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初二数学秋季第六讲学生美博小班稿

时间:2017-09-20


第六讲
?例题精讲

四边形专题训练三

例 1. 已知一个三角形的一边长为 2,这边上的中线为 1,另两边之和为 1+ 3 ,求这个三角形的 面积.

■拓展与变式练习 1 1.如图□ABCD 中,BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为 E、F,若 CE=2,DF=1,∠EBF= 60 ? ,则□ABCD 的面积

为____.

(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2.如图,□ABCD 的对角线相交于点 O,且 AD≠CD,过点 O 作 OM⊥AC,交 AD 于 M,交 AD 于点 M,如果 △ CDM 的周长是 a,求平行四边形 ABCD 的周长. 3.如图,矩形 ABCD 的长为 a,宽为 b,如果 s1 ? s2 ?

3 ab 8

B.

3 ab 4

C.

2 ab 3

1 ?s3 ? s4 ? ,则 s 4 =( 2 1 D. ab 2



例 2. 如图矩形 ABCD 的对角线交于 O,AE 平分∠BAD、交 BC 于 E,∠CAE= 15 ? ,那么∠BOE=___.

拓展与变式练习 2 1.如图,在 RT?ABC 中,∠B= 90 ? ,∠BAC= 78 ? ,过 C 作 CF∥AB,连结 AF 与 BC 相交于 G,若 GF=2AC, 则角 BAG=___度.

(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2.如图,在菱形 ABCD 中,∠B=∠EAF= 60 ? ,∠BAE= 20 ? ,则∠CEF=___度. 3.如图,□ABCD 中,∠ABC= 75 ? ,AF⊥BC 于 F,AF 交 BD 于 E,若 DE=2AB,则∠AED 的大小是( A. 60 ? B. 65 ? C. 70 ? D. 75 ?



例 3.如图,设 P 为等腰三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点,PE⊥AC 于点 E,PF⊥BC 于点 F,PG⊥EF 于点 G,延长 GP 并在其延长线上取一点 D,使得 PD=PC,试证:BC⊥ BD,且 BC=BD.
1

拓展与变式练习 3 1.如图,?ABC 为等边三角形,D、F 分别是 BC、AB 上的点,且 CD=BF,以 AD 为边作等边?ADE. (1)求证:△ ACD≌ ? CBF; (2)点 D 在线段 BC 上何处时,四边形 CDEF 是平行四边形,且 ∠ DEF=30° .

2.如图,在 Rt?ABC 中,AB=AC,∠A= 90 ? ,点 D 为 BC 上任意一点,DF⊥AB 于 F,DE⊥AC 于 E,M 为 BC 中点,试判断△ MEF 的形状,并证明你的结论.

例 4.如图,在?ABC 中,∠C= 90 ? ,点 M 在 BC 上,且 BM=AC,点 N 在 AC 上,且 AN=MC,AM 与 BN 相 交于点 P。求证:∠BPM=45°.

拓展与变式练习 4 1.四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA,∠BAD= 120 ? ,M 为 BC 上一点, 求证: 若?AMN 有一个内角等于 60 ? , 则?AMN 为等边三角形.

2.阅读下面短文:如图① ,△ ABC 是直角三角形,∠ C=90° ,现将△ ABC 补成矩形,使△ ABC 的两 个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画 出两个矩形 ACBD 和矩形 AEFB(如图② )
2

解答问题: (1) 设图② 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 面积分别为 S1、 , S2, 则 S1______S2 (填 “>” 、 “=” 、 “<” ) . (2)如图③ ,?ABC 是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出 ___个,利用图③ 把它画出来. (3)如图④ ,△ ABC 是锐角三角形且三边满足 BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成矩形,那 么符合要求的矩形可以画出 个,利用图④ 把它画出来. (4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么?

3. 思维与能力提升 如图,已知四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,过点 O 作直线,交 AD 于 E,交 BC 于 点 F,若 OE=OF,且 AO+AE=CO+CF,证明::四边形 ABCD 为平行四边形.

期中综合测试题 一、选择题 1. (2011 浙江省舟山)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30° 内角的菱形 EFGH(不重 叠无缝隙) .若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2,四边形 ABCD 面积是 11cm2,则① ②③④四个平行四边形周长的总和为( )

E


A
④ ⑤ ③

H D

B



F
(A)48cm (C)24cm (B)36cm (D)18cm

C

G

2. (2011 山东德州)图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边 三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图 2) ,依此规 律继续拼下去(如图 3) ,??,则第 n 个图形的周长是

3

?? 图1 (A) 2
n

图2 (B) 4
n

图3 (C) 2
n ?1

(D) 2

n?2

3. (2011 山东泰安)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别 为 S1,S2,则 S1+S2 的值为

A.17

B.17

C.18

D.19

4. (2011 山东泰安)如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE 折叠后,点 B 恰好 与点 O 重合,若 BC=3,则折痕 CE 的长为

A.2 3

B.

3 3 2

C.

3

D.6

5. (2011 四川重庆)如图,正方形 ABCD 中,AB=6,点 E 在边 CD 上,且 CD=3DE.将?ADE 沿 AE 对折至?AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连结 AG、CF.下列结论:①?ABG≌?AFG; ②BG=GC;③AG∥CF; .其中正确结论的个数是( )

6. ( 2011 重庆江津)如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,顺次连接四边形 ABCD 各边中点, 得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点,得到四边形 A2B2C2D2??,如此进行下去,得 到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) ①四边形 A2B2C2D2 是矩形 ; ②四边形 A4B4C4D4 是菱形 ; ③四边形 A5B5C5D5 的周长
A A1 B A2 B1 A3 C D2 C3 D1 C2 B3 C1 4 D

a?b ; 4

ab ④四边形 AnBnCnDn 的面积是 n ?1 2

D3

?
B2

第 6 题图

A.①② 二填空题

B.②③

C.②③④

D.①②③④

1. (2011 山东德州 16,4 分)长为 1,宽为 a 的矩形纸片(

1 ? a ?1) ,如图那样折一下,剪下一 2

个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作) ;再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边 长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作) ;如此反复操作下去.若在第 n 此操作后,剩下

的矩形为正方形, 则操作终止. 当 n=3 时, a 的值为__________

第一次操作

第二次操作

2. (2011 湖北鄂州)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为 _______. A D

B

第 2 题图

C

3. (2011 山东烟台)如图,三个边长均为 2 的正方形重叠在一起,O1、O2 是其中两个正方形的中 心,则阴影部分的面积是 .

O2
O1

4. (2011 浙江湖州)如图,甲类纸片是边长为 2 的正方形,乙类纸片是边长为 1 的正方形,丙类纸片 是长、 宽分别为 2 和 1 的长方形. 现有甲类纸片 1 张, 乙类纸片 4 张, 则应至少取丙类纸片 张, 才能用它们拼成一个新的正方形.

5. (2011 浙江绍兴,15,5 分) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折,并沿图 3 中过矩形顶 点的斜线(虚线)剪开,那剪下的①这部分展开,平铺在桌面上,若平铺的这个图形是正六边形, 则 这 张 矩 形 纸 片 的 宽 和 长 之 比 为 .

5

6. (2011 甘肃兰州)如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边 的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为 1,则第 n 个矩形的面积 为 。

??

7. (2011 江苏泰州)如图,平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4 是一组平行线,相邻 2 条平行线间的 距离都是 1 个单位长度,正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上,其中点A、C 分别在直线 L1 和 L4 上,该正方形的面积是 平方单位. 8.(甘肃兰州)已知:如图所示的一张矩形纸片 ABCD(AD>AB) ,将纸片折叠一次,使点 A 与点 C 重合,再展开,折痕 EF 交 AD 边于点 E,交 BC 边于点 F,分别连结 AF 和 CE。AE=10cm,? ABF 的面积为 24cm2,?ABF 的周长为-----A E D O C B F 9 (2011 四川内江)如图,点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中 点,当四边形 ABCD 的边至少满足 条件时,四边形 EFGH 是菱形. A F E D

H

B

G

C

10. (2010 湖北孝感)已知正方形 ABCD,以 CD 为边作等边?CDE,则∠AED 的度数是 . 三、解答题 1. (2011 浙江省舟山)以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角 形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH. (1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2,当四边 形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状(不要求证明) ; (2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC= ? (0° < ? <90° ) , ① 试用含 ? 的代数式表示∠HAE; ② 求证:HE=HG;
6

③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由.

H
A E B
C

H D
G

H D
G

A E B

E B

A
C

D
G

C

F
(图 1)

F
(图 2)

F
(图 3)

2. (2011 安徽)如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1 、 l 2 、 l 3 、 l 4 上,这四条直 线中相邻两条之间的距离依次为 h1 、 h2 、 h3 ( h1 >0, h2 >0, h3 >0) . (1)求证: h1 = h3 ;

l1 l2 l3 l4 B

A h1 h2 D h3 C

(2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证:S= (h1 ? h2 ) 2 ? h1 ; (3)若 l1

2

3 h1 ? h2 ? 1 ,当 h1 变化时,说明正方形 ABCD 的面积 S 随 h1 的变化情况. 2
A h1

l2 l3

B

1 G

E F

2 4 3 D h3 h2

l4

C

3. (2011 福建福州) 已知,矩形 ABCD 中, AB ? 4cm , BC ? 8cm , AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD 、 BC 于点 E 、 F ,垂足为 O . (1)如图 10-1,连接 AF 、 CE .求证四边形 AFCE 为菱形,并求 AF 的长; (2)如图 10-2,动点 P 、 Q 分别从 A 、 C 两点同时出发,沿 ?AFB 和 ?CDE 各边匀速运动一周.即
7

点 P 自 A → F → B → A 停止,点 Q 自 C → D → E → C 停止.在运动过程中, ①已知点 P 的速度为每秒 5 cm ,点 Q 的速度为每秒 4 cm ,运动时间为 t 秒,当 A 、C 、P 、Q 四 点为顶点的四边形是平行四边形时,求 t 的值. ②若点 P 、 Q 的运动路程分别为 a 、 b (单位: cm , ab ? 0 ),已知 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点 的四边形是平行四边形,求 a 与 b 满足的数量关系式.
A E
D

A P

E

D
Q

A P B
F

E

D
Q

O
B
F 图 10-1

C

B

F
图 10-2

C

C
备用图

4. (2011 山东滨州)如图,在?ABC 中,点 O 是 AC 边上(端点除外)的一个动点,过点 O 作直 线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F,连接 AE、AF。那么 当点 O 运动到何下时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论。
A

M B

E

O C

F N

(第 4 题图)

5. (2011 山东威海)如图,ABCD 是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M,在 CD 上取一点 N,将纸片沿 MN 折叠,使 MB 与 DN 交于点 K,得到?MNK.

(1)若∠1=70°,求∠MNK 的度数. (2)?MNK 的面积能否小于

1 ?若能,求出此时∠1 的度数;若不能,试说明理由. 2

(3)如何折叠能够使?MNK 的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大值.

(备用图) 6. (2011 浙江湖州) 如图已知 E、F 分别是□ABCD 的边 BC、AD 上的点,且 BE=DF. 若 BC=10,∠BAC=90° ,且四边形 AECF 是菱形,则 BE 的长为------------ .

8

7. (2011 江苏苏州)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片(即?OAB)放在直线 l1 上,OA 边与 直线 l1 重合,然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120°,此时点 O 运动到了点 O1 处, 点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°,点 A 运动到 了点 A1 处,点 O1 运动到了点 O2 处(即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处). 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧,即弧 OO1 和弧 O1O2,顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧与直线 l1 围成的 图形面积等于扇形 AOO1 的面积、?AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之和. 小慧进行类比研究:如图②,她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上,OA 边与直线 l2 重合,然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°,此时点 O 运动到了点 O1 处(即点 B 处) ,点 C 运动到了点 C1 处,点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将正方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺 时针方向旋转 90°,??,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题: 问题①:若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转,求顶点 O 经过的路程,并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积; 若正方形 OABC 按上述方法经过 5 次旋转, 求顶点 O 经过的路程; 问题②: 正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转, 顶点 O 经过的路程是 请你解答上述两个问题.

41? 20 2 π? 2

8. (2011 山东聊城)如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=8cm,点 E、F、G 分别从点 A、B、 C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点 E、G 的速度均为 2cm/s,点 F 的速度为 4cm/s,当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G 重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第 t 秒时,△EFG 的面积为 S(cm2) . (1)当 t=1 秒时,S 的值是多少? (2)写出 S 和 t 之间的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围.

9. (2011 江苏南通)已知:如图 1,O 为正方形 ABCD 的中心,分别延长 OA 到点 F,OD 到点 E, 使 OF=2OA,OE=2OD,连结 EF,将?FOE 绕点 O 逆时针旋转α 角得到? F ' OE ' (如图 2). (1) 探究 AE′与 BF'的数量关系,并给予证明; (2) 当α =30°时,求证:?AOE′为直角三角形.

9

10.(2011 山东临沂)如图 1, 奖三角板放在正方形 ABCD 上, 使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合,三角板的一边交 CD 于点 F,另一边交 CB 的延长线于点 G. (1)求证:EF=EG; (2)如图 2,移动三角板,使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,其他条件不变. (1) 中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由;

) 11. (2011 广东肇庆)如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连接 EB、ED. (2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB = 140?,求∠AFE 的度数. D F E A

C

B

12. (2011 广东肇庆)如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 是菱形;
10

(2)若∠ACB=30?,菱形 OCED 的面积为 8 3 ,求 AC 的长. A O D E C

B

13. (2011 湖北襄阳)如图 9,点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点(不与点 A,B 重合) ,连接 PD 并 将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90° 得到线段 PE,PE 交边 BC 于点 F,连接 BE,DF. (1)求证:∠ADP=∠EPB; (2)求∠CBE 的度数;
D C

F A P B

E

图9

14. (2011 湖南永州)探究问题: ⑴方法感悟:如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且满足∠EAF=45° , 连接 EF,求证 DE+BF=EF. 感悟解题方法,并完成下列填空: 将?ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到?ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90° , ∴∠ABG+∠ABF=90° +90° =180° ,因此,点 G,B,F 在同一条直线上. ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90° -45° =45° . ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45° . 即∠GAF= ∠_________.又 AG=AE,AF=AF∴?GAF≌_______.∴_________=EF,故 DE+BF=EF.
A
A 1 3 2 D E

D

A

D E

E B C

G

B

F

C

B F

F

C

(第 14 题) ①

(第 14 题) ②

(第 14 题) ③

⑵方法迁移:如图②,将 Rt?ABC 沿斜边翻折得到?ADC,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且 ∠EAF=
1 ∠DAB.试猜想 DE,BF,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想. 2 1 ?DAB , 2

⑶问题拓展: 如图③, 在四边形 ABCD 中, AB=AD, E, F 分别为 DC,BC 上的点, 满足 ?EAF ?

试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时,可使得 DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由) .

11

15. (2011 江苏盐城)情境观察将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到?ABC 和?A′C′D,如 图 1 所示.将?A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A(A′)、B 在同一 条直线上,如图 2 所示.观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是
C' D C D C' C C

,∠CAC′=

°.

A

B

A' A
图1

B

D

A(A')
图2

B

问题探究:如图 3,?ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边, 向?ABC 外作等腰 Rt?ABE 和等腰 Rt?ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、Q. 试 探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论.
E Q A P F

B

G
图3

C

16. (2011 河北)如图 12,四边形 ABCD 是正方形,点 E,K 分别在 BC,AB 上,点 G 在 BA 的延长 线上,且 CE=BK=AG. (1)求证:①DE=DG;②DE⊥EG; (2)尺规作图:以线段 DE,DG 为边作出正方形 DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证 明) ; (3)连接(2)中的 KF,猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想;

G

A

D

K B 图 12 C

E

12