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必修一导学案学高中数学 1.1.2简单组合体的结构特征导学案 新人教A版必修2


第一章 1.1.2 简单组合体的结构特征
【学习目标】1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. 2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征. 3.理解柱、锥、台体的关系. 4.培养观察能力和空间想象能力. 【知识链接】 旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫 旋转体的轴. 【基础知识】 名 称 定义 相

关概念 轴:旋转轴叫做圆柱 以矩形的 一边所在直线 圆 柱 为旋转轴,其 余三边旋转形 成的面所围成 的旋转体叫做 圆柱 的 轴 , 底 面 : 圆 柱 用表示它 的轴的字 母表示,左 图中圆柱 表示为圆 柱 O′O 图形 表 示 法

垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做圆柱的底面;侧 面:平行于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆柱的侧 面;母线:无论旋转到什 么位置,不垂直于轴的边 的边都叫做圆柱侧面的母 线.

2.简单组合体的结构特征 (1)定义:由简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的两种基本形式:
? ?由简单几何体拼接而成; 简单组合体? ?由简单几何体截去或挖去一部分而成. ?

以直角三 角形的一条直底

轴:旋转轴 面 : 垂

叫做圆锥的轴; 直 于 轴 圆锥用表示它 轴的字母 表示,左图中圆锥 表示为圆锥 SO

角边所在直线的 边 旋 转 而 成 的 圆 面 圆 为旋转轴, 其余 叫做圆锥的底面;侧面:直角三角 锥 两边 旋转形 成 形 的 斜 边 旋 转 而 成 的 曲 面 的 面 所 围 成 的 叫做圆锥的侧面;母线:无论旋转 旋 转 体 叫 做 圆 到什么位置, 不 垂直于轴 的边都叫 锥 做圆锥侧面的母线.

圆 台

用平行于圆 与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、 锥底面的平 底面、侧面、母线。 面去截圆锥, 底面与 截面 之间的部分 叫做圆台

圆台用 表示它的 轴的字母 表示,左图中圆 台表示为 圆台 O O′



以半圆的 直径 球心:半圆的圆心叫做球的球心; 所在直线为 半径: 半圆的 半径叫做球的半径; 旋转轴,半圆 直径:半圆的直径叫做球的直径. 面旋转一周 形成的旋转 体叫做球体, 简称球.

球常用表示球心 的字母 O 表示, 左图中的球表示 为球 O

思考 1.圆锥是直角三角形绕其中一边旋转而形成的旋转体,这句话是否正确? 提示:这句话不对.当绕某一直角边旋转时,能形成圆锥,当绕斜边旋转时,形 成共底的两个圆锥. 2.我们用的篮球、排球、铅球都是球吗? 提示:球是球体的简称.球体包括球面及所围成的空间部分.从集合观点来看,球可看作是空间中与 一个定点的距离小于或等于定 长的点的集合, 这个定点就是球心, 定长 就是球的半径. 通常我们用的篮球、 排球是指球面,而铅球才是球体.

[例 1] 一个有 30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得 几何体是圆锥吗?如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°得 到什么图形?旋转 360°又得到什么图形? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①直角三角形绕其各边旋转得到的是旋转体; ②根据旋转轴的不同,得到的旋转体也是不同的. 解答本题可先分析各种可能的旋转轴,然后根据旋转体的有关 概念及空间想象能力进行判断.

[解] 图 3(1)、(2)旋转一周围成的几何体是圆锥,图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥的组合体; 图(4)旋转 180°是两个半圆锥的组合体,旋转 360°是一个圆锥. [点评] (1)旋转体的形状关键在轴的确定.看另两边的轨迹,应结合想象力或动手能力去分析所形 成的几何体. (2)直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥,绕其斜边所在直线旋转一周所 围成的几何体是两个圆锥的组合体. 迁移变式 1—1 下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

解析:图中给出的组合体是一个圆台上 接一个圆锥,因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成,并且上面应是直角三角形,下面应 是直角梯形. 答案:A 迁移变式 1—2 判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)空间中到定点的距离等于定长 r 的点的集合,构成半径为 r 的球. (2)空间中到定点的距离等于定长 r 的点的集合,构成半径为 r 的球面. (3)一个圆绕其直径旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球. (4)球的对称轴有无数条,对称中心也有无数个. (5)用平面截球,随着平面角度不同,截面可能不是圆面. 解:(1)不正确,满足定长的点仅仅构成一个球面,条件改为“小于等于 r”即可. (2)正确 (3)正确 (4)不正确.对称中心只有一个,即球心. (5)不正确.用平面去截球,无论平面角度如何变换、截面总是圆面. 变式体验 3 说出下列组合体的几何结构特征(如图 7). 解:(1)一个四棱柱内部抠去一个三棱柱构成的简单组合体; (2)一个四棱柱与一个四棱锥的组合体.

[例 4] 图 8 绕虚线旋转一周后所形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的.

[分析] 过原图中的折点向旋转轴引垂线,即可得到旋转以后的图形. [解] 旋转后的图形如图 9 所示.

其中(1)由一个圆柱 O1O2 和两个圆台 O2O3, O3O4 组成; (2)由一个圆锥 O4O5, 一个圆柱 O3O4 及一个圆台 O1O3 中挖去圆锥 O1O2 组成. 对于一般 的柱体、锥体、台体之间的联系如下:

2.圆柱、圆锥、圆台和球可以看做是以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底面的 腰、 圆的一条直径所在的直线为旋转轴, 其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体, 其轴截面分别为矩形、 等腰三角形、等腰梯形和圆,这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素,处理旋转体的有关问题一般要 作出轴截面. 【达标检测】 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,这个几何体不可能是( D A.圆锥 C.球 2.下列几何体是组合体的是(D ) B.圆柱 D.棱柱 )

3.下列命题正确的有( B ) ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面 ②圆柱不是旋转体 ③圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的 ④在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线 A.1 个 B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:命题①正确;命题②错误;命题③正确;命题④错误. 4.如图 1 所示为一个空间几何体的竖直截面图形,那么这个空间几何体自上而下可能是( C )

A.梯形、正方形

B.圆台、正方形 C.圆台、圆柱

D.梯形、圆柱

解析:空间几何体不是平面几何图形,所以应该排除 A、B、D,所以选 C. 5.如图 3 所示,模块①~⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体 构成.现从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体.则下列选择 方案中,能够完成任务的为(A )

图3

A.模块①②⑤ C.模块②④⑤

B.模块①③⑤ D.模块③④⑤

解析:先将模块⑤放到模块⑥上,如图 4a 所示;再把模块①放到模块⑥上,如图 4b 所示;再把模块 ②放到模块⑥上,如图 4c 所示.观察图 4c 可知选择模块①②⑤能够完成任务.

图4

6.Rt△ABC 中,AB=3,BC=4,AC=5.分别以 AB、BC、AC 所在直线为轴旋转一周,则有 (1)以 AB 边所在直线为轴旋转一周所得的几何体为__________; (2)以 BC 边所在直线为轴旋转一周所得几何体是________; (3)以 AC 边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是______. 解析:以 AB 边所在直线为轴旋转一周所得的几何体为圆锥,底面圆的半径为 4,母线长为 5;以 BC 边所在直线为轴旋转一周所得的几何体也是一个圆锥,底面圆的半径为 3,母线长为 5 ;以 AC 边所在直线 12 为轴旋转一周所得的几何体是由两个同底圆锥构成的几何体, 两个母线长分别为 3 和 4, 同底圆的半径为 . 5

答案:(1)圆锥 (2)圆锥 (3)由两个同底圆锥构成的几何体 7.图 5 是某单位公章示意图,这个几何体是由简单几何体中的__________组成的. 答案:半球、圆柱、圆台

图5

图6


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