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【高优指导】2016高考数学二轮复习 专题七 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用素能提升练 理

时间:2016-04-18


第三讲

圆锥曲线的综合应用
素能演练提升十四 SUNENG YANLIAN

TISHENG SHISI 掌握核心,赢在课堂 1.某圆锥曲线有两个焦点 F1,F2,其上存在一点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则此圆锥曲线 的离心率等于( ) A. B.或 2 C.或 2 D. 解析:依题意,设|PF1|=4m,|F1F2|=3m,|PF2|=2m. 若此圆锥曲线是椭圆,则相应的离心率为; 若此圆锥曲线是双曲线,则相应的离心率为.故选 A. 答案:A 2.在△ABC 中,AC=6,BC=7,cos A=,O 是△ABC 的内心,若=x+y,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,则动点 P 的轨 迹所覆盖的面积为( ) A. B. C. D. 解析:∵=x+y,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,动点 P 的轨迹所覆盖的区域是以 OA,OB 为邻边的平行四边形 及其内部,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积 S=AB·r,r 为△ABC 的内切圆的半径. 在△ABC 中,由余弦定理可知 cos A=, 2 整理得 5AB -12AB-65=0,解得 AB=5, 因此 S△ABC=×6×5×sin A=6. 又∵O 为△ABC 的内心,故 O 到△ABC 各边的距离均为 r,此时△ABC 的面积可以分割为三个小三 角形的面积的和,∴S△ABC=(6+5+7)×r,即(6+5+7)×r=6,解得 r=, 即所求的面积 S=AB·r=5×. 答案:A 2 3.(2014 云南昆明第一次摸底调研,12)过椭圆+y =1 的左焦点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于 A,C,B,D 四点,则四边形 ABCD 面积的最大值与最小值之差为( ) A. B. C. D. 解析:当直线 AC 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AC:y=k(x+), 则 BD:y=-(x+), 2 2 2 2 由消去 y 得(4k +1)x +8k x+12k -4=0, 设 A(x1,y1),C(x2,y2), 则 x1+x2=,x1x2=,|AC|==4×, 将 k 换成-,得|BD|=4×, ∴四边形 ABCD 的面积 S=|AC|×|BD|=, 2 设 k +1=t(t>1), 则 S=,令=m(0<m<3), 则 S=, ∵0<m<3,∴≤S<2; 当直线 AC 的斜率为 0 或不存在时,S=2. 综上所述,≤S≤2,面积的最大值与最小值之差为 2-. 答案:B 2 4.已知点 E(m,0)(m>0)为抛物线 y =4x 内一个定点,过 E 作斜率分别为 k1,k2 的两条直线交抛物线于 点 A,B,C,D,且 M,N 分别是 AB,CD 的中点.

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(1)若 m=1,k1k2=-1,求△EMN 面积的最小值; (2)若 k1+k2=1,求证:直线 MN 过定点. 2 解:(1)当 m=1 时,E 为抛物线 y =4x 的焦点, ∵k1k2=-1,∴AB⊥CD. 设 AB 的方程为 y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 2 由得 k1y -4y-4k1=0,y1+y2=,y1y2=-4. ∵M, ∴M. 同理,点 N(2+1,-2k1), ∴S△EMN=|EM|·|EN|==2≥2=4, 当且仅当,即 k1=±1 时,△EMN 的面积取最小值 4. (2)证明:设 AB 的方程为 y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2), 2 由得 k1y -4y-4k1m=0, ∴y1+y2=,y1y2=-4m. ∵M,∴M. 同理,点 N. ∴kMN==k1k2. ∴MN 的方程为 y-=k1k2,即 y=k1k2(x-m)+2. ∴直线 MN 恒过定点(m,2). 5.已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从每条曲线上各取两 个点,将其坐标记录于下表中:

x 3 y -2

2 0

4

4

(1)求 C1,C2 的标准方程. (2)是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F;②与 C1 交于不同的两点 M,N,且满足?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 2 解:(1)设抛物线 C2:y =2px(p≠0),则有=2p(x≠0), 2 据此验证四个点知(3,-2),(4,-4)在抛物线上,易求 C2:y =4x. 设 C1:=1(a>b>0), 把点(-2,0),代入得 解得 2 所以 C1 的标准方程为+y =1. (2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1),与 C1 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2). 由消去 y 并整理得 2 2 2 2 (1+4k )x -8k x+4(k -1)=0, 于是 x1+x2=,x1x2=.① y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1], 2 即 y1y2=k =-.② 由,即=0,得 x1x2+y1y2=0.(*)

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将①②代入(*)式,得=0,解得 k=±2, 所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+y-2=0. 6.(2013 课标全国Ⅱ高考,理 20)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:=1(a>b>0)右焦点的直线 x+y-=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为. (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值. 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则=1,=1,=-1, 由此可得=-=1. 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,, 2 2 所以 a =2b . 2 2 又由题意知,M 的右焦点为(,0),故 a -b =3. 2 2 因此 a =6,b =3.所以 M 的方程为=1. (2)由解得 因此|AB|=. 由题意可设直线 CD 的方程为 y=x+n, 设 C(x3,y3),D(x4,y4). 2 2 由得 3x +4nx+2n -6=0. 于是 x3,4=. 因为直线 CD 的斜率为 1, 所以|CD|=|x4-x3|=. 由已知,四边形 ACBD 的面积 S=|CD|·|AB|=. 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为. 所以四边形 ACBD 面积的最大值为. 7.(2014 福建高考,理 19)已知双曲线 E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

解法一:(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, 所以=2, 所以=2, 故 c=a, 从而双曲线 E 的离心率 e=.

(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为=1. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,

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则|OC|=a,|AB|=4a, 又因为△OAB 的面积为 8, 所以|OC|·|AB|=8, 因此 a·4a=8,解得 a=2, 此时双曲线 E 的方程为=1. 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为=1. 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E:=1 也满足条件. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2, 则 C.记 A(x1,y1),B(x2,y2). 由得 y1=,同理得 y2=, 2 2 2 由 S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,=8,即 m =4|4-k |=4(k -4). 2 2 2 由得,(4-k )x -2kmx-m -16=0. 2 因为 4-k <0, 2 2 2 2 2 2 所以 Δ =4k m +4(4-k )(m +16)=-16(4k -m -16), 2 2 又因为 m =4(k -4), 所以 Δ =0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为=1. 解法二:(1)同解法一. (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为=1. 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意得-<m<. 由得 y1=,同理得 y2=. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 由 S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8,得|t|·=8, 2 2 2 所以 t =4|1-4m |=4(1-4m ). 2 2 2 2 由得,(4m -1)y +8mty+4(t -a )=0. 2 2 2 2 2 2 因为 4m -1<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ =64m t -16(4m -1)(t -a )=0, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 4m a +t -a =0,即 4m a +4(1-4m )-a =0,即(1-4m )(a -4)=0, 2 所以 a =4, 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为=1. 解法三:(1)同解法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意得 k>2 或 k<-2. 2 2 2 由得,(4-k )x -2kmx-m =0, 2 因为 4-k <0,Δ >0,所以 x1x2=, 又因为△OAB 的面积为 8, 所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8, 又易知 sin∠AOB=, 所以=8,化简得 x1x2=4. 2 2 所以=4,即 m =4(k -4). 由(1)得双曲线 E 的方程为=1, 2 2 2 2 由得,(4-k )x -2kmx-m -4a =0, 2 2 2 2 2 2 因为 4-k <0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ =4k m +4(4-k )(m +4a )=0, 2 2 2 即(k -4)(a -4)=0,所以 a =4, 所以双曲线 E 的方程为=1. 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E:=1 有且只有一个公 共点. 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为=1. 8.(2014 河南郑州第二次质检,20)已知平面上的动点 R(x,y)及两定点 A(-2,0),B(2,0),直线 RA,RB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=-,设动点 R 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程.

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(2)四边形 MNPQ 的四个顶点均在曲线 C 上,且 MQ∥NP,MQ⊥x 轴,若直线 MN 和直线 QP 交于点 S(4,0). 问:四边形 MNPQ 两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 解:(1)由题知 x≠±2,且 k1=,k2=, 则=-, 整理得,曲线 C 的方程为=1(y≠0). (2)设 MP 与 x 轴交于 D(t,0), 则直线 MP 的方程为 x=my+t(m≠0), 记 M(x1,y1),P(x2,y2), 由对称性知 Q(x1,-y1),N(x2,-y2), 2 2 2 由消去 x 得(3m +4)y +6mty+3t -12=0, 2 2 所以 Δ =48(3m +4-t )>0, y1+y2=-, y1·y2=. 由 M,N,S 三点共线知 kMS=kNS,即, 所以 y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0, 整理得 2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0, 所以=0, 即 24m(t-1)=0,t=1, 所以直线 MP 过定点 D(1,0), 同理可得直线 NQ 也过定点 D(1,0), 即四边形 MNPQ 两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0).

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