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2017优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第七章第3讲知能训练轻松闯关

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1.直线 a⊥平面 α,b∥α ,则 a 与 b 的位置关系为________. 解析:因为 a⊥α,b∥α,所以 a⊥b,但不一定相交. 答案:a⊥b 2. “直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的________ 条件. 解析:根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推 出“直线 a 与平面 M 垂直”,反之可以,所以应该是必要不充分条件. 答案:必要不充分 3.已知 l,m,n 为两两垂直的三条异面直线,过 l 作平面 α 与直线 m 垂直,则直线 n 与平面 α 的关系是________. 解析:因为 l?α,且 l 与 n 异面,所以 n?α,又因为 m⊥α,n⊥m,所以 n∥α. 答案:n∥α 4.在空间中,给出下面四个命题: ①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直; ②若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行于该平面; ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ④若两个平面相互垂直, 则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数 条直线. 其中正确命题的序号是________. 解析:易知①④正确;对于②,过两点的直线可能与平面相交;对于③,垂直于同一条 直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面. 答案:①④ 5.设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“a?α ,b?β ,且 α⊥β”的平面 α, β 有________对. 解析:过直线 a 的平面 α 有无数个,当平面 α 与直线 b 平行时,两直线的公垂线与 b 确定的平面 β⊥α,当平面 α 与 b 相交时,过交点作平面 α 的垂线与 b 确定的平面 β⊥α. 答案:无数 6.PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,连结 PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂 直的平面有________对. 解析:由于 PD⊥平面 ABCD.故平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PDB⊥平面 ABCD,平面 PDC⊥平面 ABCD,平面 PDA⊥平面 PDC,平面 PAC⊥平面 PDB,平面 PAB⊥平面 PAD, 平面 PBC⊥平面 PDC,共 7 对. 答案:7 7.(2016· 潍坊模拟)如图,在正四面体 PABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点, 下面四个结论成立的序号是________. ①BC∥平面 PDF; ②DF⊥平面 PAE; ③平面 PDF⊥平面 PAE; ④平面 PDE⊥平面 ABC. 解析:因为 BC∥DF,DF?平面 PDF,BC?平面 PDF,所以 BC∥平面 PDF,①成立; 易证 BC⊥平面 PAE, BC∥DF, 所以结论②, ③均成立; 点 P 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,不在中位线 DE 上,故结论④不可能成立. 答案:①②③ 8.已知直线 m、n 和平面 α、β,若 α⊥β,α ∩β=m,n?α ,要使 n⊥β ,则应增加 条件的序号是________. ①m∥n;②n⊥m. 解析:由面面垂直的性质定理可知,当 n⊥m 时,有 n⊥β. 答案:② 9.设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,给出下列命题: ①若 l⊥α,则 l 与 α 相交; ②若 m?α ,n?α ,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α; ③若 l∥m,m∥n,l⊥α ,则 n⊥α; ④若 l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则 l∥n. 其中正确命题的序号为________. 解析:①显然正确;对②,只有当 m,n 相交且 l?α时,才能

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