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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六章第4课时


第六章

不等式、推理与证明

第4课时

基本不等式

第六章

不等式、推理与证明

a +b 1.基本不等式: ab≤ 2 基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什 么? a>0且b>0;a=b时取等号. ______________

________________________________. a +b 叫做 a,b 的算术平均数, ab叫做 a,b 的几何平均 2 数.

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不等式、推理与证明

2.常用的几个重要不等式 2ab (1)a2+ b2≥ __________( a, b∈ R); a+ b 2 ≤ (2)ab_________( ) (a, b∈ R); 2 2 2 a +b a+ b 2 ≥ (3) _________( ) (a, b∈ R); 2 2 b a 2 (4) + ≥ _________( a, b 同号且不为零 ). a b

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不等式、推理与证明

3.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 x=y 时,x+y有 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当________
2 p .(简记:积定和最小) 最小 值是________ ________

x=y 时,xy有 (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当________ p2 最大 值是________ ________ .(简记:和定积最大) 4
温馨提示:利用基本不等式求最值时要注意: (1)基本不等式中涉及的各数(或式)均为正; (2)和或积为定值;(3)等号能否成立. 即要满足“一正、二定、三相等”的条件.
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不等式、推理与证明

a+ b 1. “ a>0 且 b>0”是“ ≥ ab”成立的( A ) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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不等式、推理与证明

2. (2014· 浙江宁波模拟)若 a>0, b>0,且 a+ 2b- 2= 0, 则 ab 的最大值为 ( A ) A. 1 2 B. 1 D. 4

C. 2

解析:∵ a>0,b>0,a+ 2b= 2,∴ a+ 2b= 2≥ 2 2ab,即 1 1 ab≤ . 当且仅当 a= 1, b= 时等号成立. 2 2

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不等式、推理与证明

3. 若 a, b∈ R, 且 ab> 0, 则下列不等式中, 恒成立的是( D ) A. a2+ b2> 2ab 1 1 2 C. + > a b ab B. a+ b≥ 2 ab b a D. + ≥ 2 a b

解析:∵ a2+ b2- 2ab=(a- b)2≥ 0,∴ A 错误. 对于 B、 C,当 a< 0, b< 0 时,明显错误. b a 对于 D,∵ ab> 0,∴ + ≥ 2 a b b a · = 2. a b

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不等式、推理与证明

4.已知 a, b∈ (0,+∞ ),若 ab= 1,则 a+ b 的最小值为 1 2 ________ ;若 a+ b= 1,则 ab 的最大值为 ________ . 4

解析:由均值不等式得 a+ b≥2 ab= 2,当且仅当 a= b= 1
2 a + b 1 1 ? ? 时取到等号;ab≤? = , 当且仅当 a= b= 时取到等号. ? 2 4 2

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不等式、推理与证明

5.要设计一个矩形,现只知道它的对角线长度为 10,则在

50 所有满足条件的设计中, 最大的一个矩形的面积为 ________ .
解析:设矩形的长、宽分别为 m、n, 则 m2+ n2= 100, m 2+n2 S=mn≤ = 50. 2

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不等式、推理与证明

利用基本不等式证明不等式
已知 a>0, b>0,a+b=1, 1 ?? 1 ? ? 求证:?1+a??1+b?≥ 9.

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不等式、推理与证明

[证明 ]法一:∵ a>0, b>0, a+ b=1, a+b 1 b ∴ 1+ = 1+ = 2+ . a a a 1 a 同理,1+ = 2+ . b b 1 ?? 1 ? ? b ?? a ? ? ∴?1+a ??1+b ?= 2+ 2+ ? a ?? b ? b a? b a ? = 5 + 2 + ≥ 5 + 4 = 9 ,当且仅当 = ,即 a = b 时取 ?a b? a b “=”. 1 ?? 1 ? 1 ? ∴?1+a ??1+b ?≥ 9,当且仅当 a=b= 时等号成立. 2

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不等式、推理与证明

1 ?? 1 ? 1 1 1 ? 法二:?1+a??1+b?= 1+ + + a b ab a+b 1 2 = 1+ + = 1+ , ab ab ab ∵ a, b 为正数, a+ b=1, 2 a + b 1 1 ? ? ∴ ab≤ = ,当且仅当 a=b= 时取“=”. 2 ? 2 ? 4 1 2 1 于是 ≥4, ≥ 8,当且仅当 a= b= 时取“=”. 2 ab ab 1 ?? 1 ? ? ∴?1+a ??1+b ?≥ 1+ 8= 9, 1 当且仅当 a= b= 时等号成立. 2
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不等式、推理与证明

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助

不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为
需证问题.

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不等式、推理与证明

bc ca ab 1.已知 a>0,b>0,c>0,求证: + + ≥a+b+c. a b c

证明:∵ a>0, b>0, c>0, bc ca bc ca ∴ + ≥2 · = 2c, a b a b bc ab bc ab + ≥2 · = 2b, a c a c ca ab ca ab + ≥2 · = 2a. b c b c bc ca ab ? ? 以上三式相加得: 2 + + ? a b c ?≥2(a+b+c), bc ca ab 即 + + ≥ a+b+ c. a b c
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不等式、推理与证明

利用基本不等式求最值
1 1 (1) 当 0<x< 时 , 函 数 y = x(1 - 2x) 的 最 大 值 为 2 2 1 16 ; ________ 4 -1 . (2)若 x<3,则函数 f(x)= + x 的最大值为 ________ x-3 2 1 (3)(2014· 吉林长春调研 )若两个正实数 x,y 满足 + = 1,并 x y 且 x+ 2y>m2+ 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( D ) A. (-∞,- 2)∪[4,+∞ ) B.(-∞,-4]∪ [2,+∞ ) C. (- 2, 4) D. (- 4, 2)
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不等式、推理与证明

1 [解析 ](1)∵0<x< ,∴ 1- 2x>0, 2 1 1?2x+1- 2x ?2 1 则 y= · 2x(1-2x)≤ = , 4 4? 2 ? 16 1 当且仅当 2x=1-2x,即 x= 时取到等号, 4 1 ∴ymax= . 16

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不等式、推理与证明

(2)∵ x<3,∴x- 3<0, ∴ 3- x>0, 4 4 ∴ f(x)= + x= + (x- 3)+3 x-3 x -3 4 ? =- 3-x+(3- x)?+3 ? ? ≤-2 =-1, 4 当且仅当 = 3- x, 3-x 即 x= 1 时,等号成立. 故 f(x)的最大值为- 1.
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4 · ( 3- x)+ 3 3-x

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不等式、推理与证明

2 1 4y x 4y (3)x+ 2y= (x+ 2y)( + )= 2+ + + 2≥8,当且仅当 = x y x y x x ,即 x=2y 时等号成立.由 x+2y>m2+2m 恒成立,可知 y m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2.

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不等式、推理与证明

利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: 一正二定三相等. (1)“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值, 必须把构成和的二项之积 转化成定值;要求积的最大值,必须把构成积的因式的和转 化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到, 只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值.
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不等式、推理与证明

a 2. (1)(2013· 高考四川卷)已知函数 f(x)= 4x+ (x>0, a>0)在 x 36 x= 3 时取得最小值,则 a= ________; 2x 1 (2)当 x> 0 时,则 f(x)= 2 的最大值为__________ ; x +1 (3)若正实数 x, y 满足 2x+ y+ 6= xy,则 xy 的最小值为

18 __________ .

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不等式、推理与证明

a a 解析:(1)f(x)=4x+ ≥ 2 4x· = 4 a(x>0,a>0),当且仅 x x a a 当 4x= ,即 x= 时等号成立,此时 f(x)取得最小值 4 a. 2 x 又由已知 x= 3 时,f(x)min= 4 a, a ∴ = 3,即 a=36. 2 2x 2 2 (2)∵ x> 0,∴ f(x)= 2 = ≤ = 1, 1 2 x +1 x+ x 1 当且仅当 x= ,即 x= 1 时取等号. x (3)xy=2x+ y+ 6≥ 2 2xy+ 6,令 xy= t2(t> 0), 可得 t2-2 2t- 6≥0,注意到 t>0,解得 t≥3 2,故 xy 的 最小值为 18.
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不等式、推理与证明

利用基本不等式解决实际问题

(2014· 湖南省五市十校联合检测)某化工企业2013年年
底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转 费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的

维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一
年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费 用为y(单位:万元). (1)用x表示y; (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换 新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备.
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不等式、推理与证明

[解 ](1)由题意得, 100+ 0.5x+(2+ 4+ 6+?+2x) y= , x 即 y=x+ 100 + 1.5(x∈ N*). x

(2)由基本不等式得: 100 y = x+ + 1.5≥ 2 x 100 x· + 1.5= 21.5 ,当且仅当 x= x

100 ,即 x=10 时取等号. x 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备.
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不等式、推理与证明

在利用基本不等式解决实际应用问题时, 一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围,即函数的定义域,分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值,若存在,则可 利用基本不等式求解, 若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内,则应利用导数研究函数的单调性,根据 单调性求最值.

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不等式、推理与证明

3.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面 利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已 知旧墙的维修费用为45 元/m,新墙的造价为180 元/m.设利用 的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元). (1)将y表示为x的函数; (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出 最少总费用.

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不等式、推理与证明

解:(1)设矩形场地的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x- 2)+180×2a = 225x+360a- 360. 360 由已知 xa=360,得 a= , x 3602 所以 y= 225x+ - 360(x>2). x

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不等式、推理与证明

(2)∵ x>2, 3602 ∴ 225x+ ≥2 x 3602 225x× = 10 800. x

3602 ∴ y= 225x+ - 360≥ 10 440, x 3602 当且仅当 225x= 时,等号成立, x 即当 x= 24 m 时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是 10 440 元.

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不等式、推理与证明

基本不等式与方程、函数的交汇
(2013· 高考山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x2- 3xy+4y2 z - z=0,则当 取得最小值时, x+ 2y- z 的最大值为 ( C ) xy 9 A. 0 B. 8 9 C. 2 D. 4
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不等式、推理与证明

[解析 ]

2 2 x - 3 xy + 4 y z x 4y = = + -3≥2 xy xy y x

x 4y · - 3= 1, y x

当且仅当 x=2y 时等号成立,因此 z= 4y2- 6y2+ 4y2= 2y2, 所以 x+2y-z= 4y- 2y2=-2(y-1)2+2≤2.

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不等式、推理与证明

z (1)本题以 x,y,z 三元二次方程为条件,在当 取得最小值 xy 时,求 x+2y- z 的最大值,是较新颖的基本不等式与方程 的交汇, 解决此题的关键是通过构造基本不等式, 确定出 x, y 的关系,将三元问题转化为一元二次函数处理. (2)基本不等式与函数图象过定点等知识交汇也是高考命题 热点之一.

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不等式、推理与证明

4. (2014· 河南郑州市高三模拟)函数 y=loga(x+3)- 1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在 mx+ ny+2= 0 上, 其中

3+2 2 1 1 2 mn>0,则 + 的最小值为________ . m n

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不等式、推理与证明

解析:注意到当 x=-2 时,y= loga(- 2+ 3)-1=- 1,即定 点 A 的坐标为 (- 2,-1),于是有- 2m- n+ 2= 0,即 m+ 1 1 1 1 n 3 n m 3 = 1, + = ( + )(m+ )= + + ≥ + 2 2 2 2m n 2 m n m n n 2

n m × = 2m n

3+2 2 n m , 当且仅当 = , 即 n= 2m=2( 2- 1)时取等号, 2 2m n 3+2 2 1 1 因此 + 的最小值是 . 2 m n

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