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2013届高三一轮复习文科数学全能测试六


2015 届高三 一轮复习文 科数学全能测试 六 不等式
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选

涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B )=P(A)+P(B); 球的表面积公式: S ? 4?R (其中 R 表示球的半径);
2

4 ? R 3 (其中 R 表示球的半径); 3 1 锥体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高); 3 柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高); 1 台体的体积公式: V ? h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
球的体积公式: V ? (其中 S1 , S 2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高).

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求) 1、【2012 高考重庆文 2】不等式 (A) (1, ??) (B)

x ?1 ? 0 的解集是为 x?2
(C)(-2,1)(D) (??, ?2) ∪ (1, ??)

(??, ?2)

2、不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为( x ?1

) B. x x< ? 2,或1<x<3

A. x x< ? 2, 或x>3

?

? ?

?

? ?

C. x ?2<x<1,或x>3

?

1,或1<x<3 D. x ?2<x<

?

3、ab>ac是b>c的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
2

C.充要条件

D.即不充分也不必要条件
2

4、已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?x | 2 ? x ? 4? 则不 等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ( )

A. ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

B.

? ?x | x ? ?

1? ? 4?
1

C.

1? ? 1 ?x | ? x ? ? 4? ? 2

D.

1 1? ? ? x | x ? 或x ? ? 2 4? ?

? x ?1 ? 1 ? 5、设 x , y 满足约束条件: ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为( 2 ? ? ?2 x ? y ? 10
A.6 B.-6 1 C. 2



D.-7 )

6、在 R 上定义运算*:a*b=ab+2a+b,则满足 x*(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为( A.(0,2) B.(-2,1) C. (??,?2) ? (1,??) ) D.(-1,2)

7、已知 a, b ? R ,且 ab>0,则下列不等式不正确 的是( ... A. | a ? b |? a ? b C. 2 ab ?| a ? b |

B. | a ? b |?| a | ? | b | D.

b a ? ?2 a b


8、【2012 高考浙江文 9】若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A.

24 5

B.

28 5

C.5

D.6

9、已知 a ? 0, b ? 0 , a 、 b 的等差中项等于 等于 11 A. 2

1 2 1 ,设 x ? b ? , y ? a ? ,则 x ? y 的最小值 2 a 2b
( )

B. 5

9 C. 2

D. 6

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 10、已知 O 是坐标原点,点 A(1,2),若点 M(x,y)为平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0, 上的 ?x ? 0 ?
一个动点,则 OA ? OM 的最大值是 ( A.-1 ) C.0 D.1

1 B. ? 2

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

2

11、.不等式 2 ?

1 的解集为 x



?x ? y ? 5 ? 0 ? 12、已知 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ? x?3 ?
13、已知 x , y 均为正数,且 x ? y ? 1 ,则

1 9 ? 的最小值为 x y
2

.

14、【2102 高考福建文 15】已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的 取值范围是_________. 15、在算式“9×△+1×□=48”中的△,□中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最 小,则这两个数构成的数对为(△,□)应为 。 16、 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? b ? 0 ) 始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长, 则

2 17、若不等式 ?1 ? ax ? bx ? c ? 1 的解集为 (?1,3) ,则实数 a 的取值范围是

1 1 ? 的最小值是 a b

. .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、 (本小题满分 14 分) 已知 a>0 且 a ? 1 , 关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 ?x | x ? 0? ,
x

解关于 x 的不等式 log a ( x ? ) ? 0 。

1 x

19、 (本小题满分 14 分)某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共 支出 12 万元, 以后每年支出增加 4 万元, 从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f ( n) 表示前 n 年的纯利润总和(f(n)=前 n 年的总收入一前 n 年的总支出一投资额). (1)该厂从第几年开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润 达到最 ...... 大时,以 48 万元出售该厂;②纯利润总和 达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪 ..... 种方案更合算?

20、 (本小题满分 14 分)已知等差数列{ an }满足 a2 ? 8, a4 ? 16 ;数列{ bn }的前 n 项和 Tn 满足 Tn ? 2 ? bn , n ? N . (1)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; 3
?

2 (2)设 cn ? an ? bn ,证明:当 n ? 3 且 n ? N 时, cn ?1 < cn .

?

x2 21、 (本小题满分 15 分) 已知直线 l: y=2x- 3与椭圆 C: 2 +y2= 1 (a>1)交于 P、 Q 两点, 以 a PQ 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 A. (1) 设 PQ 中点 M(x0,y0), 求证: x0< (2)求椭圆 C 的方程. 3 2

22、已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a ( a ? 0 且 a ? 1 ). (Ⅰ )当 a ? 1 时,求证:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; (Ⅱ )若函数 y ? f ( x) ? t ? 1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ )若存在 x1,x2∈ [﹣1,1],使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围. 注:e 为自然对数的底数。

4

2015 届高三 一轮复习文 科数学全能测试 六 不等式

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B B B C A D 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、 {x | x ? (??,0) ? (2,??)} 12、38 13、 16 14、 (0,8) . 15、(4,12)

1 1 ?a? 2 2 17、【解析】当 a ? 0 时可以成立;
16、4 17、 ? 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? bx ? c 开口向上, x ? ?1, a ? b ? c ? 1, x ? 3,9a ? 3b ? c ? 1,

x ? 1, a ? b ? c ? ?1, 解得 0 ? a ?

1 ; 2

当 a ? 0 时, y ? ax2 ? bx ? c 开口向下, x ? ?1, a ? b ? c ? ?1, x ? 3,9a ? 3b ? c ? ?1,

x ? 1, a ? b ? c ? 1, 解得 ?
综合以上得: ?

1 ? a ? 0; 2

1 1 ?a? 2 2;

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.18 、 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 解 : ∵ 关 于 x 的 不 等 式 a ? 1 的 解 集 是
x

?x | x ? 0?,? a ? 1,
1 x

????2 分

∵ log a ( x ? ) ? 0,? log a ( x ? ) ? log a 1

1 x

? 1 x? ?0 ( 1 ) ? ? x ∴? ? x ? 1 ? 1 (2) ? x ?
由(1)得

?????6 分

x2 ?1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 ; x x2 ? x ?1 1? 5 1? 5 或0 ? x ? ; ? 0 ,解得 x ? x 2 2 1? 5 1? 5 ) ? (1, ). 2 2
5

??????8 分

由(2)得

??????12 分

∴原不等式的解 集是 (?1,

????14 分

19、(本小题满分 14 分)解:由题意知 f (n) ? 50 n ? [12 n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 72 2

? ?2n 2 ? 40n ? 72 ??????4 分
(1)由 f (n) ? 0,即 ? 2n 2 ? 40n ? 72 ? 0, 解得2 ? n ? 18 ????6 分 由 n ? N * 知,从经三年开始盈利.??????????7 分 (2)方案①:年平均纯利润

f ( n) 36 ? 40 ? 2(n ? ) ? 16 n n

当且仅当 n=6 时等号成立. 故方案①共获利 6×16+48=144(万元),此时 n=6.??????11 分 方案②: f (n) ? ?2(n ? 10) ? 128. 当 n=10, f (n) max ? 128 .
2

故方案②共获利 128+16、144(万元)????????13 分 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年, 故选择第①种方案更合算.??????????14 分 20、(本题满分 14 分)

(1)an ? 4n, n ? N ? .......... .......... .......... ....... 4分 n ? 1时, b1 ? 2 ? b1 ,?b1 ? 1
n ? 2时, Tn ? 2 ? bn (1) Tn ?1 ? 2 ? bn ?1 (2) 1 (1) ? (2)得bn ? bn ?1 2 ?1? ? bn ? ? ? ?2?
n ?1

, n ? N ? .......... .......... .......... .......... .......... 8分
n ?1

2? 1 ? ( 2 ) ? cn ? ?4n ? ? ? , n ? N ? ?2? ? cn ? 0,? n ? 3时,

? 1? ?1 ? ? cn?1 2? n? ? ? ?? n ?1 cn 2 1? ?4n ?2 ? ? ? ?2? 1 4 ? 1? ? ?1 ? ?随着n的增大而减少? n ? 3时, 1? ? n 3 ? n? c 16 ? n?1 ? ? 1 cn 18 ? n ? 3时cn?1 ? cn .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 14分

1? ?4n ? 4?2 ? ? ?

n

2

6

21 、(本小题满分 15 分)解 : (1) 设直线 l: y=2x - 3 与椭圆 C:

x2 + y2= 1 (a>1) 交于 a2

P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶点 A(a,0), 将 y=2x- 3代入 x2+a2y2-a2=0 中整理得(4a2+1)x2-4 3 a2x+2a2=0 4 3a ① ?x +x =4a +1 ? 2a ?x x =4a +1 ②
1 2 2 2 1 2 2 2

x1+x2 2 3a2 ∵M(x0,y0)为 PQ 中点 ∴x0= = 2 2 4a +1

=

3 3 3 - 故 x0< 2 2(4a2+1) 2

→ → (2)依题意: PA·QA=0, 则(x1-a)(x2-a)+y1y2=0 又 y1=2x1- 3, y2=2x2- 3 故 (x1-a)(x2-a)+(2x1- 3)(2x2- 3)=0 由①②代入③ 得: 4a4-4 3a3-a2+3=0 ∴(a- 3)(4a2-a- 3)=0 ∵a>1, 则 4a2-a- 3>0 故 a= 3 x2 故所椭圆方程为 + y2=1 3

22.(本题满分 15 分) 解:(Ⅰ ) f ?( x) ? a x ln a ? 2 x ? ln a ? (a x ? 1)ln a ? 2 x , 由于 a ? 1 ,故当 x∈(0, ??) 时,lna>0,a ﹣1>0,所以 f ?( x) ? 0 , 故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增。 ???????????????4 分
x

(Ⅱ )当 a>0,a≠1 时,因为 f ?( x) ? 0 ,且 f ?( x) 在 R 上单调递增, 故 f ?( x) ? 0 有唯一解 x=0。 要使函数 y ? f ( x) ? t ? 1 有三个零点,所以只需方程 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 即,只要 t ? 1 ? f ( x)min ? f (0) ? 1 ,解得 t=2; ????????????9 分 (Ⅲ )因为存在 x1,x2∈ [﹣1,1],使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 , 所以当 x∈ [﹣1,1]时, f ( x)max ? f ( x)min ? f ( x)max ? f ( x)min ? e ?1 。 由(Ⅱ )知, f ( x)min ? f (0) ? 1 ,

f ( x)max ? max ? f (?1), f (1)? 。
1 ?1 ? 事实上, f (1) ? f (?1) ? ? a ? 1 ? ln a ? ? ? ? 1 ? ln a ? ? a ? ? 2ln a 。 a ?a ?
7

记 g ( x) ? x ?

1 ? 2ln x ( x ? 0 ) x
1 2 ? 1 ? ?? ? 2 x x ?x ? 2? ? ?
2

因为

g ?( x )? 1 ?

0

1 ? 2ln x 在 (0, ??) 上单调递增,又 g (1) ? 0 。 x 所以 当 x>1 时, g ( x) ? 0 ; 当 0<x<1 时, g ( x) ? 0 , 也就是当 a>1 时, f (1) ? f (?1) ; 当 0<a<1 时, f (1) ? f ( ?1) 。 ① 当 a ? 1 时,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1 ,得 a ? ln a ? e ? 1 ,
所以 g ( x) ? x ? 解得 a ? e 。 ② 当 0<a<1 时,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1 ,得 解得 0 ? a ?

1 ? ln a ? e ? 1 , a

1 。 e

错误!未找到引用源。 引用源。。

? 1? 综上知,所求 a 的取值范围为 a ? ? 0, ? ? e?

?e, ?? ? 错误!未找到

8


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