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广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三三校9月联考数学(理)试题 Word版含答案


广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 9 月三校联考 数学理试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡 的密封线内。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 用 如需改动, 用橡皮擦干净

后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? 1, x ? Z , B ? x | x ? 2 x ? 0 ,则图中的阴影部分

?

?

?

?

表示的集合为( A.

) B.

?? 1?

?2?

1 C. ? ,2?

D. ?0,2?

2. 复数 z ?

(1 ? i ) 2 (i 是虚数单位)的共扼复数是( 1? i
B. ? 1 ? i C. 1 ? i

) D. ? 1 ? i )

A. 1 ? i

3. 等差数列{an}中, 1<a3”是“an<an+1”的 ( “a A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2 4. 已知 ? ~ N (3, ? ) ,若 P (? ? 2) ? 0.2 ,则 P(? ? 4)等于(

A. 0.2

B. 0.3

C. 0.7

D. 0.8

5. 若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于 ( )

A.63 C.127

B. 31 D .15

6. 已知圆 C: ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦点,直线 3x+4y+2=
2 2 2 2

0 与圆 C 相切,则该圆的方程为( A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ?
2 2

) B. x 2 ? ( y ? 1) 2 ?
2 2

64 25

64 25

C. ( x ? 1) ? y ? 1 7.将函数 y=2cos2x 的图象向右平移 到原来的

D. x ? ( y ? 1) ? 1

?
2

个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短 ) D.y=-2cos4x

1 倍(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为( 2
B.y=-2cosx

A.y=cos2x

C.y=-2sin4x

8. 函数 f (x) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则称函数 f (x) 在 D 上为非减函数,设函数 f (x) 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三 个条件: ① f (0) ? 0 ; ② f? ??

? x? ?3?

1 f ( x); 2
1 7 1 8

③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) 。

则 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 等于( A.

1 2

1 3

11 4

1 6 21 B. 8

) D.无法确定

C.

5 2

二、填空题(本大题共 7 小题, 分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分, 满分 30 分) (一)必做题: 第 9 至 13 题为必做题, 每道试题考生都必须作答. 9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

10.某小学对学生的身高进行抽样调查,如图,是将他们的身高(单位:厘米)数据绘制的 频率分布直方图.若要从身高在[120,130)[130,140)[140,150]三组内的学生中, , , 用分层抽样的方法选取 18 人, 则从身高在 [140, 150] 内的学生中选取的人数应为 .

? x ? y ? 5 ? 0, ? 11. 已知实数 x, y满足 ? x ? 3, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为_____ ? x ? y ? 0, ?
? ?
6 ? 2 ? 1 ? , 2 ? 上恒成立,则 ? 展开式的中间项,若 f ? x ? ? mx 在区间 ? 2x ? ? 2 ?

12.设 f ? x ? 是 ? x 2 ?

实数 m 的取值范围是______ 13. 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、C,其中 A = {a1 , a2 ,?, an } , B = {b1 , b2 ,?, bn } , C = {c1 , c2 ,?, cn } ,若 A、B、C 中的元素满足条件: c1 < c2 < ? < cn , ak + bk = ck , k = 1,2,…, n ,则称 M 为“完 并集合”. (1)若 M = {1, x,3, 4,5,6} 为“完并集合”,则 x 的一个可能值为 .(写出一个即

可) (2)对于“完并集合” M = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符合条件的集合 C 中, 其元素乘积最小的集合是 .

(二)选做题: 第 14、15 题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的 得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 ?

? x? t ? (为参数),曲线 C2 的极坐标 ? y ? t ?1 ?

方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 3 ,则 C1 与 C2 交点在直角坐标系中的坐标为 ____。 15. (几何证明选做题) 在△ ABC 中,D 是边 AC 的中点, E 在线段 BD 上, 点 且满足 BE ? 交 BC 于点 F ,则

1 BD ,延长 AE 3

BF 的值为_____. FC

三、解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x , x ? R .求: (I) 求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (II) 求函数 f ( x) 在区间 [ ? 17. (本题满分 12 分) 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投 进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

? ?

, ] 上的值域. 6 3

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

18. (本题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 且

AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 60 0 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .
(Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (Ⅱ)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角 C -A1 D -E 的余弦值.

19.(本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 前 n 项和为 S n , 首项为a1 , 且 ,an , S n 成等差数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)数列满足 bn ? (log 2
a2 n ?1

1 2

) ? (log 2 a2 n ? 3 ) ,求证:

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? b1 b2 b3 bn 2

20.(本题满分 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个边长 a b
为 2 且∠F1B1F2 为 60? 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 ,斜率为 k ( k ? 0 )的直线与椭圆 C 相交于 E , F 两点,A 为椭圆的右顶 点,直线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的 斜率为 k ? .求证: k ? k ? 为定值.

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = 2ln x - x 2 - ax . (Ⅰ)当 a ? 3 时,讨论函数 y = f ( x) 在[ , ?) 上的单调性; ? (Ⅱ)如果 x1 , x2 ( x1 < x2 ) 是函数 f ( x) 的两个零点, f ( x) 为函数 f ( x) 的导数, 证明: f (
,
,

1 2

x1 ? 2 x 2 )?0 3

高三 9 月联考理科数学答案

三、解答题

18、 解(Ⅰ)依题意, BE ? EC ?

1 BC ? AB ? CD 2

所以 ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60 0 又 ?CED ?

1 ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 2
????2 分

所以 ?AED ? 90 0 , DE ? AE

因为 AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,所以 AA1 ? DE ????3 分 因为 AA1 ? AE ? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE ????4 分 ????5 分

因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE (Ⅱ)取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF

,连接 B1C ,则 EF // B1C // A1 D

所以 ?AEF 是异面直线 AE 与 A1 D 所成的角 ????7 分

因为 DE ? 所以 A1 A ?

3 , A1 E ?
2 , BF ?

A1 A 2 ? AE 2 ,

2 , AF ? EF ? 2

1 6 ?1 ? 2 2
????9 分

所以 cos ?AEF ?

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 ? 2 ? AE ? EF 6

(Ⅱ)由 DE ? A1 E 即 ( 解得 a ?

3 2 1 3 1 ) ? (2 ? ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 2 2 2 2

2
3 1 , , 0) , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 2 2

AE ? (

所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值

cos ? ?

| AE ? A1 D | | AE | ? | A1 D |

?

6 6

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 A1 A ?

?? ? 2 ,平面 A1 DE 的一个法向量为 n2 ? ( 3 , 1 ,

2)

又 CD = ? ?

??? ? ?

? ???? ?? ? ? ? ? A1 D ? n3 =0 ?? ? ? ? 得 n3 = 1, 3, 6 ? ??? ?? ? CD ? n3 =0 ?

?? ? 3 1 ? , ,0 ? , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 设 平 面 CA1 D 的 法 向 量 n3 = ? x,y,z ? 则 2 2 ? ?

?

?

????11 分

设二面角 C -A1 D -E 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n2 ? n3 4 3 2 5 则 cos ? = cos n2 ,n3 = ?? ?? = ????13 分 = ? ? 5 10 ? 6 n2 n3
2 5 5

所以二面角 C -A1 D -E 的余弦值为

????14 分

20、

( 21、解: (Ⅰ) f ? x) =

2 - 2 x - a , ????1 分 x
????2 分

1 ( 易知 f ? x) 在 [ , + ) 上单调递减, 2 1 1 ) 时, f ? x) ? f / ( ) ( ∴当 x ? [ , 2 2

3 - a .??????3 分

1 当 a ? 3 时, f ? x) ? 0 在 [ , + ( 2

) 上恒成立.
) 上单调递减.????5 分

1 ∴当 a ? 3 时,函数 y = f ( x) 在 [ , + 2


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