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【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性]

时间:2015-03-25


第3讲
一、填空题 1.若函数 f(x)=

函数的奇偶性与周期性

2 +m 为奇函数,则实数 m=________. 2 +1
x

解析 由题意,得 f(0)=0,所以 答案 -1

2 +m=0,即 m=-1. 2 +1
0

2.设函数 f(

x)是奇函数且周期为 3,f(-1)=-1,则 f(2 011)=________ 解析 因为 f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),f(-1)=-1,所以 f(1)=1,f(2 011) =f(3×670+1)=f(1)=1. 答案 1 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3, 则 f(-2)=________. 解析 ∵f(x)为 R 上的奇函数,

∴f(-2)=-f(2). 又当 x=2 时,f(2)=22-3=1,∴f(-2)=-1. 答案 -1

4.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(1-x)+f(1 + x) = 0 恒 成 立 . 如 果 实 数 m 、 n 满 足 不 等 式 组

?m>3, ? 2 那么 m2+n2 的取值范围是________. 2 f ? m - 6 m + 23 ? + f ? n - 8 n ? <0 , ? 解析 考查函数单调性及对称性,举特殊函数是解决此类问题的一个重要方

法.如:f(x)=x-1,f(x+1)+f(1-x)=0,所以 f(x)的对称中心为(1,0),∴不 ?m>3, 等式组? 由图可知 OA 最小,OA= 13,OB 最大,OB 2 2 ??m-3? +?n-4? <4, =7,∴m2+n2∈(13,49).

答案

(13,49)

5.设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)· f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(99)=________. 解析 f(x). ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(99)=f(25×4-1)=f(-1)= 答案 13 2 2a-3 , a+1 13 13 = . f?1? 2 由 f(x)· f(x+2)=13 得 f(x+2)= 13 13 , ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]= = f?x? f?x+2?

6.设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2)= 则 a 的取值范围是________. 答案 2? ? ?-1,3? ? ?

? 3? 7.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f?x+2?=-f(x),且函数 y ? ? ? 3? =f?x-4?为奇函数,给出以下四个命题: ? ? ①函数 f(x)是周期函数; ? 3 ? ②函数 f(x)的图象关于点?-4,0?对称; ? ? ③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③

8.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给

出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0). 其中正确的序号是________. 解析 ∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+1)=f(x+1+1)=f(x+2), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确. 又∵f(x+2)=f(x)=f(-x),∴f(x)=f(2-x), ∴y=f(x)的图象关于 x=1 对称,②正确. 又∵f(x)为偶函数且在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数.又∵对称轴为 x=1, ∴f(x)在[1,2]上为增函数,f(2)=f(0),故③④错误,⑤正确. 答案 ①②⑤ ? π π? ?π? 9.已知函数 f(x)=x2-cos x,x∈?-2,2?,则满足 f(x0)>f?3?的 x0 的取值范围为 ? ? ? ? ________. π? ? 解析 f′(x)=2x+sin x,在区间?0,2?内 f′(x)>0, ? ? π? ? ?π? ?π π? ∴f(x)在区间?0,2?内单调递增,此时由 f(x0)>f?3?得 x0∈?3,2?,易证 f(x)是偶 ? ? ? ? ? ? π? ? π 函数,∴x0∈?-2,-3?也符合题意. ? ? 答案
? ? π ? π π π ?x?- ≤x<- 或 <x≤ 3 3 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?

? 3? ? 3? 10.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f?x+2?=-f(x),且函数 y=f?x-4? ? ? ? ? 为奇函数,给出以下四个命题:①函数 f(x)是周期函数;②函数 f(x)的图象关 ? 3 ? 于点?-4,0?对称;③函数 f(x)为 R 上的偶函数;④函数 f(x)为 R 上的单调函 ? ? 数.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). ? 3? ? 3? 解析 ①由 f?x+2?=-f(x),得 f(x+3)=-f?x+2?=f(x),所以①正确.②由 ? ? ? ?

? 3? ?3 ? y = f ?x-4? 为奇函数,得 f(x) 图象关于点 ?4,0? 对称,所以②不正确.③由 ? ? ? ? 3? 3? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? f?-x-4?=-f?x-4?, 得 f(x)=-f?-x-2?, 又 f?x+2?=-f(x), 所以 f?-x-2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? =f?x+2?,所以 f(x)是偶函数,③正确.由③正确知④不正确. ? ? 答案 ①③

二、解答题 11.设 f(x)=ex+ae-x(a∈R,x∈R). (1)讨论函数 g(x)=xf(x)的奇偶性; (2)若 g(x)是偶函数,解不等式 f(x2-2)≤f(x). 解 (1)a=1 时,f(x)=ex+e-x 是偶函数, 所以 g(x)=xf(x)是奇函数; a=-1 时,f(x)=ex-e-x 是奇函数, 所以 g(x)=xf(x)是偶函数. a≠± 1,由 f(x)既不是奇函数又不是偶函数, 得 g(x)=xf(x)是非奇非偶函数. (2)当 g(x)是偶函数时,a=-1,f(x)=ex-e x 是 R 上的单调递增函数,于是由


f(x2-2)≤f(x)得 x2-2≤x, 即 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2. a 12.已知函数 f(x)=x2+ x (x≠0,a∈R). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)设 x2>x1≥2, a a 2 则 f(x1)-f(x2)=x2 1+ -x2- x x
1 2

x1-x2 = x x [x1x2(x1+x2)-a], 1 2

由 x2>x1≥2,得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, 只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16. 13.定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求 f(0); (2)求证:f(x)为奇函数; (3)若 f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 解 (1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.

(2)证明:令 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(- x),即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (3)因为 f(x)在 R 上是增函数, 又由(2)知 f(x)是奇函数. 所以 f(k· 3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2), 所以 k· 3x<-3x+9x+2, 即 32x-(1+k)· 3x+2>0 对任意 x∈R 成立. 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 令 f(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为 t= 2 , 1+k 当 2 <0,即 k<-1 时,f(0)=2>0,符合题意; 当 1+k 2 ≥0 , 即 k≥ - 1 时 , f(t)>0 对 任 意 t>0 恒 成 立 ?

?1+k ? ≥0, ? 2 2 ? ?Δ=?1+k? -4×2<0, 解得-1≤k<-1+2 2. 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 14. (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2-x-1,求 f(x)的解 析式;

ex a (2)设 a>0,f(x)= a +ex是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; (3)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足 f(1- m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围. 解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f(0)=0,当 x<0 时,-x>0, 由已知 f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=-f(x). ∴f(x)=-x2-x+1.

?x -x-1,x>0, ∴f(x)=?0,x=0, ?-x2-x+1,x<0.
(2)∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)在 R 上恒成立. e-x a ex a 即 a + -x= a +ex, e (a2-1)(e2x-1)=0,对任意的 x 恒成立,
2 ?a -1=0, ∴? 解得 a=1. ?a>0,

2

(3)∵f(x)的定义域为[-2,2], ?-2≤1-m≤2, ∴有? 解得-1≤m≤ 3.① 2 ?-2≤1-m ≤2, 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1,即-2<m<1.② 综合①②,可知-1≤m<1.


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