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基本不等式求最值


考点 103 基本不等式求最值
1. (13 天津 T14)设 a + b = 2, b ? 0 , 则当 a = 【测量目标】基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】 ?2 【试题解析】由于 a + b = 2,所以 由于 b ? 0, a ? o ,所以
1 |a| a?b |a| a b |a| ? ? ? ? ? ? , (步骤 1) 2|a

| b 4a b 4a 4a b

时,

1 |a| ? 取得最小值. 2| a| b

b |a| b |a| ? …2 ? ?1, 4a b 4a b

因此当 a ? 0 时,

1 5 1 |a| ? 的最小值是 ? 1 ? ; (步骤 2) 2|a| b 4 4

当a ? 0时

1 3 1 |a| ? 的最小值是 ? ? 1 ? , 2|a| b 4 4

|a| ? b 3 1 |a| ?4 a ? b ? 故 的最小值为 ,此时 ? ,即 a ? ?2 .(步骤 3) 2|a| b 4 ? a?0 ?

2.(13 江苏 T13)平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ?

1 ( x ? 0) 图象上 x
.

一动点,若点 P, A 之间最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 【测量目标】两点间距离公式、均值不等式、二次函数的最值以及换元法. 【难易程度】较难 【参考答案】 ?1, 10 【试题解析】依题意可设 P ? ( x, )( x ? 0) , 则 | PA | ? ( x ? a ) ? ( ? a ) ? x ?
2 2 2 2

1 x

1 x

1 1 ? 2a( x ? ) ? 2a 2 .(步骤 1) 2 x x

令x?

1 ? t ,则 t …2 且 | PA |2 ? t 2 ? 2 ? 2at ? 2a2 = (t ? a)2 ? a2 ? 2 . (步骤 2) x
2

2 若 a …2 ,则当 t ? a 时, | PA | 取最小值 a ? 2 ,令 a2 ? 2 ? (2 2)2 ,解得 a ? 10

( a ? ? 10 舍去) ;
2 2 若 a ? 2 ,则当 t ? 2 时, | PA | 取最小值 2a ? 4a ? 2 ,令 2a2 ? 4a ? 2 ? (2 2)2 ,解得

a ? ?1 ( a ? 3 舍去) (步骤 4)

3.(13 陕西 T15.A)(不等式选做题)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am +bn)(bm+an)的最小值为__________. 【测量目标】基本不等式求最值. 【难易程度】中等 【参考答案】2 【试题解析】(am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)

…2abmn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2
当且仅当 m=n= 2 时,取得“=”.? 所求最小值为 2. 4.(13 山东 T12)设正实数 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0. 则当

xy 取得最大值时, z
( )

2 1 2 ? ? 的最大值为 x y z
A. 0 B. 1 C.

9 4

D. 3

【测量目标】基本不等式最值. 【难易程度】较难. 【参考答案】B 【试题解析】

x ? x2 ? 3xy ? 4 y 2 ( x ? 0, y ? 0, z ? 0), ?

xy xy 1 1 ? 2 = ? ? ? 1, 2 x 4y z x ? 3xy ? 4 y 4 ? 3 ? ?3 y x

当且仅当

x 4y ? 时,即x ? 2 y 时等号成立,此时 y x

2 1 2 2 1 2 1 z ? x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? 2 y 2 ,? + ? ? ? ? 2 ? ?( ? 1)2 ? 1,? 当 y=1 时, x y z 2y y 2y y

2 1 1 ? ? 的最大值为 1 x y z
2 2 c2 ,则 cos C 5.(12 陕西 T9)在 ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ?b ? 2

的最小值为 ( A. )

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【测量目标】余弦定理、基本不等式求最值. 【难易程度】容易 【参考答案】C

【试题解析】由余弦定理结合基本不等式可得

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 c2 1 ≥ ? 1 ? ? . 2 2 2 2ab a ?b 2c 2

6.(12 安徽 T14)若平面向量 a , b 满足 2a ? b ? 3 ,则 a ?b 的最小值是___________. 【测量目标】绝对值,均值不等式,向量的异向性. 【难易程度】中等 【参考答案】 ?

9 8
2 2 2 2

b? 9 , 【试题解析】由 2a ? b ? 3 ,有 2a ? b ? ? 2a ? b ? ? 4 a ? b ? 4a ? (步骤 1)

4a2 ? b2 厖4 a b

?4a? b,

9 , (步骤 2) 8 9 故当 2 a ? b 且 a , b 方向相反时, a ?b 的最小值为 ? .(步骤 3) 8
b …?4a ? b ,所以 a ?b …? 可得 9 ? 4a ?
7.(12 安徽 T15)设 △ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a, b, c ,则下列命题正确 的是_____________(写出所有正确命题的编号).

π ; 3 π ②若 a ? b ? 2c ,则 C ? ; 3 π 3 3 3 ③若 a ? b ? c ,则 C ? ; 2 π ④若 ? a ? b? c ? 2ab ,则 C ? ; 2
2 ①若 ab ? c ,则 C ?
2 2 2 2 2 ⑤若 a ? b c ? 2a b ,则 C ?

?

?

π . 3

【测量目标】正余弦定理判断三角形角的大小,均值不等式,命题之间的关系. 【难易程度】较难 【参考答案】①②③ 【试题解析】对于①,由 c ? a ? b ? 2ab cos C ? ab 得
2 2 2

2cos C ? 1 ?
则 cos C ?

a 2 ? b2 b a ? ? …2 , (步骤 1) ab a b

1 π ,因为 0 ? C ? π ,所以 C ? ,故①正确; (步骤 2) 2 3
2 2 2 2 2

对于②,由 4c ? 4a ? 4b ? 8ab cos C ? a ? b ? 2ab 得

1 ?a b? ab ? 8cos C ? 2 ? ? 3 ? a 2 ? b 2 ? ,即 8cos C ? 2 ? 3 ? ? ? …6 ,则 cos C ? , (步骤 3) 2 ?b a?
因为 0 ? C ? π ,所以 C ?
3 3 3

π ,故②正确; (步骤 4) 3
3 3

?a? ?b? 对于对于③, a ? b ? c 可变为 ? ? ? ? ? ? 1 , ?c? ?c?
a b ? 1,0 ? ? 1 , (步骤 4) c c a 3 b 3 a 2 b 2 π 2 2 2 所以 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ,所以 c ? a ? b ,故 C ? ,③正确; (步骤 5) c c c c 2
可得 0 ? 对于④, ? a ? b? c ? 2ab 可变为 2 ?
2

1 1 1 2 ? ? … , c a b ab

可得 ab ? c ,所以 ab ? c , (步骤 6)

π ,④错误; (步骤 7) 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 对于⑤, ? a ? b ? c ? 2a b 可变为 2 ? 2 ? 2 ,即 2 ? , (步骤 8) a b c c ab a 2 ? b2 a 2 ? b2 2 2 …1 ,所以 C ? π ,故⑤错误. (步骤 9) 所以 c ? ab ? ,所以 cos C ? 3 2 2ab 2
2 2 2 因为 a ? b …2ab ? ab ? c ,所以 C ?

答案为①②③
2 2 8.(11 浙江 T16)设 x , y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值是

.

【测量目标】函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】

2 10 5
2

2 2 2 【试题解析】∵ 4 x ? y ? xy ? 1,∴ (2 x ? y) ? 3xy ? 1 ,即 (2 x ? y ) ? ?2 xy ? 1 ,

3 2

(步骤 1) ∴ (2 x ? y ) ?
2

3 2x ? y 2 8 2 10 ( ) ? 1 ,解之得: (2 x ? y ) 2 ? ,即 ? 剟2 x ? y 2 2 5 5

2 10 . 5

(步骤 2) 9.(11 重庆 T7) .已知 a>0,b>0,a ? b ? 2 ,则 y ? A.

1 4 ? 的最小值是( a b



7 2

B.4

C.

9 2

D.5

【测量目标】基本不等式. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】? a ? b ? 2,

a?b ? 1 (步骤 1) 2 1 4 a?b 1 4 5 b 2a 5 9 ( ) + )? ? ? … ?2? ∴ y ? ? =( ( 当且仅当 b ? 2a 时等号成立 ) a b 2 a b 2 2a b 2 2
∴ (步骤 2) 故选 C 10.(11 江苏 T8)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________ 【测量目标】函数图象、两点间距离公式、均值不等式的应用. 【难易程度】容易 【参考答案】4
2 2 【试题解析】设交点为 ( x, ) , ( ? x, ? ) ,则 PQ ? (2 x) ? ( ) …4

2 的图 x

2 x

2 x

4 x

11.(10 重庆 T7)已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是 A. 3 B. 4 C.





9 2

D.

11 2

【测量目标】基本不等式求最值. 【难易程度】中等 【参考答案】B
2 ? x ? 2y ? 【试题解析】 x ? 2 y ? 8 ? x? (2 y)≥8 ? ? ? ,整理得 ? x ? 2 y ? ? 4 ? x ? 2 y ? ? 32≥0 ? 2 ?

2

即 ? x ? 2 y ? 4?? x ? 2 y ? 8?≥0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y≥4 12.(10 江苏 T12)设实数 x, y 满足 3≤ xy ≤8,4≤ 【测量目标】基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】 27 【试题解析】 (
2

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y

.

.来源

1 1 1 x2 2 x3 x2 1 x3 ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] , 4 ? ( )2 ? 2 ?[2, 27] , 4 的最大值是 xy 8 3 y y y xy y
2

13. ( 10 四川 T12 )设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ?

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 ab a(a ? b)

( A.2

) B.4 C. 2 5 D.5

【测量目标】基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】B 【试题解析】 2a ?
2

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 ab a(a ? b) 1 1 ? ab a(a ? b)

= (a ? 5c) ? a ? ab ? ab ?
2 2

= (a ? 5c) ? ab ?
2

1 1 ? a ( a ? b) ? ab a ( a ? b)

…0+2+2=4(步骤 1)
当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b=

2 2 ,c= 满足条件. (步骤 2) 2 5


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