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高一下学期第一次阶段性考试数学试题(3)


新泰一中北区高一下学期第一次大单元考试 数学试题
120 分钟 卷I 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、已知圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 ,则圆心 C 的坐标与半径分别是( A. (1,   ? 2) , r ? 2 B. (1,   ? 2) , r ? ) 150 分
《圆、三角

函数》2014/3/18

2

C. (?1,   2) , r ? 2 )

D. (?1,   2) , r ?

2

2、已知点 A(2,-1,-3) ,则点 A 关于 x 轴的对称点 A 的坐标为 ( A.(2,1,-3) B.(-2,-1,-3) C.(-2,1,3)

D.(2,1,3)

3、已知方程 x2 ? y 2 ? 2x ? y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 ( A. m ?

)

5 4

B. m ? ?

4、已知 sin(? ? ? ) ? ? A.

5 12

12 3? ,? ? ? ? ,则 tan ? ? ( 13 2 5 12 12 B. ? C. D. ? 12 5 5
). B .6 C.6 2

5 4

C. m ?

5 4

D. m ? ? )

5 4

5、圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8

D.4 3

6、已知角 ? 的终边上一点 P?3,m ? ,且 cos ? ? A. 4 B. -4 C. ? 4

3 ,则 m ? ( 5 D. ? 5

)

7、在下列函数中,同时满足①在 ? 0,

? ?

??

? 上递增,②以 2? 为周期,③是奇函数的函数是 ( 2?



A. y ? sin(x ? ? )

B. y ? cos x

C. y ? tan

x 2

D. y ? ? tan x
). D. 86 )

8、空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( A.2 43 9、函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ? B.2 21 C .9

5? ) 的图象的一个对称轴方程是( 2
B. x ? ?

?
4

?
2

C. x ?

?
8

D. x ?

5? 4

10、已知圆心为点 C(4,7) ,并且在直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 上截得的弦长为 8 的圆的方程为( A. C.

)

?x ? 4?2 ? ? y ? 7?2 ? 5 ?x ? 7?2 ? ? y ? 4?2 ? 5

B. D.

?x ? 4?2 ? ? y ? 7?2 ? 25 ?x ? 7?2 ? ? y ? 4?2 ? 25
卷 II

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、已知扇形的圆心角为 60 0 ,半径为 3 cm,则扇形的面积为 12、圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 13、.函数 y=cos( . .

? -2x)的单调递增区间是 4
4 ? x 2 有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范围____________
为第一限的角;

14、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 15、①若 ? 为第二象限的角,则 ②若 tan ? ?

?
2

3 3 ,则 sin ? ? ? ; 4 5

③角 ? 的终边在直线 3x ? y ? 0 上,则与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z?; 3 ?

④ cos 1 ? sin 2 ? tan 3 ? 0 以上命题正确的是

(填序号).

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16.(本小题 12 分)已知 cos ? ?

1 ? cos(?? ? ? ) sin(2? ? ? ) tan(2? ? ? ) ,且 ? ? ? ? 0 ,求 3? ? 3 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) 2 2

17. (本小题 12 分)已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 C 2 : x 2 ? y 2 ? 5 ,判断两圆的位置关系;若 相交,求出两圆的公共弦直线方程和公共弦长

18、 (本小题 12 分)已知 tan( ? ? ? ) ? 2 ,求

(1)

sin ? ? 2 cos ? cos ? ? sin ?

(2)

2 sin 2 ? ? cos2 ? sin ? cos? ? cos2 ?

(3) sin ? cos ?

19、 (本小题 12 分)已知圆心为 C 的圆过点 A(0,-6)和 B(1,-5),且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上. (1)求圆心为 C 的圆的标准方程; (2)过点 M(2,8)作圆的切线,求切线方程.

20. (本小题 13 分) 已知 f ( x) ? ?2a sin( 2 x ? (1)求 f ( x) 的周期 (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的最大值,并求出取得最大值时的 x 的集合. (3)若 x ? [

?
6

) ? 2a ? b,

? 3?
4 , 4

] ,是否存在常数 a、b ? Q ,使得 f ( x) 的值域为 {y | ?3 ? y ? 3 ? 1} ?若存在,求出 a、

b 的值;若不存在,说明理由。

21、 (本小题 14 分) 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : kx ? y ? k ? 1 ? 0 (1)判断直线 l 和圆 O 的位置关系。 (2)求圆心到直线 l 的距离的最大值。 (3)如图所示,圆 O 与 y 轴的正方向交于 A 点,点 B 在直线 y ? 2 上运动,过 B 做圆 O 的切线,切点为

C ,求 ?ABC 垂心 H 的轨迹.

新泰一中北区高一下学期第一次大单元考试 数学试题参考答案
《圆、三角函数》2014/3/18

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 A 6 C 7 C 8 D 9 B 10 B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、

3? cm 2 2

12、 1

13、 ?

5? ?? ? ? k? , ? k? ?, k ? z 8 ?8 ?

14、 ? 2 ? m ? 2或m ? 2 2

15、②③

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16、 (本小题 12 分) 解:∵ cos ? ?

1 ? ,且 ? ? ? ? 0 3 2

∴ sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ?

2 2 ……………………………………4 分 3

∴ tan? ? ?2 2 ……………………………………………………6 分

? 原式 ?

cos(? ? ? ) sin ? tan(?? ) ? cos? (? sin ? ) ? cos? sin ? (? tan? ) ? cos? sin ? ? tan? ? ?2 2

……………………………………12 分

17、 (本小题 12 分) 解法一:联立方程组 ?

?x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 x2 ? y2 ? 5 ?

相减得: x ? y ? 3 ? 0 , 即为公共弦直线的方程。……………………………………2 分 将 y ? x ? 3 代入 x 2 ? y 2 ? 5 得 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ∵ ? ? 9 ? 4? 2 ?1 ? 0 ∴两圆相交。…………………………………………………………………………6 分 设交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 解得: x1 ? 1, x2 ? 2 ∴ y1 ? ?2, y2 ? ?1 ∴ A(1,?2), B(2,?1) ∴ | AB |?

(1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 ………………………………………………12 分

解法二:由弦长公式求得。略

18、 (本小题 12 分) 解:由 tan( ? ? ? ) ? 2 ,得 tan ? ? 2 ……………………………………………2 分

(1)

sin ? ? 2 cos ? tan ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?4 ……………………………………5 分 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2

(2)

2 sin 2 ? ? cos2 ? sin ? cos? ? cos2 ?

?

2 tan2 ? ? 1 2 ? 2 2 ? 1 ? ? 9 …………………………………………………………8 分 2 ?1 tan? ? 1

(3) sin ? cos? ?

sin ? cos? sin ? cos? tan? 2 2 ? ? ? 2 ? …………12 分 2 2 2 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 2 ? 1 5

19、 (本小题 12 分)
2 解: (1)设所求的圆的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 2

?? 0 ? a ?2 ? ? ?6 ? b ?2 ? r 2 ? 2 2 ? 2 依题意得: ? ?1 ? a ? ? ? ?5 ? b ? ? r …………………………………………3 分 ? a ? b ?1 ? 0 ? ?
解得: a ? ?3, b ? ?2, r 2 ? 25 所以所求的圆的方程为:

? x ? 3?

2

? ? y ? 2 ? ? 25 …………………………………6 分
2

(2)设所求的切线方程的斜率为 k ,则切线方程为 y ? 8 ? k ?x ? 2? ,即 kx ? y ? 2k ? 8 ? 0 又圆心 C(-3,-2)到切线的距离 d ?

? 3k ? 2 ? 2k ? 8 k2 ?1

?

5k ? 10 k2 ?1

又由 d ? r ,即

5k ? 10 k ?1
2

? 5 ,解得 k ?

3 …………………………………………8 分 4

∴所求的切线方程为 3x ? 4 y ? 26 ? 0 ………………………………………………10 分 若直线的斜率不存在时,即 x ? 2 也满足要求. ∴综上所述,所求的切线方程为 x ? 2 或 3x ? 4 y ? 26 ? 0 …………………………12 分

20(本小题 13 分)

解: (1)T=π ………………………………………………………………2 分 (2)∵ a>0 由 2x ? ,∴ f ( x) max ? ?2a ? (?1) ? 2a ? b ? 4a ? b …………………4 分
? 2k? ?

?
6

?
2

, k ? Z ,解得 x ? k? ?

?
3

,k ? Z

∴取得最大值时的 x 的集合为: {x | x ? k? ?

?
3

, k ? Z } 。………………6 分

(3)存在, a ? ?1,b ? 1
?

?
4

?x?

3? 2? ? 5? ,? ? 2x ? ? 4 3 6 3

? 3 ? ?1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2 ……………………………………………………8 分
若存在这样的有理数 a、b,则
?? 3a ? 2a ? b ? ?3 ? ? ?2a ? 2a ? b ? 3 ? 1 不可能;……………………………10 分 ①当 a>0 时, ?
?2a ? 2a ? b ? ?3 ? ? 3a ? 2a ? b ? 3 ? 1 ②当 a<0 时, ? ……………………………………12 分

? a ? ?1,b ? 1 ,即存在 a、b 且 a ? ?1,b ? 1 。……………………………13 分

21(本小题 14 分) 解: (1)∵ kx ? y ? k ? 1 ? 0

∴ y ? k ( x ? 1) ? 1 ∴直线 l 经过定点 P(1,-1)………………………………………………2 分 又∵(1,-1)在圆的内部 ∴直线 l 与圆 O 相交。…………………………………………………………4 分 (2)由(1)知圆心到直线 l 的最大距离为 | OP |? 2 ………………………6 分
(3)设 H ( x , y ) , C ( x ' , y ' ) ,连结 AH , CH ,…………………………………8 分 则 AH ? BC , CH ? AB , BC 是切线 OC ? BC , 所以 OC // AH , CH // OA , OA ? OC , 所以四边形 AOCH 是菱形.……………………………………………………10 分
' ? ? y ? y ? 2, 所以 CH ? OA ? 2 ,得 ? ' ……………………………………………12 分 ? ? x ? x.

又 C ( x , y ) 满足 x ' ? y ' ? 4 ,
' '

2

2

所以 x ? ( y ? 2) ? 4( x ? 0) 即是所求轨迹方程.………………………………14 分
2 2


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