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2016高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第三讲 不等式选讲 文

时间:2016-02-05


第三讲

不等式选讲

从历年全国高考题中知,考绝对值不等式解法或与解绝对值不等式相关问题可能性大, 另证明不等式思想在试题中必有体现,注意书写规范,明确每步理论依据.

绝对值不等式 1.绝对值三角不等式. (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b -c)≥0 时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法. (1)不等式|x|<a 与|x|>a 的解集: 不等式 |x|<a |x|>a

a>0
{x|-a<x<a} {x|x>a 或 x<-a}

a=0
? {x|x≠0}

a<0
? R

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 柯西不等式 3.柯西不等式的二维形式. (1)柯西不等式的代数形式:设 a1,a2,b1,b2 均为实数,则(a1+a2)(b1+b2)≥(a1b1+
2 2 2 2

1

a2b2)2(当且仅当 a1b2=a2b1 时,等号成立).
(2)柯西不等式的向量形式:设 α ,β 为平面上的两个向量,则|α ||β |≥|α ·β |. (3) 二 维 形 式 的 三 角 不 等 式 : 设 x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R , 那 么 x1+y1 + x2+y2 ≥ (x1-x2) +(y1-y2) . 4.柯西不等式的一般形式. 柯西不等式的一般形式: 设 a1, a2, ?, an, b1, b2, ?, bn 为实数, 则(a1+a2+?+an)·(b1 +b2+?+bn)≥(a1b1+a2b2+?+anbn) . 5.基本不等式的一般形式.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a+a2+?+an n * ≥ a1a2?an(a1,a2,?,an∈N ). n

1.函数 y=|x-4|+|x-6|的最小值为(A) A.2 B. 2 C.4 D.6

解析:y=|x-1|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2. 2.不等式 3≤|5-2x|<9 的解集为(D) A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7]

C.(-2,-1]∪[4,7) D.(-2,1]∪[4,7)
?|2x-5|<9, ? ?-9<2x-5<9, ?-2<x<7, ? ? 解析:? ?? ?? 得(-2,1]∪[4,7). ? ? ?|2x-5|≥3 ?2x-5≥3或2x-5≤-3 ? ?x≥4或x≤1,

3.(2015·皖南八校联考)不等式|x+3|+|x-1|≥a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实 数 a 的取值范围为(A) A.[-1,4] C.[-2,5] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.(-∞,-2)∪[4,+∞)

2

解析:由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为 4,所以不等式|x+3|+|x -1|≥a -3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a -3a≤4,解得-1≤a≤4. 4.(2015·延边州质检)函数 y= A.6 B.7 C. 7 D.9
2 2

x2+5x+15 (x≥0)的最小值为(B) x+2

2

(x+2) +(x+2)+9 9 解析:原式变形为 y= =x+2+ +1,因为 x≥0,所以 x x+2 x+2 +2>0,所以 x+2+ =1 时). 9

2

x+2

≥6.所以 y≥7,当且仅当 x=1 时取等号.所以 ymin=7(当且仅当 x

3


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