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2012-2014最近三年高考真题数学理科全国卷1总结(学生版)

时间:2015-04-07


2012-2014(全国新课标 1)高考数学理
选择填空 80 分分析
一、集合
(2014) 1.已知集合 A={ x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 },B= ? x ?2 ? x ? 2? ,则 A ? B = A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) ( )

(2013) 1.已知集

合 A={x|x2-2x>0} ,B={x|- 5<x< 5},则

A、A∩B=? B、A∪B=R C、B? A D、A? B (2012) 1.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数= A.3 B.6 C.8 D.10

二、复数
(1 ? i )3 (2014)2. =( (1 ? i ) 2
)

A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i (2013)2.若复数 z 满足错误!未找到引用源。 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( ) A.-4 4 B.- 错误!未找到引用源。 5
?1 ? i

C.4

D.

4 5

(2012)3.下面是关于复数 z= 2 的四个命题:

p1:|z|=2,

p2:z =2i, p3:z 的共轭复数为 1+i,
).

2

p4:z 的虚部为-1,

其中的真命题为(

A.p2 ,p3 三、算法初步

B.p1,p2

C.p2,p4

D.p3,p4

(2014)7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

(2013)5、运行如下程序框图,如果输入的 t ?[?1,3] ,则输出 s 属于

A.[-3,4]

B.[-5,2]

C.[-4,3]

D.[-2,5]

(2012)6. 如果执行下边的程序框图 , 输入正整数 N(N ≥ 2) 和实数 ( ).

a1,a2, … ,aN , 输出 A,B, 则

A.A+B 为 a1,a2,…,aN 的和 B. A ? B 为 a1,a2,…,aN 的算术平均数
2

C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数

四、概率统计
(2014)5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加 公益活动的概率( ) 1 3 5 7 A. B. C. D. 8 8 8 8 B. (2013)3、 为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况 差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样错误!未找到引用源。 C 、 按 学 段分 层 抽样 D、系统抽样 (2012)2. 将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组 由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ). A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 (2012)15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常 工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各 个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 .

五、推理与证明
(2014)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市;

丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为

.

六、二项式定理
(2014)13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .(用数字填写答案)

(2013)9、设 m 为正整数, ( x ? y)2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y)2m?1 展开式的二项式 系数的最大值为 b ,若 13 a =7 b ,则 m = ( A、5 B、6 错误!未找到引用源。 ) C、7 D、8

七、三角函数
? 1 ? sin ? ? (2014)8.设 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则( 2 2 cos ?
A. 3? ? ? ? )

?
2

B. 2? ? ? ?

?
2

C. 3? ? ? ?

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

(2014)6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为 射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ,则
y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为(



(2013)15、设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ =______
π ? 在 ? π ? 单调递减,则ω 的取值范围是( (2012)9.已知ω >0,函数 f(x)=sin ? ??x ? ? ? ,π? ? 4? ?2 ?

).

A. ? 1 , 5 ?
? ?2 4? ?

B. ? 1 , 3 ?
? ?2 4? ?

1? C. ? ? 0, ? 2? ?

D.(0,2]

八、解三角形
( 2014 ) 16. 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a =2 , 且
( 2 ?b ) ( A s? i n B s ?i n c? ) b ,则 ( C?ABC ) s 面积的最大值为 i n

.

九、数列
(2013)7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sm?1 =-2, Sm =0, Sm?1 =3,则 m = ( A、3 B、4 错误!未找到引用源。 C、5 D、6 )

(2013)12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,…

若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=
A、{Sn}为递减数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

cn+an
2

,cn+1=

bn+an
2

,则( )

B、{Sn}为递增数列错误!未找到引用源。 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
2 3 1 3

(2013) 14、 若数列{ an }的前 n 项和为 Sn= an ? , 则数列{ an }的通项公式是 an =______.
(2012)5.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( A.7 B.5 C.-5 D.-7 . ).

(2012)16.数列{an}满足 an?1 +(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为

十、向量
(2014)15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

(2013)13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.

(2012)13.已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10 ,则|b|=

.

十一、线性规划&常用逻辑用语
(2014)9.不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

? x ? y ? ?1, ? (2012)14.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 则 z=x-2y 的取值范围为 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0,

.

十二、立体几何
(2014)12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最 长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

(2013)6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) 500π 3 A、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 866π 3 B、 cm 错误!未找到引用源。 3 2048π 3 D、 cm 3

(2013)8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A . 16 ? 8? B . 8 ? 8? C . 16 ? 16? D . 8 ? 16?

(2012) 11.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2, 则此棱锥的体积为( ). A. 2
6

B. 3
6

C. 2
3

D. 2
2

(2012)7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(

).

A.6

B.9

C.12

D.18

十三、圆锥曲线
(2014)4.已知 F 是双曲线 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

(2014)10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若

FP ? 4FQ ,则 | QF | =
A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

(2013)4、已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
1 C.y?? x 2
D . y ? ?x

A.y??

1 x 4

B.y??

1 x 3

x2 y2 (2013)10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标 a b
为(1,-1),则 E 的方程为 A、 + =1 45 36 (
2

) C、 + =1 27 18
2

x

2

y

2

B、 + =1 错误!未找到引用源。 36 27
a2
b2

x

2

y

x2

y2

D、 + =1 18 9

x2

y2

2 2 (2012)4.设 F1,F2 是椭圆 E: x + y =1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 3a 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角

形,则 E 的离心率为( A. 1
2

). B. 2
3

C. 3
4

D. 4
5

(2012)8.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3 ,则 C 的实 轴长为( A. 2 ). B.2 2 C.4 D.8

十四、函数
(2014)3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

(2014)11.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为
3 2

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 (2013)11、已知函数 f ( x ) = ? ,若| f ( x ) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0

A . (??, 0]

B . (??,1]

C .[-2,1]

D .[-2,0]

(2013)16、若函数 f ( x ) = (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x =-2对称,则 f ( x ) 的最大值是______.

(2012)10.已知函数 f(x)=

1 ,则 y=f(x)的图像大致为( ln( x ? 1)-x

).

(2012)12.设点 P 在曲线 y= 1 ex 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(
2

).

A.1-ln 2 C.1+ln 2

B. 2 (1-ln 2) D. 2 (1+ln 2)

70 分解答题分类 一、数列&解三角形

(2014)17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,a1 =1,an ? 0 ,an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

(2013)17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA

(2012)17、已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3 asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.

二、概率
(2014)18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结 果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ) 由频率分布直方图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) , 其中 ? 近似为样本平均数 x ,

2

? 2 近似为样本方差 s 2 .
(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的 产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

(2013)19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记 为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批 产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记 为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

(2012)18.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

三、立体几何
(2014)19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 BB 1C1C 为菱形, AB ? B 1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

(2013)18、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

(2012)19.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= 1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD.
2

(1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

四、圆锥曲线
(2014)20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭 2 a b 2

圆的焦点,直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

(2013)20.(本小题满分 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切, 圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

(2012) 20. 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值.

五、导数
(2014)21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . x

(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

(2013)(21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f ( x ) = x ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P
2

处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。

(2012)21.已知函数 f(x)满足 f(x)=f'(1)ex 1-f(0)x+ 1 x2.
-

2

(1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 f(x)≥ 1 x2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.
2

六、10 分的选做题(圆、坐标系与参数方程、不等式选讲) 2014 年选做题
22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
o

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

2013 年选做题
(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC=错误!未找到引用源。 ,延长 CE 交 AB 于 点 F,求△BCF 外接圆的半径。

(23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数) ,以 ? y ? 5 ? 5sin t

坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x ) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x ) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

2012 年选做题
22.(2012 课标全国,理 22)选修 4—1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.

23.(2012 课标全国,理 23)选修 4—4:坐标系与参数方程
x ? 2cos? , (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 2 ? ? y ? 3sin?
π ?. 坐标方程是 ρ =2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ? ? 2, ? ? 3?

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围.

24.(2012 课标全国,理 24)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.


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