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圆锥曲线复习总结——椭圆(教师版)

时间:2016-09-08


圆锥曲线复习——椭圆 高考对椭圆的考查趋势:
1)椭圆定义的灵活应用。 2)利用标准方程研究几何性质尤其是离心率求值问题。 3)求椭圆的标准方程。 4)椭圆与平面向量、数列等知识交汇题。

一、椭圆的定义: 平面上到两个定点 F1 , F2 的距离之和为定值(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆。 焦点:两定点 F1 , F2 ; 焦距:两焦点的距离( F1 F2 )

集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集.
【例题 1】 :若椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 p 到焦点 F1 的距离为 6,则点 p 到另一个焦点 F2 的 25 16

距离为________.(4) 【解析】 :由椭圆的定义可知: PF 1 ? PF 2 ? 2a, 所以点 p 到其另一个焦点的距离为:

PF2 ? 2a ? PF 1 =10-6=4.
x2 3
2

【例题 2】 :已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦

点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 C.4 3 B.6 D.12

).

【例题 3】(湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点 出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形 台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径 不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能

[解析]按小球的运行路径分三种情况:

y

P D

(1) A ? C ? A ,此时小球经过的路程为 2(a-c); (2) A ? B ? D ? B ? A , 此时小球经过的路程为 2(a+c); (3) A ? P ? B ? Q ? A 此时小球经过的路程为 4a,故选 D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面

C A
O

B Q

x

二、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

图形

范围 对称性 顶点 关于 x 轴,y 轴,坐标原点对称 A1(-a,0) ,A2(a,0) B1(0,-b) ,B2(0,b) 关于 x 轴,y 轴,坐标原点对称 A1(0,-a) ,A2(0,a) B1(-b,0) ,B2(b,0)



长轴 A1 A2 的长为2a, 短轴 B1B2 的长为2b

焦距 离心率

F1 F2 ? 2c(c ? a 2 ? b 2 )
e? c ? (0,1), 其中 c ? a 2 ? b 2 a

a,b,c 的关系

c2=a2-b2

【例题 1】已知方程 x cos? ? y sin ? ? 1,? ? (0,? ) ,讨论方程表示的曲线的形状
2 2

[解析]当 ? ? (0, 当? ?

?
4

) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,

?
4

时, sin ? ? cos ? ,方程表示圆心在原点的圆,

当? ? (

? ?

, ) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 4 2

【例题 2】已知椭圆

x2 y2 ? ? 1焦点在 y 轴上,若焦距为 4,则 m=_________. 10 ? m m ? 2
2 2

【解析】由题意知:m-2>10-m>0,所以 6<m<10,且 2c=4 ? c=2. a ? m ? 2 , b ? 10 ? m .

?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2m ? 12 ? 4.? m ? 8

【例题 3】已知点 A, B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( m ? 0 ,n ? 0 )上两点,且 AO ? ? BO ,则 ? = m2 n2

[解析] 由 AO ? ? BO 知点 A, O, B 共线,因椭圆关于原点对称,? ? ? ?1

【例题 4】?(2011· 青岛模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦

x2 a

y2 b

→ → 点,P 为椭圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________.
【解析】由题意可知:△PF1F2 是直角三角形,且△PF1F2 的面积为 9,则可得:

1 PF1 ? PF2 ? 9 2 2 ,整理可得 PF1 ? PF2 ? 4a 2 ? 36 = (2c) 2 ,由此可得 b ? 3 2 PF1 ? PF2 ? 2a
三.椭圆标准方程的求法. 求椭圆的标准方程有两种方法:定义法和待定系数法。 1.定义法:根据椭圆的定义,确定 a,b 的值,结合焦点位置可写出椭圆方程。 2.待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出 a,b 的值; 若焦点位置不明确,则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论。 求椭圆标准方程的几种情况: 1)已知焦点坐标,和 a。 【例题 1】焦点在(-3,0)和(3,0) ,椭圆上每一点到两个焦点的距离之和为 10.

解: 由题意可知 c ? 3,2a ? 10 ? c ? 3, a ? 5. 由 b ? a ? c ? 25 ? 9 ? 16可得椭圆的标准方程为
2 2 2

x2 y2 ? ?1 25 16

2)已知焦点坐标,和 a 与 b 之间的关系。 【例题 2】已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍, 则该椭圆的标准方程是 .

?b 2 ? 4 ? ? 2 y2 ?a ? 2b, c ? 2 3 ? ? ?a 2 ?16 ? x ? ?1 为所求; 解:已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? F ( ? 2 3,0) ? ?
3)已知焦点坐标,和椭圆上一点坐标。 【例题 3】求过点( 3, 5 ) ,且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点的椭圆的标准方程。 25 9

x2 y2 ? ? 1 的焦点为(0,-4) 【解析】方法一:椭圆 , (0,4) ,即 c=4. 25 9
由 椭 圆 定 义 可 知 : 2a ?

( 3 ? 0) 2 ? (? 5 ? 4) 2 ? ( 3 ? 0) 2 ? (? 5 ? 4) 2 。 解 得

a?2 5。
由 c ? a ? b 可得b ? 4 。由此求得椭圆的标准方程为:
2 2 2 2

x2 y2 ? ?1 20 4

x2 y2 ? ? 1 的焦点为(0,-4) 方法二:椭圆 , (0,4) ,焦点在 y 轴上,且 c=4. 25 9
设所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 。因为 c=4,且 c 2 ? a 2 ? b2 ? 16 2 a b 5 32 ? ? 1 ,联立方程可得 b=2,a=2 5 。 a 2 b2
2 ),B(2,0).求椭 3

又点( 3, 5 )在所求椭圆上,所以

4)未知焦点坐标,只知椭圆上两点坐标。 【例题 4】已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,并经过两点 A(1, 圆的标准方程。

【解析】 :当椭圆的焦点位置不明确时,可设

x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 为椭圆的标 m n

准方程,避免讨论和繁杂的计算。也可设 Ax2 ? By2 ? 1( A ? 0, B ? 0且A ? B) .

5)其他类型 【例题】设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数 a, b, c 的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1(a ? b ? 0) , 或 a 2 b2 b2 a2

b?c ? ? 则 ?a ? c ? 4( 2 ? 1) , ? a 2 ? b2 ? c2 ?

x2 y2 x2 y 2 ? ?1或 ? ? 1. 解之得: a ? 4 2 ,b=c=4.则所求的椭圆的方程为 32 16 16 32 【名师指引】准确把握图形特征,正确转化出参数 a, b, c 的数量关系.
[警示]易漏焦点在 y 轴上的情况. 【训练】(1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程.

x2 y2 (2)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分 点 M,N 与 F 构成正三角形,求椭圆的方程. x2 y2 解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0), 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴a2=1,a=3, =1. y2 x2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 02 9 y2 ∴椭圆过点 A(3,0),∴a2+b2=1,∴b=3, 又 2a=3· 2b,∴a=9,∴方程为81+ x2 9 =1. x2 y2 x2 综上所述,椭圆方程为 9 +y2=1 或81+ 9 =1. x2 ∵2a=3· 2b,∴b=1,∴方程为 9 +y2

3 3 2 (2)由△FMN 为正三角形,则 c=|OF|= 2 |MN|= 2 ×3b=1.∴b= 3.a2=b2+c2 x2 y2 =4.故椭圆方程为 4 + 3 =1. 四、椭圆的最值问题
【例题 1】 P 是椭圆 最大值与最小值
2 2 [解析] | PF ?[a ? c, a ? c] 1 | ? | PF 2 |?| PF 1 | (2a? | PF 1 |) ? ?(| PF 1 | ?a) ? a , | PF 1|

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,求 | PF 1 | ? | PF 2 |的 a 2 b2

当 | PF 1 |? a 时, | PF 1 | ? | PF 2 | 取得最大值 a ,
2

当 | PF 1 |? a ? c 时, | PF 1 | ? | PF 2 | 取得最小值 b

2

【例题 2 】已知 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点, M , N 分别为圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和圆 25 16
) D. 15

( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 上的点,则 PM ? PN 的最小值为(
A. 5 [解析]B. 10-1-2=7 B. 7 C .13

| PC | ? | PD |? 10 , PM ? PN 的最小值为 两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点,?

【例题 3】椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内接矩形的面积的最大值为 16 9

[解析]设内接矩形的一个顶点为 (4 cos? ,3sin ? ) , 矩形的面积 S ? 48 sin ? cos ? ? 24 sin 2? ? 24

【例题 4】已知点 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) , 4

O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是_________.
[解析] 设 P (2 cos ? , sin ? ), ? ? (0,

?
2

) ,则

1 1 SOAPB ? S ?OPA ? S ?OPB ? OA ? sin ? ? OB ? 2 cos ? ? sin ? ? cos? ? 2 2 2

五、椭圆的综合问题。 1)直线与椭圆位置关系的判定。 (或直线与椭圆有几个交点问题) ; 把 椭 圆方 程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 方程 y ? kx ? b 联 立 消去 y , 整 理 成 形 如 a 2 b2

Ax2 ? Bx ? C ? 0( A ? 0) 的形式。则
△ ? B 2 ? 4 AC △ >0 △ =0 △ <0
直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交,有两个公共点 直线与椭圆相切,有一个公共点 直线与椭圆相离,没有公共点

【例题】对不同的实数值 m,讨论直线 y ? m x ? 1 与椭圆 2)直线被椭圆所截; (注:直线 y=kx+b 被椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的交点的个数。 4

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 截得的弦长公式为: a 2 b2

设直线与椭圆交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,则:

AB ? (1 ? k 2 )(x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (1 ? 1 1 )( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? 2 ) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 k k

【例题 2】已知点(4,2)是直线 L 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 L 的方 36 9

程。 【方法】设出直线方程的点斜式,与椭圆方程联立求出一个关于 x,k 的二元一次方程,再 利用韦达定理求出 k 的取值。

1 x2 y2 【例题 3】 已知直线 y=-2x+2 和椭圆a2+b2=1(a>b>0)相交于 A、B 两点, 1 M 为线段 AB 的中点,若|AB|=2 5,直线 OM 的斜率为2,求椭圆的方程.

[尝试解答]

设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
2 x1 y2 1 ? ?a2+b2=1,



?x2 y2 2 + 2 2=1, ?a b2 ?
y2-y1 b2x1+x2 =-a2 . x2-x1 y1+y2

① ②

①-②得:

b2 x0 1 ∴kAB=-a2×y =-2.③ 0 1 ? ?y=-2x+2, 由? 2 x y2 2+ 2=1 ? ?4b b

y0 1 又 kOM=x =2,④
0

由③④得 a2=4b2.

得:x2-4x+8-2b2=0,∴x1+x2=4,x1· x2=8-2b2.

5 5 5 ∴ |AB|= 1+k2 |x1 - x2| = 2 ?x1+x2?2-4x1x2 = 2 16-32+8b2 = 2 8b2-16 =2 5. x2 y2 解得:b =4.故所求椭圆方程为:16+ 4 =1.
2

3)椭圆与向量、解三角
【例题 1】 设过点 P?x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点, 点Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方 程是 ( )

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 2 2 C. 3x ? y ? 1? x ? 0, y ? 0? 2
A. [解析]

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 2 2 D. 3 x ? y ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2
B.

3 3 AB ? (? x,3 y ), OQ ? (? x, y ) ? x 2 ? 3 y 2 ? 1 ,选 A. 2 2
x2 2 +y =1 的两焦点, P 在椭圆上, 当△F1PF2 面积为 1 时, PF 1 ? PF 2 4

【例题 2】 设 F 1、 F2 为椭圆 的值为 A、0 B、1 C、2

D、3

[解析] A . ? S?F1PF2 ? 3 | yP |? 1 , ? P 的纵坐标为 ?

3 ,从而 P 的坐标为 3

(?

2 6 3 ,? ) , PF 1 ? PF 2 ? 0, 3 3

【例题 3】如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC=

2 。一曲线 E 过点 C,动点 2

P 在曲线 E 上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)设直线 l 的斜率为 k,若∠MBN 为钝角,求 k 的取值范围。 解: (1)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则 A(-1,0) ,B (1,0) 由题设可得

| PA | ? | PB |?| CA | ? | CB |?

2 2 2 3 2 ? 22 ? ( ) 2 ? ? ?2 2 2 2 2 2

∴动点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a ? 2 , c ? 1.b ? a 2 ? c 2 ? 1 a2 b2

x2 ? y2 ? 1 ∴曲线 E 方程为 2
(2)直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1),设M ( x1 , y1 ),设M ( x1 , y1 , ), N ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2

得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ∴方程有两个不等的实数根

4k 2 2(k 2 ? 1) ? x 1 ? x2 ? ? , x1 ? x 2 ? 2 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? BM ? ( x1 ? 1, y1 ), BN ? ( x2 ? 1, y2 )
BM ? BN ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)(x1 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) 2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ? 1 ? k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵∠MBN 是钝角? BM ? BN ? 0 即

7k 2 ? 1 ?0 1 ? 2k 2

解得: ?

7 7 ?k? 7 7

又 M、B、N 三点不共线? k ? 0 综上所述,k 的取值范围是 (?

7 7 ,0) ? (0, ) 7 7

【例题 4】设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 a 2 b2
15 ,求椭圆 c 的方程。 4

A,B 两点,直线 L 的倾斜角为 60°, AF ? 2 FB ,如果 AB ? 【解析】直线 L 的方程为 y ? 3 ( x ? c), 其中c ?

a 2 ? b2 .

y ? 3 ( x ? c)
联立 x 2 ,得 (3a 2 ? b2 ) y 2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0 ,可解出 y1 , y2 y2 ? ?1 a 2 b2

上海高考题:

1..某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界) ,其边界是长
轴长为 2a,短轴长为 2b 的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1、h2,且两 个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的 大小忽略不计) ,在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅 水区的判别条件是 【答案】 h1 ? cot ?1 ? h2 ? cot ?2 ? 2a 【解析】依题意, | MF 1 | ? | MF2 |? 2a .

? h1 ? cot ?1 ? h2 ? cot ?2 ? 2a ;

2、AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 个焦点之间的距离为________ 【解答】不妨设椭圆 ? 的标准方程为

?
4

,若 AB=4, BC ?

2 ,则 ? 的两

x2 y 2 ) 得 ? ? 1 , 于 是 可 算 得 C ( 1 , 1, 4 b2

4 4 6 b 2 ? , 2c ? . 3 3

3.)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, a2 b2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF 【答案】3

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 【解析】依题意,有 ?| PF1 | ? | PF2 |? 18 ,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,故有 b ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
=3。

4、 (07 年)已知半椭圆
2 2

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 x ? 0 ? ? 1? x ? 0 ? 组成的曲线称 与半椭圆 ? ? a 2 b2 b2 c2
2

为“果圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0, b ? c ? 0 。如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦 点, A1 , A2 和 B 1 , B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, (1)若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)若 A 1A ? B 1 B ,求

b 的取值范围; a

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ,使得斜率 为 k 的直线交果圆于两点, 得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在, 求出所有 k 的值;若不存在,说明理由。
0), F1 0, ? b2 ? c 2 , F2 0,b2 ? c 2 , 【解析】 (1)? F0 ( c,
? F0 F2 ?
2

?

?

?

?

y
B2

?b

2

?c

2

??c

2

? b ? 1, F1 F2 ? 2 b ? c ? 1 ,
2 2

3 7 于是 c ? , a2 ? b2 ? c2 ? ,所求“果圆”方程为 4 4 4 2 4 x ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) 7 3
(2)由题意,得

.F
A1

2

O M

.

.

F0

A2

x

F1 B1

a ? c ? 2b ,即 a 2 ? b 2 ? 2b ? a .

? ( 2b)2 ? b2 ? c2 ? a2 ,? a 2 ? b 2 ? (2b ? a) 2 ,得
又b ? c ? a ? b , ?
2 2 2 2

b 4 ? . a 5

b2 1 b ? 2 4? ? . ? ?? , ? 2 ?. a ? 2 a ? 2 5?
x2 y 2 y 2 x2 , ? ? 1 ( x ≥ 0) ? ? 1 ( x ≤ 0) . a 2 b2 b2 c 2

(3)设“果圆” C 的方程为

记平行弦的斜率为 k . 当 k ? 0 时,直线 y ? t ( ? b ≤ t ≤ b ) 与半椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的交点是 a 2 b2
? t2 ?

t ?. a 1? 2, t ? ,与半椭圆 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q ? ? c 1 ? 2 , P? ? ? ? ? b b b c ? ? ? ?

?

t2

?

y2

x2

? P,Q 的中点 M

? a?c t2 x2 y2 ?x ? ? 1? 2 , ( x, y ) 满足 ? 得 ? ? 1. 2 b 2 b2 ? y ? t, ? a?c ? ? ? ?

?

2

?

a?c ? a ? c ? 2b a ? c ? 2b 2 ? ?0. ? a ? 2b ,? ? ? ? ?b ? ? 2 ? 2 2

2

综上所述,当 k ? 0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. 当 k ? 0 时 , 以 k 为 斜 率 过 B1 的 直 线 l 与 半 椭 圆
? 2ka 2 b k 2 a 2 b ? b3 ,2 2 ? 2 2 2 2 ?k a ?b k a ?b ? ?. ?

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的 交 点 是 a 2 b2

由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y ? ? 即不在某一椭圆上. 当 k ? 0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上. 涉及的知识点:

b2 x 上, ka 2

(1)l 直线的倾斜角? ??0,??,k ? tan ? ?

y 2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x1 ? x 2 ? ? ? x 2 ? x1 2
?

P1 ?x1 ,y1 ?,P2 ?x 2 ,y 2 ?是l 上两点,直线l 的方向向量 a ? ?1,k ?
(2)直线方程:

点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在)
斜截式:y ? kx ? b
截距式: x y ? ?1 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A、B不同时为零)

(3)点P?x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ?

Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2

(4 )l1 到l2 的到角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

l1 与l2 的夹角公式: tan ? ?
. 如何判断两直线平行、垂直?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

A 1 B2 ? A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1 C 2 ? A 2 C1 ?
k 1 ? k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立) A1A 2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ⊥l2
k 1 ·k 2 ? ?1 ? l1 ⊥l2


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