , b 2 ? c 2 > a 2 , a 2 + c2 > b2

2、正弦定理与余弦定理: ①.正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R (2R 为 ?ABC 外接圆的直径) sin A sin B sin C

a ? 2 R s i nA 、 b ? 2 R sin B 、 c ? 2 R sin C

(边化角)

a b c 、 sin B ? 、 sin C ? (角化边) 2R 2R 2R 1 1 1 面积公式: S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 sin A ?

②. 余 弦 定 理 :
c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C

a2 ?

b2 ?

2 c2 ? c b o c s 、

b2A ? a2 ? c2 ? 2ac cos B



b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos A ? 、 cos B ? 、 cos C ? (角化边) 2bc 2ac 2ab

补充:两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

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⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

3、常见的解题方法: (边化角或者角化边) 第二章 1、数列的定义及数列的通项公式: 数列

①. an ? f (n) ,数列是定义域为 N 的函数 f (n) ,当 n 依次取 1,2,??? 时的一列函 数值 ②. an 的求法: i.归纳法

?S , n ? 1 ii. an ? ? 1 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

若 S0 ? 0 ,则 an 不分段;若 S0 ? 0 ,则 an 分段

iii. 若 an?1 ? pan ? q ,则可设 an?1 ? m ? p(an ? m) 解得 m,得等比数列 ?an ? m?

? S ? f (an ) iv. 若 Sn ? f (an ) ,先求 a1 ,再构造方程组:? n 得到关于 an ?1 和 an 的递推 S ? f ( a ) n ?1 ? n?1
关系式

? Sn ? 2an ? 1 例如: 再构造方程组: (下减上) Sn ? 2an ? 1 先求 a1 , an?1 ? 2an?1 ? 2an ? ? ? Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1
2.等差数列: ① 定义: an?1 ? an = d (常数),证明数列是等差数列的重要工具。 ② 通项: an ? a1 ? (n ?1)d , d ? 0 时, an 为关于 n 的一次函数;
d >0 时, an 为单调递增数列; d <0 时, an 为单调递减数列。
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③ 前 n 项和: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d, 2 2

d ? 0 时, Sn 是关于 n 的不含常数项的一元二次函数,反之也成立。

④ 性质:i. am ? an ? ap ? aq (m+n=p+q) ii. 若 ?an ? 为等差数列,则 am , am?k , am? 2 k ,?仍为等差数列。 iii. 若 ?an ? 为等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?仍为等差数列。 iv 若 A 为 a,b 的等差中项,则有 A ? 3.等比数列: ① 定义:
an ?1 ,是证明数列是等比数列的重要工具。 ? q (常数) an
a?b 。 2

② 通项: an ? a1q n?1 (q=1 时为常数列)。
?na1 , q ? 1 ? ③.前 n 项和, Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ,需特别注意,公比为字母时要讨论. ? 1 n ,q ?1 ? 1? q ? 1? q

④.性质: i. am ? an ? a p ? aq ?m ? n ? p ? q? 。 ii. ?an ? 为等比数列 , 则am , am?k , am?2k ,?仍为等比数列,公比为 qk 。 iii.

?an?为等比数列, 则Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,K 仍为等比数列,公比为 qn 。

iv.G 为 a,b 的等比中项, G ? ? ab 4.数列求和的常用方法: ①.公式法:如 an ? 2n ? 3, an ? 3n?1 ②.分组求和法:如 an ? 3n ? 2 n?1 ? 2n ? 5 ,可分别求出 ?3n ? , ?2n ?1? 和 ?2n ? 5? 的和, 然后把三部分加起来即可。
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?1? ③. 错位相减法 :如 an ? ?3n ? 2? ? ? ? , ? 2? ?1? ?1? ?1? ?1? Sn ? 5 ? ? ? 7 ? ? ? 9 ? ? ? ??? ? (3n ? 1) ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
2 3 4 2 3 n ?1

n

?1? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 2?
n

n

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? S n ? 5 ? ? ? 7 ? ? ? 9 ? ? ? ?+ ? 3n ? 1? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 2 ?2? ?2? ? 2? ?2? ? 2?
2 3 n

n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式相减得: Sn ? 5 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ??? ? 2 ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 2 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
④. 裂项相消法 :如 a n ?
1 1 1 ? ? ; an ? n?n ? 1? n n ? 1 1 n ?1 ? n

n ?1

,以下略。

? n ?1 ? n ,

an ?

1? 1 1 ? 等。 ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

⑤.倒序相加法.例:在 1 与 2 之间插入 n 个数 a1 , a2, a3, ???, an ,使这 n+2 个数成等差数 列, 求: Sn ? a1 ? a2 ???? ? an , (答案: S n ? 第三章 1.不等式的性质: ① 不等式的传递性 : a ? b, b ? c ? a ? c ② 不等式的可加性 : a ? b, c ? R ? a ? c ? b ? c, 推论: 不等式
3 n) 2

a ? b? ??a?c ?b?d c ? d?

③ 不等式的可乘性 :

a ? b? a ? b? a ? b ? 0? ? ? ac ? bc; ? ? ac ? bc; ? ? ac ? bd ? 0 c ? 0? c ? 0? c ? d ? 0?

④ 不等式的可乘方性 : a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0; a ? b ? 0 ? n a ? n b ? 0 2.一元二次不等式及其解法: ①. ax2 ? bx ? c ? 0, ax2 ? bx ? c ? 0, f ?x? ? ax2 ? bx ? c 注重三者之间的密切联系。 如: ax 2 ? bx ? c >0 的解为: ? <x< ? , 则 ax 2 ? bx ? c =0 的解为 x1 ? ? , x2 ? ? ; 函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图像开口向下,且与 x 轴交于点 ?? ,0? , ? ? ,0? 。
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对于函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c , 一看开口方向,二看对称轴,从而确定其单调区间等。 ②.注意二次函数根的分布及其应用. 如:若方程 x 2 ? 2ax ? 8 ? 0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(4,5)上,则有
f (0) >0 且 f (1) <0 且 f (4) <0 且 f (5) >0

3.不等式的应用: ①基本不等式:
a ? 0, b ? 0, a?b ? ab , 2 a 2 ? b 2 ? 2ab, 2 ? a 2 ? b2 ? ? ? a ? b ?
2

当 a>0,b>0 且 ab 是定值时,a+b 有最小值; 当 a>0,b>0 且 a+b 为定值时,ab 有最大值。 ②简单的线性规划:

Ax ? By ? C ? 0? A ? 0? 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的右方区域. Ax ? By ? C ? 0? A ? 0? 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是: ①.找出所有的线性约束条件。 ②.确立目标函数。 ③.画可行域,找最优点,得最优解。 需要注意的是,在目标函数中,x 的系数的符号, 当 A>0 时,越向右移,函数值越大,当 A<0 时,越向左移,函数值越大。 ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;
y y ?b ; 或z ? x x?a

②“斜率”型: z ?

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ? x 2 ? y 2 ;

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
画——移——定——求:
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第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平 移直线 l0 (据可行域,将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ; 第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ?
A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得 最大值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得 最小值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最大值.

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