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2.3 直线,平面垂直的判定与性质(4)

时间:2014-04-13


温故知新
直线、平面垂直的转化关系:

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

1.如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的 任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (1)证明:∵ AB是⊙O的直径, P C是圆周上不同于A,B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC, B A 平面PAC∩平面ABC=AC, O BC?平面ABC ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC ?平面PBC ,∴平面PBC⊥平面PAC

2.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的 中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

( 1 )证明:取PD的中点E,连结AE, NE P
?CD ? AD, AM // CD 又? M , N分别是AB, PC的中点 1 1 ? AM ? CD, NE ? CD, NE // CD 2 2 B ? AM //NE ? AMNE是平行四边形

? ABCD是矩形

E

A M

N D C

? MN // AE

又? PA ? AD ? A ?CD ? 平面PAD

?CD ? PA

又? PA ? 平面ABCD

? AE ? CD

? MN ? CD

续2.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

(2)证明: ? PA ? 平面ABCD ? PA ? AD 又 ? ?PDA ? 45? ? AE ? PD
又? MN // AE

P E N D C

? MN ? PD
B

又? MN ? CD, PD ? CD ? D

A M

? MN ? 平面PCD

3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。
(1)证明:PA//面EDB

(2)求EB与底面ABCD所成角的正切值

(1)证明:连结BD, AC交于点O, 连结OE。
? ABCD是正方形

P

?O是AC的中点

E C O D A B

又? E是PC的中点

? PA // OE
又? OE ? 平面EDB, PA ? 平面EDB

? PA // 平面EDB

续3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。
(2)求EB与底面ABCD所成角的正切值。
EF 1 5 ? ? (2)解:取CD的中点F,连结CF , BE, ? tan ?EBF ? BF 5 5
? EB与底面ABCD所成角的正切值为 5 5

设正方形的边长为2,则

? E是PC的中点

1 PD ? DC ? BC ? 2, CF ? CD ? 1 2

P E C D F O B

1 ? EF ? PD ? 1, EF // PD 2

又? PD ? 平面ABCD ? EF ? 平面ABCD

??EBF就是EB与底面ABCD所成的角

A

在Rt?BFE中,

EF ? 1

BF ? BC 2 ? CF 2 ? 2 2 ? 12 ? 5

4. 正方体ABCD ? A1B1C1D1中,AA1 ? 2, E为棱AA1的中点。
( 1)求证:AC1 ? B1 D1 ; (2)求证:AC1 // 平面B1 D1 E; (3)求由点A, B1 , D1 , E组成的四面体的体积。

( 1 )证明:连结AC, A1C1.
? ABCD ? A1B1C1D1是正方体

? B1D1 ? A1C1 , AA1 ? 平面A1B1C1D1

? B1D1 ? AA1

又 ? AA1 ? A1C1 ? A1
? B1D1 ? 平面ACC1 A1
? AC1 ? B1 D1

续4. 正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,AA1 ? 2, E为棱AA1的中点。
( 1)求证:AC1 ? B1 D1 ; (2)求证:AC1 // 平面B1 D1 E ; (3)求由点A, B1 , D1 , E组成的四面体的体积。 (2)设A1 C1与B1D1的交点为O,连结OE , 则

o

? E为棱AA1的中点 ? OE // AC1 又? AC1 ? 平面B1D1E, OE ? 平面B1D1E ? AC1 // 平面B1D1E
(3) ? AA1 ? 2, E为棱AA1的中点

O为A1C1的中点

1 ? AE ? AA1 ? 1 2
? ?AB1E的面积S ?AB1E

又? A1D1 ? 平面ABB1 A1 ?由点A, B1 , D1 , E组成的四面体的体积为

1 1 1 2 ? ?1? 2 ? 1 VD ? AB E ? S ?AB E ? A1D1 ? ?1? 2 ? 1 1 1 2 3 3 3


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