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2.3 幂函数


§2.3

幂函数

一.教学目标: 1.知识技能 (1)理解幂函数的概念; (2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用. 2.过程与方法 类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质. 3.情感、态度、价值观 (1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对

称性. 二.重点、难点 重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点:从幂函数的图象中概括其性质 5.学法与教具 (1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ; (2)教学用具:多媒体 三.教学过程: 引入新知 阅读教材 P77 的具体实例(1)~(5) ,思考下列问题. (1)它们的对应法则分别是什么? (2)以上问题中的函数有什么共同特征? 让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论 答:1、 (1)乘以 1 (2)求平方 (3)求立方 (4)求算术平方根 (5)求-1 次方 2、上述的问题涉及到的函数,都是形如: y ? x? ,其中 x 是自变量, ? 是常数. 探究新知 1.幂函数的定义 一般地,形如 y ? x? ( x ?R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数. 如y?x ,y?x ,y?x
2 1 3 ? 1 4

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.
1

2.研究函数的图像 (1) y ? x (4) y ? x ?1 (2) y ? x 2 (5) y ? x3 (3) y ? x
2

一.提问:如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电 脑软件画出以上五个数数的图像.

y ? x2

1

y?x
4

y ? x2
2

1

y=x3 y=x-1 0
5 10 15

-5

-2

-4

-6

让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研 究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像,填 P91 探究中的表格
-8 -10

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 单调增减性 定点 3.幂函数性质 R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x2
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x2

1

y ? x ?1

?x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

?x | x ? 0?
奇 在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1)

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因: 1 ? 1 ) ;
x

(2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上,是增函数(从左往右看,函数图象 逐渐上升).
2 特别地,当 x >1, x >1 时, x ∈(0,1) , y ? x 的图象都在 y ? x 图象的下方,形状向下凸越大,

下凸的程度越大(你能找出原因吗?)
2 当∠α <1 时, x ∈(0,1) , y ? x 的图象都在 y ? x 的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程

度越大(你能说出原因吗?) (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢地变大时,图 象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 例题: 1.证明幂函数 f ( x) ?

x在[0, ??]上是增函数

证:任取 x1 , x2 ?[0, ??), 且x 1 < x2 则

f(x ? 1 )? f ( x 2 )

1

x?

x 2
2

=

( x 1 ? x2 )( x 1 ? x2 ) x 1 ? x2

=

x 1 ? x2 x 1 ? x2

因 x1 ? x2 <0, x 1 ?

x2 >0
x在[0, ? ?] 上是增函数.

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) ? 思考: 我 们 知 道 , 若 y ? f ( x) ? 0, 若

f ( x1 ) ? 1 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 你 能 否 用 这 种 作 比 的 方 法 来 证 明 f ( x2 )

f ( x) ? x在[0, ??]上是增函数,利用这种方法需要注意些什么?
2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小 (1) 2 ,
1 6 1 6 3 3 2 2 4

3

(2) ( x ? 1) 2 ,

x2

( x ? 0)

(3) (a ? 4) 4 , 4
2

?

?

分析:利用幂函数的单调性来比较大小. 5.课堂练习 画出 y ? x 3 的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性. 6.归纳小结:提问方式 (1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 作业:P79 习题 2.3 第 2、3 题
2

3

小结与复习
一.教学目标 1.知识与技能 (1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. (2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法 通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 (1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. (2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点:指数函数与对数函数的性质。 难点:灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法与教具 1、学法:讲授法、讨论法。 2、教具:投影仪。 四、教学设想 1、回顾本章的知识结构

整数指数幂

定义 指数 对数 运算性质

有理数指数幂

无理数指数幂 定义 定义 指数函数 图象与性质 对数函数 图象与性质

2、指数与对数 指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab = N ? log a N = b
底数
4

指数←→对数值 提问:在对数式中,a,N,b 的取值范围是什么? 例 1:已知 log54 27 = a ,54b=3,用 a, b表示 log108 81 的值 解法 1:由 54 =3 得 log54 3 =b ∴ log108 81 =
b

log54 81 log54 27 ? log54 3 a?b a ?b = ? ? log54 108 log54 2 ? 1 2 ? log54 27 2 ? a

解法 2:由 log54 27 ? a 得 54 ? 27 设 x ? log108 81, 则 108x ? 81 所以 (542 ? 27?1 ) x ? 3 ? 27 即: (542 ? 54? a ) x ? 54b ? 54a 所以 542 x?ax ? 54a?b ,即2x ? ax ? a ? b 因此得: x ?

a?b 2?a

(1)法 1 是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法 2 是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法 2 运算的技巧性较大。 2.指数函数与对数函数 问题 1:函数 y ? a x与y ? loga x 中,a与x 分别必须满足什么条件. 问题 2:在同一直角坐标系中画出函数 y ? a x与loga x 的图象,并说明两者之间的关系. 问题 3:根据图象说出指数函数与对数函数的性质. 例 2: 已知函数 y ( x) 的图象沿 x 轴方向向左平移 1 个单位后与 f ( x) ? 3x 的图象关于直线 y ? x 对称, 且 g (19) ? a ? 2 ,则函数 y ? 3ax (0 ? x ? 1) 的值域为
x

.

分析:函数 y ? 3 关于直线 y ? x 对称的函数为 y ? log3 ( x ?1) ∴ g (19) ? log3 18 ? 2 ? log3 2 ∴ a ? log3 2, ? y ? 3ax ? (3 ∵ x ? (0,1], 则y ? (1, 2] 小结:底数相同的指数函数与对数函数关于 y ? x 对称,它们之间还有一个关系式子:
log3 2 x

) ? 2x

a

loga N

? N (a ? 1, a ? 0, N ? 0) 1? x (a ? 0且a ? 1) 例 3:已知 f ( x) ? log a 1? x (1)求 f ( x ) 的定义域 (2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围 1? x 分析: (1)要求 f ( x) ? log a 的定义域, 1? x
则应有

?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 1? x ?0?? 或? 1? x ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0
1? x ? log a 1, 再分a>1和0<a<1 两 1? x

(2)注意考虑不等号右边的 0 化为 log a1 ,则(2)小题变为 log a 种情况分别求出

1? x 1? x ? 1和0 ? ? 1. 1? x 1? x
5

建议:通过提问由学生作答

课堂小结: 1.指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式,它们之间可以互化,这种等价互化也是 指数运算和对数运算的常用方法. 2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于 y ? x 对称,它们在各自的定义域 内增减性是一致的,通过函数图象,利用数形结合,记作指数函数与对数函数的性质. 作业:P82 P83 A组 B组 3 3 7 4

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