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双曲线的参数方程


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三角函数的定义的补充 :

2 y 1 ? tan ? x tan a ? _________ 正割:

y r sin a ? ________ x r cos a ? ________

>? sec ?
2

余切:

x y cot a ? _________

r ? 1 x cos ? sec a ? _________

余割:

r y csc a ? __________

类似于探究椭圆参数方程的方法,我们来探究 2 2 y 双曲线 x2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? ② a b y 的参数方程. B? M 如图2 ? 10,以原点O为圆 C1 A 心,a , b ? a ? 0, b ? 0 ? 为半 C2 ? 径分别作同心圆C1 , C2 . 设 O B A? x A为圆C1上任一点,作直 线OA,过点A作圆C1的切 图2 ? 10 线AA?与x轴交于点A?,过 圆C 2与x轴的交点B作圆C 2的切线BB ?与直线OA交于 点 B?. 过点 A?,B?分别作 y 轴,x 轴的平行线A? M, B?M 交于点M .

设Ox为始边,OA为终 边的角为?,点M的坐 标为? x, y ? . 那么点A? 的坐标为? x, 0 ?,点B? 的坐标为? b, y?.

y
C1 A C2 ? O B
B? M A?

x

图2 ? 10 因为点A在圆C1上,由圆 的参数方程得点A 的坐标 ??? ? 为? a cos ? , b sin ? ?,所以OA ? ? a cos ?,b sin ? ?, ???? AA? ? ? x ? a cos ? , ? a sin ? ? .

??? ? ???? ??? ? ???? 因为OA ? AA?,所以OA ? AA? ? 0,从而

a cos? ? x ? a cos? ? ? ? a sin? ? ? 0.
2

解得 x ?

a . 记 cos?

y
C1 A C2 ? O B
B? M A?

1 ? sec? ,则x ? a sec? . cos?

因为点B?在角?的终边上,由 y 三角函数定义有 tan ? ? , b 即y ? b tan ? .

x

图2 ? 10

?

所以,点M的轨迹的参数方程为 x ? a sec? ? 为参数 ? ③ ? y ? b tan ?

2 sin ? 2 2 1 因为 2 ? ? 1,即sec ? ? tan ? ? 1, 2 cos ? cos ?

所以,从③消去参数? 后得到点M的轨迹的普通 方程为②,这是中心在原点,焦点在x轴上的双 曲线. 所以③就是双曲线②的参数方程 .
在双曲线的参数方程③中,通常规定参数?的范 ? 3 ? 围为? ? ? 0, 2? ?,且? ? ,? ? . 2 2

思考 类比椭圆的参数方程,从双曲线的参数方 程中可以得出哪些结论 ?

由图 2 ? 10 ? 或通过动画演示 ? 可以看到, 参数? 是点M 所对应 y B? M 的圆的半径 OA 的旋 A C 1 转角 (称为点 M 的离 C2 ? 心角),而不是OM的 O B A? 旋转角.
图2 ? 10 与椭圆类似,双曲线 2 2 x ? y ? 1上任意一点的坐标可以设为 2 2 a b ? a sec ?,b tan ? ?,这是解决与双曲线有关 的问题的重要方法 .

x

x ? sec? 1. 如果双曲线 ? 为参数 ? 上一点P到它 ? y ? 6tan ? 的右焦点的距离是 8,那么P到它的左焦点的距离 为_______________________.
? x ? 3 sec? 2.下列双曲线中,与双曲线? ?? 为参数 ? ? y ? tan ? 的离心率和渐近线相同的是 (A ) 2 2 2 2 y y A. x ? ?1 B. ? x ? 1 9 3 3 9 2 2 y y 2 2 C. ? x ? 1 D . ? x ? ?1 3 3

?

? ? ? x ? sin ? cos ? 2 2 ?? 为参数 ? 的普通 3. 参数方程 ? ? ? y ? 2 ? sin ? 方程为 ( C ) A. y 2 ? x 2 ? 1 B. x 2 ? y 2 ? 1 ?| x | ? 2 ? 2 2 2 2 C . y ? x ? 1? D . x ? y ? 1?| x | ? 2 ? ? ? y?1 ?
?x ? e ? e 4. 已知方程 ? t ? t ? t为参数 ? 的图形是 ( B ) ?y ? e ?e A. 双曲线左支 B . 双曲线右支 C . 双曲线上支 D. 双曲线下支
t ?t

2 x 5. 已知点A ? 0, 2 ?,B为双曲线 ? y ? 1上的动点, 4 求 AB 的最小值.

2

?x ? ? 6. 已知曲线C 的方程为 ? y? ? ?

1 ? e t ? e ? t ? cos ? 2 . 1 ? e t ? e ? t ? sin ? 2 当 t 是非零常数,? 为参数时,C是什么曲线? k ? 当? 为不等于 ? k ? Z ?的常数,t为参数时, 2 C是什么曲线?
两曲线有何共同特征?
答: 此椭圆与双曲线有共同的焦点.


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