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安徽省蚌埠二中2017届高三上学期期中考试理科数学试题

时间:2016-12-06


蚌埠二中 2016-2017 学年第一学期期中测试

高三数学试题(理科)
满分(150 分)考试时间:120 分钟 命题人 周健
注意:所有题目均在答题卷相应栏目中作答,否则不予计分。 一:选择题(60 分) 1. 已知集合 A ? ? x ( ) x ? 1? , B ? x x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? CR B

? (

? ?

1 2

? ?

?

?

)

A. ? x x ? 0? C. ? x 0 ? x ? 2 或x ? 4?

B. ? x 2 ? x ? 4? D. ? x 0 ? x ? 2 或x ? 4? ) B、若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D、若 x ≥ 1 或 x ≤ ? 1 ,则 x 2 ≥ 1 cosA)共线,其中 A 是△ABC 的内角,

2. 命题“若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A、若 x 2 ≥ 1 ,则 x ≥ 1 或 x ≤ ? 1 C、若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 3. 已知向量 =(sinA, )与向量 =(3,sinA+ 则角 A 的大小为( A. B. ) C. D.

4.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=
A.[0,1)∪(1,2]

的定义域是(



B.[0,1)∪(1,4] C.[0,1) D.(1,4]

5. 在△ABC 中, a, b, c 为角 A, B, C 的对边,若 A.锐角三角形 B. 钝角三角形

a b c ? ? ,则△ABC 是( cos A cos B sin C
C. 等腰三角形

)

D. 等边三角形

6. 将函数 y=sin(2x+φ) (φ>0)的图象沿 x 轴向左平移 图象,则 φ 的最小值为( A. ) C.

? 个单位后,得到一个偶函数的 8

3? 4
'

B.

3? 8

? 4

D.

? 8

7. 设 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 f ( x)( x ? R ) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时 ,

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是(
A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? ( ?1, 0) B. (?1, 0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)



8. 已 知 函 数 f ( x) 在 R 上 满 足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点
2

(1, f (1)) 处的切线方程是(
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x

) C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3 )

9. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos 2 A. ? , ?

x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

?? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

D. ? ? , ?

? ? ?? ? 6 6?

1O. 设 f ( x) ? x 3 ? log 2 ( x ?

x 2 ? 1) ,则对任意实数 a, b, a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的

( ) A.充分必要条件 B 充分不必要条件 C.必要不充分条件 D。既不充分也不必要条件 11. 定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0) 的单调增区间为 ( ?1,1) ,若方程
3 2
[来源:学科

网]

3a( f ( x))2 ? 2bf ( x) ? c ? 0 恰有 4 个不同的实根,则实数 a 的值为(
A.



1 2

B. ?

1 2

C.1

D.

-1

12. 已知 ? ? R ,函数

? x ? 1 , x ? 0, f ( x) ? ? g ( x) ? x2 ? 4 x ? 1 ? 4? ,若关于 x 的方程 ?lg x, x ? 0,


f ( g ( x)) ? ? 有 6 个解,则 ? 的取值范围为 (
A. (0,

2 ) 3

B. (

1 2 , ) 2 3

C. ( ,

2 1 ) 5 2

D. (0,

2 ) 5

二:填空题(20 分) 13.已知不共线向量 , ,| |=| |=| ﹣ |,则 + 与 的夹角是_________
? 14. 在△ABC 中,若 AB= 13 ,BC=3, ?C ? 120 ,则 AC=_________

15. 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =__________. 16. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 0 , 函数 y ? f ( x ? 1) 关于点 (1,0) 对称, f (1) ? ?2 , 则 f (2015) ? _________. 三:解答题 17.(10 分) 已知函数 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? π? ? π? ? ? ? 2sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 3? 4? ? 4? ?

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程. (II)求函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? π π? , 上的值域. ? 12 2 ? ?

18(12 分). 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,已知 A ? 450 , cos B ? (1)求 cos C 的值; (2)若 BC ? 10 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

4 . 5

,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 19(12 分) 在锐角 △ ABC 中,角 A
已知 sin

A?
2

2 2 3



(1)求 tan (2)若 a

B?C A ? sin 2 的值; 2 2

? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值.

20.(12 分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a . (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点.
3 2

21. (12 分) 设函数 f ( x) ? e ? e .
x

?x

(Ⅰ)证明: f ( x ) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围

22.(12 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x ? ax (a 为实数)
2

1 (1)若 f ? x ? 的图象在 x ? 2 处切线的斜率为 ?1 ,且不等式 f ? x ? ? 2 x ? m 在 [ , e] 上 e

有解,求实数 m 的取值范围;

(2)因为 f ? x ? 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A ? x1 , 0 ? , B ? x2 , 0 ? ,且 0<x1<x2,求证:
f ?( x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x ) 是 f ? x ? 的导函数) 2

蚌埠二中 2016-2017 学年第一学期期中测试 高三数学理参考答案
一选择题(60 分,每题 5 分)CDCCC 二填空题(20 分) :13 三解答题: 17 (10 分) (Ⅰ)? f ( x) ? cos ? 2 x ? CAAAA BD .14. 1 15. ?

2 5 16. 2 5

? ?

π? π? ? π? ? ? ? 2sin ? x ? ? sin ? x ? ? 3? 4? ? 4? ?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 π? ? ? sin ? 2 x ? ? 6? ?
2π ? π. 2 π π kπ π ? (k ?Z ) 由 2 x ? ? kπ ? (k ? Z) ,得 x ? 6 2 2 3 kπ π ? (k ?Z ) . ? 函数图象的对称轴方程为 x ? 2 3

? 周期 T ?

(Ⅱ)? x ? ? ?

π ? π 5π ? ? π π? , ? ,? 2 x ? ? ? ? , ? , 6 ? 3 6? ? 12 2 ? ? ? π? ? π π? ?π π? ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减, 6? ? 12 3 ? ?3 2?

因为 f ( x) ? sin ? 2 x ? 所以当 x ? 又? f ? ?

π 时, f ( x ) 取得最大值 1. 3

3 ? π? ?π? 1 ? f ? ?? , ??? 2 ? 12 ? ?2? 2

?当 x ? ?

π 3 时, f ( x ) 取得最小值 ? . 12 2

? 3 ? ? π π? , 1? . ? 函数 f ( x) 在 ? ? , ? 上的值域为 ? ? ? 12 2 ? ? 2 ?
18. (12 分) (1)? cos B ?

4 3 , 且 B ? (0? ,180? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 5 5

cos C ? cos(180? ? A ? B) ? cos(135? ? B)
? cos135? cos B ? sin135? sin B ? ? 2 4 2 3 2 . ? ? ? ?? 2 5 2 5 10

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos2 B ? 1 ? (? 由正弦定理得

2 2 7 ) ? 2 10 10

10 AB BC AB ,即 ,解得 AB ? 14 . ? ? 7 sin A sin C 2 2 10 2 4 在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD 2 ? 7 2 ? 102 ? 2 ? 7 ?10 ? ? 37 , 5
所以 CD ? 37 . 19(12 分).(1)因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin A ?

2 2 3

,所以 cosA=

1 ,则 3

B+C sin 2 B + C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = 2 2 cos 2 B+C 2 2 1-cos (B+C) 1 1+cos A 1 7 = +( 1- cos A)= + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3
(2) 因为S? ABC=

1 1 2 2 ,则 bc=3。 2,又S? ABC= bcsin A= bc ? 2 2 3
1 3 ,c= 3 b
代入余弦定理: a
2

将 a=2,cosA=

=b2+c2-2bccos A 中得 b4-6b2+9=0

解得 b=

3
1 3

2 20(12 分). f ?( x) ? 3x ? 2 x ?1, 令 f ?( x) ? 0, x1 ? ? , x2 ? 1 ,当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的

变化情况如下表所示

x

f ?( x ) f ( x)

1 (??, ? ) 3
+

?
0

1 3

1 ( ? ,1) 3


1
0 极小值

(1, ??)
+

?

极大值

?

?

1 5 ? a ,极小值 f (1) ? a ? 1 。 f ( x) 的极大值= f (? ) ? 3 27 1 5 ? a ? 0,或a ? 1? 0时 曲 线 f ( x) 与 x 轴 仅 有 一 个 交 点 。 ( 2 ) ? f ( ? ) ? f (1) , 所 以 当 3 27 5 a ? (??, ? ) ? (1, ??) 27
所以

21(12 分). f ( x ) 的导数 f ?( x) ? ex ? e? x . 由于 e ? e ≥ 2 e ? e
x -x x ?x

? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 .

(当且仅当 x ? 0 时,等号成立) . (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

g?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x ? 0 时, g?( x) ? e ? e
x ?x

? a ? 2 ? a ≥0 ,

故 g ( x) 在 (0,∞ ? ) 上为增函数, 所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 f ( x) ≥ ax .

(ⅱ)若 a ? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 , 2

此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞, 2? .

22(12 分)解: (Ⅰ)由
故 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? 2 x ,

f ?( x) ?

2 ? 2 x ? a ,得切线的斜率 k ? f ?(2) ? a ? 3 ? ?1,? a ? 2, , x

由 f ? x ? ? 2x ? m 得 m ? 2ln x ? x 2
2 1 ∵不等式 f ? x ? ? 2x ? m 在 [ , e] 上有解,所以 m ? (2ln x ? x )max

e

令 g ( x) ? 2ln x ? x2
1 e

则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时,x ? 1 .当 ? x ? 1 时,g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时,g ?( x) ? 0 .故
g ( x)

1 e

在 x ? 1 处取得最大值 g (1) ? ?1 , 所以 m ? ?1

(Ⅱ)因为 f ? x ? 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A ? x1 , 0 ? , B ? x2 , 0 ? 所以方程 2 ln x ? x
? 2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,则 ? ,两式相减得 ? 2 2 ln x ? x ? ax ? 0 ? ? 2 2 2

2

? ax ? 0

a ? ? x1 ? x2 ? ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? , x1 ? x2
x

又 f ? x ? ? 2 ln x ? x 2 ? ax, f ? ? x ? ? 2 ? 2 x ? a ,则

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 4 ?x ?x ? f ?? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2
下证

2 ? x2 ? x1 ? 2 ? ln x1 ? ln x2 ? x x 4 ,即证明 ? ln 1 ? 0, t ? 1 ? ? 0 (*) x1 ? x2 x2 x2 x1 ? x2 x1 ? x2
t ?1

? 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? t ? 1, 即证明 u ? t ? ? 2 ?1 ? t ? ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立
?2 ? t ? 1? ? 2 ?1 ? t ? 1 1 ? t ? 1? 又 4 因为 u ? ? t ? ? ? ? ? ? 0 ? t ? 1 ,所以 u ? ? t ? ? 0 2 2 (t ? 1) t t (t ? 1) t (t ? 1) 2
2

所以, u ? t ? 在 ? 0,1? 上是增函数,则 u ? t ? ? u ?1? ? 0 ,从而知

2 ? x2 ? x1 ? x ? ln 1 ? 0 x1 ? x2 x2



2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 x1 ? x2 ? 成立 ? ? 0 ,即 f ? ? ? ??0 x1 ? x2 x1 ? x2 2 ? ?


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