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上海市徐汇区2012届高三4月学习能力诊断试卷(数学理)WORD版

时间:2012-06-16


2011 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (理科试卷)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2012.4 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
2 n 1 ,则 lim a n ?
n? ?

1、已知 a n ?

1 n ?1
? ?

.

n
? 2 ? 0 ? , 函 数 y ? lg ( ? x ? 6 x ? 8) 的 定 义 域 为 集 合 B , 则 3? x ? x?7

2、已知集合 A ? ? x |
A? B =

. 3、某区有 200 名学生参加数学竞赛,随机抽取 10 名学生成绩如下: 成 绩 人 数 40 1 50 1 60 2 70 2 80 1 90 3

则总体标准差的点估计值是 4、 若函数 y ? g ( x ) 图像与函数 y ? ( x ? 1) ___. 5、若
a 1? i
2

.(精确到 0 .0 1 )
( x ? 1) 的图像关于直线 y ? x 对称, g (4) ? 则

? 1 ? bi ,其中 a , b 都是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi =
2 x
3

.

6、 ( 3 x 2 ?

) 的二项展开式中,常数项的值是
5

.

7、某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为志愿者,若用随机变量 ? 表示选出的志 愿者中女生的人数,则数学期望 E ? =____________.(结果用最简分数表示) 8、已知数列
an ?

?an? 的 前
*

n 项 和 S n ? 2an ? 1 , 则 数 列

?an? 的 通 项 公 式 为

. (n ? N )
?
3
0

9、函数 f ( x ) ? 2 sin x ? sin (

? x ) 的值域是

.

10、 如图: 底面直径为 2 的圆柱被与底面成 3 0 二面角的平面所截, 截面是一个椭圆, 则此椭圆的焦距为 .

11、在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 co s ? 于 A 、 B 两点,则 A B = .

12、若函数 y ? f ? x ? ( x ? R )满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ,且 x ? ? ? 1,1? 时, f ? x ? ? 1 ? x ,
2

? lg ( x ? 1) x ? 1 ? 1 ? 函数 g ? x ? ? ? ? x ? 0 ,则函数 h ? x ? ? f x ? ?0 0? x ?1 ?

? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ? 5, 6 ? 内的零点的个

数为______.
? a 11 ? x ? a 21 13、 已知函数 f ( x ) ? ,在 9 行 9 列的矩阵 ? 1? x ? ? ?a ? 91
i

a 12 a 22 ? a 92

a 13 a 23 ? a 93

? ? ? ?

a 19 ? ? a 29 ? 中, i 行第 j 列 第 ? ? ? a 99 ? ?

的元素 a ij ? f ( ) ,则这个矩阵中所有数之和为_______________.
j

14、如图,点 P ( x , y ) ( x ? 0, y ? 0 ) 是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 上的动点, F1 , F 2 是

双曲线的焦点, M 是 ? F1 P F 2 的平分线上一点,且 F2 M ? M P ? 0 .某同学用以下方法研究
O M :延长 F 2 M 交 P F1 于点 N ,可知 ? P N F 2 为等腰三角形,且 M 为 F 2 N 的中点,得
1 2
x a
2 2

????? ????

OM ?

N F1 ? ? ? a .类似地: P ( x , y ) ( x ? 0, y ? 0) 是椭圆 点

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上

的动点,F1 , F 2 是椭圆的焦点,M 是 ? F1 P F 2 的平分线上一点,且 F2 M ? M P ? 0 ,则 O M 的取值范围是 .
y P
N

????? ????

y P M

M

F1

O

F2

x

F1

O

F2

x

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则 一律得零分.
15、条件甲:函数 f ( x ) 满足 (A)充分非必要条件 (C)充要条件
f (? x) f (x) ? 1 ;条件乙:函数 f ( x ) 是偶函数,则甲是乙的 (



(B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件

16、 A ( a ,1)、 B ( 2, b )、 C ( 4, 5) 为坐标平面上三点,O 为坐标原点。 O A 与 O B 在 O C 上 设 若 的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( (A) 5 a ? 4 b ? 3 (B) 4 a ? 5 b ? 3 ) (C) 4 a ? 5 b ? 14 (D) 5 a ? 4 b ? 14

uur

uuu r

uuu r

17、如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x , y ) ? 0 的解”是正确的,则下列命题中 正确的是( )

(A)曲线 C 是方程 f ( x , y ) ? 0 的曲线; (B)方程 f ( x , y ) ? 0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上; (C)不满足方程 f ( x , y ) ? 0 的点 ( x , y ) 不在曲线 C 上; (D)方程 f ( x , y ) ? 0 是曲线 C 的方程. 18、若框图所给的程序运行的结果为 S ? 90 ,那么判断框中应填入的关于 k 的 判断条件错误的是( ) .. (A) k ? 8 (B) k ? 8 (C) k ? 9 (D) k ? 9 第 18 题图

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19、 (本题满分 12 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 8 分. 在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c ,且 a ? (1)求 c 的值; (2)求 sin ( 2 A ?
?
3 ) 的值.
5 , b ? 3, sin C ? 2 sin A .

20、 (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 如图:在正 方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, O 是 A C 的中点, E 是 线段 D 1 O 上一点,且
???? ? ???? D1 E ? ? ? E O .

D1 A1 E D A O B B1

C1

(1) 求证: D B1 ? 平 面 C D1O ; (2) 若平面 C D E ? 平面 C D 1 O ,求 ? 的值.

C

21、 (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 由于浓酸泄漏对河流形成了污染,现决定向河中投入固体碱。1 个单位的固体碱在水中 逐 步 溶 化 , 水 中 的 碱 浓 度 y 与 时 间 x 的 关 系 , 可 近 似 地 表 示 为

16 ? ? x?8 0? x? 2 ?? y ? ? x?2 。 只有当河流中碱的浓度不低于 1 时, 才能对污染产生有效 ... ? 4? x 2? x? 4 ?

的抑制作用。 (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长? (2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,此后,每一时刻河 中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和,求河中碱浓度可能取得的最 大值. 22、 (本题满分 16 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知点 F1 , F 2 为双曲线 C : x ?
2

y b

2 2

? 1 ( b ? 0 ) 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直

线,在 x 轴上方交双曲线于点 M ,且 ? M F1 F2 ? 3 0 ,圆 O 的方程为 x ? y ? b .
0

2

2

2

(1)求双曲线 C 的方程; (2) 过圆 O 上任意一点 Q ( x 0 , y 0 ) 作切线 l 交双曲线 C 于 A , B 两个不同点,A B 中点为 M , 求证: A B ? 2 O M ; (3)过双曲线 C 上一点 P 作两条渐近线的垂线,垂足分别是 P1 和 P2 ,求 PP 1 ? PP 2 的值.

23、 (本题满分 18 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 如果存在常数 a 使得数列 ? a n ? 满足: x 是数列 ? a n ? 中的一项, a ? x 也是数列 ? a n ? 中 若 则 的一项,称数列 ? a n ? 为“兑换数列” ,常数 a 是它的“兑换系数”. (1)若数列: 1, 2, 4, m ( m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值; (2)已知有穷等差数列 ? b n ? 的项数是 n 0 ( n 0 ? 3) ,所有项之和是 B ,求证:数列 ? b n ? 是 .. “兑换数列” ,并用 n 0 和 B 表示它的“兑换系数” ; (3)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增数列 ? c n ? ,是否有可能它既是等比数 列,又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.

2011 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准(2012.4)
一. 填空题: 1. ? 1 2. ? 3, 4 ?
4 7

3. 1 7 .6 4

4. ? 1
? ?

5. 5
3 1? , 2 2? ?
2 2

6. 1080

7.

8. 2
81 2

n ?1

9. ? ?

10.

2 3 3

11. 2 3 二.选择题: 三.解答题:

12. 9 15.A
c sin C

13.

14. 0, a ? b 17.C 18.D

?

?

16.B
a sin A
2 2

19.解: (1)由正弦定理

?

,得 c ?
2

sin C sin A

? a ? 2 a ? 2 5 -------------------4 分

(2)由余弦定理,得 co s A ?

c ?b ?a 2bc

?

2 5 5

-------------------6 分

所以 sin A ?

1 ? co s A ?
2

5 5

-------------------7 分
2 2

故 sin 2 A ? 2 sin A co s A ?
?
3

4 5

, co s 2 A ? co s A ? sin A ?

3 5

-------------------9 分

所以 sin ( 2 A ?

) ? sin 2 A co s

?
3

? co s 2 A sin

?
3

?

4?3 3 10

-------------------12 分

20.解: (1)不妨设正方体的棱长为 1,如图建立空间直角坐标系, 则 D (0, 0, 0 ), B1 (1,1,1), O ( ,
1 1 2 2 , 0 ), C (0,1, 0 ), D 1 (0, 0,1) -------------------2 分

z

D1 A1 E D
x

C1 B1

C O B

y

A

于是: D B1 ? (1,1,1), , C D 1 ? (0, ? 1,1), O C ? ( ?
???? ???? ? ? ???? ???? ?

???? ?

???? ?

????

1 1 , , 0 ) -------------------4 分 2 2

因为 D B1 ? C D 1 ? 0, D B1 ? O C ? 0 ,所以 D B1 ? C D1 , D B1 ? O C ------------5 分 故: D B1 ? 平 面 C D1O -------------------6 分 (2)由(1)可知平面 C D 1 O 的法向量取 m ? D B1 ? (1,1,1) -----------------8 分 由 D 1 E ? ? ? E O ,则 E (
? ?
1 ) -------------------10 分
? ????

??

???? ?

2 (1 ? ? ) 2 (1 ? ? ) 1 ? ?
? ? ????

,

,

又设平面 C D E 的法向量为 n ? ( x , y , z ) 由 n ? C D ? 0, n ? D E ? 0
?y ? 0 ? ? 得? ?x ,取 x ? ? 2, 得 z ? ? ,即 n ? ( ? 2, 0, ? ) -------------------12 ?y z ? ? ? 0 ? 2 (1 ? ? ) 2 (1 ? ? ) 1 ? ? ?

分 因为平面 C D E ? 平面 C D 1 O ,所以 m ? n ? 0 ,得 ? ? 2 -------------------14 分
?? ?

16 ? ? x?8?1 ?? ? 21.解: (1) ? x ? 2 ?0 ? x ? 2 ?

? 5 ? 17 5 ? 17 5 ? 17 ? x? ? ? ? x ? 2 --------2 ? 2 2 2 ? ?0 ? x ? 2


?4 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 3 -------------4 分 ? ?2 ? x ? 4
5? 2 17

综上,得

? x ? 3 -------------5 分

即若 1 个单位的固体碱只投放一次,则能够维持有效抑制作用的时间为
3? 5? 2 17 ? 1? 2 17

-----6 分
16 x?2 ? x ? 8 单调递增-------------8 分

(2)当 0 ? x ? 2 时, y ? ?

当 2 ? x ? 4 时, y ? 4 ? x 单调递减-------------9 分 所以当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱, 即 2 ? x ? 4 时,y ? 4 ? x ? ? ?
? ? ? 16 ? ( x ? 2) ? 8 ? ? 14 ? (2 x ? ) ------------------12 分 ( x ? 2) ? 2 x ? 16

故当且仅当 2 x ?

16 x

, 即 x ? 2 2 时, y 有最大值 1 4 ? 8 2 。-------------------14 分

22.解: (1)设 F 2 , M 的坐标分别为 ( 1 ? b , 0 ), ( 1 ? b , y 0 ) ( y 0 ? 0 ) -------------------1 分
2 2

因为点 M 在双曲线 C 上, 所以 1 ? b ?
2

y0 b

2

2

? 1 , y0 ? b , 即 所以 M F ? b ------------2 2
2

2


0 在 R t ? M F 2 F1 中, ? M F1 F2 ? 3 0 , M F2 ? b ,所以 M F1 ? 2 b ------------3 分

2

2

由双曲线的定义可知: M F1 ? M F2 ? b ? 2
2

故双曲线 C 的方程为: x ?
2

y

2

2

? 1 -------------------4 分

(2)①当切线 l 的斜率存在 设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,切线 l 的方程为: y ? kx ? n ( k ? ? 2 ) 代入双曲线 C 中,化简得: ( 2 ? k ) x ? 2 kn x ? ( n ? 2 ) ? 0
2 2 2

所以 A B ?

1 ? k ? x1 ? x 2 ?
2

1? k ?
2

8n ? 8k ? 16
2 2

(2 ? k )
2

2

-------------------6 分

因为直线 l 与圆 O 相切,所以
2 2 1? k 2?k
2

n 1? k
2

?

2 ,代入上式,得

2

AB ?

?

k ? 4 -----------7 分
2

设点 M 的坐标为 ( x M , y M ) ,则 x M ? 所以 O M ?
kn 2?k ) ?( 2
2

x1 ? x 2 2

?

kn 2?k
2
2

, y M ? kx M ? n ?

2n 2?k
2

(

2n 2?k

) ? 2
2

2 ? 1? k 2?k
2

?

k ? 4 -------------------8 分
2

即 A B ? 2 O M 成立 ②当切线 l 的斜率不存在时, A ( 2 , ? 2 ), B ( 2 , 2 ) 或 A ( ? 2 , ? 2 ), B ( ? 2 , 2 ) 此时 A B ? 2 2 , O M ?
2 ,即 A B ? 2 O M 成立-------------------10 分

(3)由条件可知:两条渐近线分别为 l1 : 设双曲线 C 上的点 P ( x 0 , y 0 ) ,

2 x ? y ? 0; l 2 :

2 x ? y ? 0 -------------------11 分

则点 P 到两条渐近线的距离分别为 P P1 ?
???? ???? 所以 P P1 ? P P2 ? 2 x0 ? y0 3
2

????

2 x0 ? y0 3
2

???? , P P2 ?
2

2 x0 ? y0 3

?

2 x0 ? y0 3

?

2 x0 ? y0 3

-------------------13 分

因为 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 C : x ?

y

2

2

? 1 上,所以 2 x 0 ? y 0 ? 2
2 2

2 2 ???? ???? 2 x0 ? y0 2 ? -------------------14 分 故 P P1 ? P P2 ? 3 3

设 P F1和 P F2 的夹角为 ? ,则 co s ? ? 所以 P F1 ? P F 2 ? P F1 ? P F 2 ? co s ? ?
???? ???? ? ???? ???? ?

????

???? ?

2?

2 ? 1 ? ( ? 1) 3? 3

?

1 3

-------------------15 分

2 1 2 ? ? -------------------16 分 3 3 9

23.解: (1)因为数列: 1, 2, 4, m ( m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” 所 以
a ? m , a ? 4, a ? 2, a ? 1



















a ? m ? a ? 4 ? a ? 2 ? a ? 1 -------------------1 分

故 a ? m ? 1, a ? 4 ? 2 -------------------3 分 即 a ? 6, m ? 5 。 -------------------4 分 (2)设数列 ? b n ? 的公差为 d ,因为数列 ? b n ? 是项数为 n 0 项的有穷等差数列 若 b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b n ,则 a ? b1 ? a ? b 2 ? a ? b3 ? ? ? a ? b n
0

0

即对数列 ? b n ? 中的任意一项 bi (1 ? i ? n 0 )
a ? bi ? b1 ? ( n 0 ? i ) d ? b n
?1? i

0

? ? b n ? -------------------6 分 ? ? b n ? 也成立,

同理可得:若 b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b n , a ? bi ? b1 ? ( n 0 ? i ) d ? b n
0

0

?1? i

由“兑换数列”的定义可知,数列 ? b n ? 是 “兑换数列” ;-------------------8 分 又 因 为 数 列 ? bn ? 所 有 项 之 和 是 B , 所 以 B ?
2B n0

( b1 ? b n ) ? n 0
0

?

a ? n0 2

,即

2

a ?

-------------------10 分

(3)假设存在这样的等比数列 ? c n ? ,设它的公比为 q ( q ? 1) , 因为数列 ? c n ? 为递增数列,所以 c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n ? ? 则 a ? c1 ? a ? c 2 ? a ? c 3 ? ? ? a ? c n ? ? 又因为数列 ? c n ? 为“兑换数列” ,则 a ? c i ? ? c n ? ( i ? 1, 2, ? ) ,所以 a ? c i 是正整数 故数列 ? c n ? 必为有穷数列,不妨设项数为 n 项,------------------12 分 则 c i ? c n ? 1 ? i ? a (1 ? i ? n ) ----------14 分 ① 若 n ? 3, 则 有 c1 ? c 3 ? a , c 2 ? -------------------15 分 ②若 n ? 4 。由 c1 ? c n ? c 2 ? c n ? 1 ,得 c1 ? c1 q ? c1 q 即 ( q ? 1)(1 ? q
n?2
n ?1

a 2

, 又 c 2 ? c1 ? c 3 , 由 此 得 q ? 1 , 与 q ? 1 矛 盾 ;
2

? c1 q

n?2

?0

) ? 0 ,故 q ? 1 ,与 q ? 1 矛盾;-------------------17 分

综合①②得,不存在满足条件的数列 ? c n ? 。-------------------18 分

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