nbhkdz.com冰点文库

2012学年广州市高二数学选修2-2《推理与证明》测试题(市教研资料)

时间:2013-05-04


高二数学选修 2-2《推理与证明》测试题
广州市第 41 中学 秦玮

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1、下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是 由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特 殊的推理. A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤. 2、 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线; 已知直线 b ? 平 ? 面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的, 这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3、 某同学在电脑上打下了一串黑白圆, 如图所示, ○○○●●○○○●●○○○?, 按这种规律往下排,那么第 36 个圆的颜色是( A.白色 B.黑色
2 3

). D.黑色可能性大
2 011

C.白色可能性大
4

4、观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2 401,?,则 7 A.01 B.43 C.07 D.49

的末两位数字为(

).

5、否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( A.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 都是偶数

).

D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数

6、 用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2n 1 3 ? (2n ? 1) ,从 k 到 k ? 1 ,左边需要增乘的代 ·· · · 数式为( ) B. 2 k ? 1 C.

A. 2(2k ? 1)

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

正整数按下表的规律排列 7、 1 4 9 16 25 2 3 8 15 24 5 6 7 14 23 10 11 12 13 22 17 18 19 20 21

则上起第 2009 行,左起第 2010 列的数应为( A. 2009
2

) D. 2009 ? 2010

B. 2010

2

C. 2009 ? 2010
1

8、如图,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点
4 a1 a2 a3 a4 2S P 到第 i 条边的距离记为 hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 ? (ihi)= .类比以上性质, 1 2 3 4 k i=1

体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的
4 S1 S2 S3 S4 距离记为 Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =K,则 ? (iHi)=( 1 2 3 4 i=1

)

4V A. K

3V B. K

2V C. K

V D. K

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9、用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于 60° ”时, 假设应该是____________________________________. b a 10、下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使 + ≥2 成立 a b 的条件的个数是________. 11、观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测 m-n+p=________. 12、在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三角形面 1 积为 S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个面的面 2 积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________”.
n 13、已知命题:“若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 bn ? a1a2 ?an (n ?N? ) 也是等比

数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.

14、若数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 (n ? N ? ) ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) ,试通 (n ? 1) 2

______ . 过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________

三、解答题:本大题共 6 题,共 80 分。
15、求证:(1) a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ; (2)

6 + 7 >2 2 + 5 。

2

16、若 a,b,c 均为实数,且 a ? x ? 2 x ?
2

?
2

,b ? y ? 2y ?
2

?
2

, c ? z ? 2z ?
2

?
2

求证:a,b,c 中至少有一个大于 0。

17、已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1. (1)写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

18、已知函数 f(n)(n∈ *),满足条件:① N f(2)=2,② f(xy)=f(x)· f(y),③ f(n)∈ *, N ④ x>y 时,有 f(x)>f(y). 当 (1)求 f(1),f(3)的值; (2)由 f(1),f(2),f(3)的值,猜想 f(n)的解析式; (3)证明你猜想的 f(n)的解析式的正确性.

3

19、已知函数 f(x)=log2(x+2),a,b,c 是两两不相等的正数,且 a,b,c 成等比数列,试 判断 f(a)+f(c)与 2f(b)的大小关系,并证明你的结论.

20、已知函数 y = x + 数,在 [

a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] 上是减函 x

a ,+∞ ) 上是增函数.

2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x c (2)研究函数 y = x 2 + 2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x a a (3)对函数 y = x + 和 y = x 2 + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是你所推广的 x x 函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F (x) = 1 1 n + ( 2 ? x) ( n 是正整数)在区间[ ,2]上的最大值和最小值(可利用你的 2 x
(1)如果函数 y = x + 研究结论) .

4

高二数学选修 2-2《推理与证明》测试题答案
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1、解析:D 2、解析:A 3、解析:由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为 5 的三白二 黑的圆列,因为 36÷5=7 余 1,所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同,即白色.答案: A 4、解析: 72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,?由此看出,末两位数字具有 周期性,且周期为 4,又 2 011=4×502+3,由此知 72 011 的末两位数字应为 43.答案 B 5、解析: ∵a,b,c 恰有一个偶数,即 a,b,c 中只有一个偶数,其反面是有两个或两 个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数,故只有 D 正确.答案 D 6、当 n ? k 时,左边= (k ? 1)(k ? 2) ?? ? (k ? k )

当n ? k ? 1时, 左边 ? [(k ? 1) ? 1][(k ? 1) ? 2] ??? [(k ? 1) ? (k ? 1)]
? (k ? 2)(k ? 3) ??? (k ? k )(k ? k ? 1)(k ? k ? 2)
? ( k ? 1)( k ? 2) ??? ( k ? k ) ( k ? k ? 1)( k ? k ? 2) k ?1

? (k ? 1)(k ? 2) ??? (k ? k )[2(2k ? 1)] ,
∴从 k 到 k ? 1 ,左边需要增乘的代数式为 2(2k ? 1) .答案 A 7、 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减 1 的平方再加 1.依题意有,左起第 2010 列的第一个数为 2009 ? 1 ,故按连线规律可知,上起第
2

2009 行,左起第 2010 列的数应为 2009 ? 2009 ? 2009 ? 2010 .答案 D
2

1 1 1 4 8、解析: V 三棱锥= (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)= K(H1+2H2+3H3+4H4)= K ? (iHi) 3 3 3 i=1
4 3V ∴ ? (iHi)= ,故选 B. K i=1

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9、解析:用反证法证明命题时,假设结论不成立,即否定命题的结论. 答案 三角形的三个内角都大于 60° b a b a 10、解析: 要使 + ≥2,只要 >0 且 >0,即 a,b 不为 0 且同号即可,故有 3 个. a b a b 11、解析: m=29=512,p=5×10=50. 又 m-1280+1120+n+p-1=1, ∴n=-400. 答案 962 12、解析 三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,
5

1 1 内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中 类比为三维图形中的 , 2 3 1 得 V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)r. 3 (注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方面,得出结论. ) 13. 若数列 ?an ? 是等差数列,则数列 bn ? 证明如下: 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,

a1 ? a2 ? ? ? an 也是等差数列. n

a ? a ? ? ? an ? 则 bn ? 1 2 n

na1 ?

n(n ? 1)d d 2 ? a1 ? (n ? 1) , n 2

所以数列 ?bn ? 是以 a1 为首项, 14. f ( n) ?

d 为公差的等差数列. 2

n?2 2n ? 2

a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 , a2 ? ? 3 , a3 ? ? 2 2 2 2 (1 ? 1) 2 (2 ? 1) 3 (3 ? 1) 4

1 1 1 1 3 ? (1 ? )(1 ? ) ? ? , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 4 同理 f (2) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? ? ? ? 2 3 2 2 3 3 1 1 1 1 3 2 4 3 5 f (3) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2 2 3 3 4 4 f (1) ? 1 ? a1 ? 1 ?
∴ f (n) ? (1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 ) ??? [1 ? ] 2 2 3 (n ? 1)2
)

1 1 1 1 1 1 ) (? 1 ) ( 1 ?) ( 1 ? ??? ) ( 1 ? ) ( 1 ? 2 2 3 3 n? 1 n? 1 1 3 2 4 3 n n?2 n?2 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 1 2n ? 2 ? ( 1?
三、解答题:本大题共 6 题,共 80 分。 15、证明: (1) ∵ a 2 ? b 2 ? 2ab , (2)要证原不等式成立,

a2 ? 3 ? 2 3a , b2 ? 3 ? 2 3b
将此三式相加得 2 (a2 ? b2 ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b , ∴ a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) . ;

只需证( 6 + 7 ) >(2 2 + 5 ) , 即证 2 42 ? 2 40 。 ∵上式显然成立, ∴原不等式成立.

2

2

16、(反证法).证明:设 a、b、c 都不大于 0,a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0, π π π 2 2 2 而 a+b+c=(x -2y+ )+(y -2z+ )+(z -2x+ ) 2 3 6 2 2 2 2 2 2 =(x -2x)+(y -2y)+(z -2z)+π =(x-1) +(y-1) +(z-1) +π -3, ∴a+b+c>0,这与 a+b+c≤0 矛盾,故 a、b、c 中至少有一个大于 0.

6

17、解:(1) a1=

3 7 15 1 , a2= , a3= ,猜测 an=2- n 2 4 8 2 1 , 2k

(2) ① 由(1)已得当 n=1 时,命题成立; ② 假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2-

当 n=k+1 时,a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+……+ak=2k+1-ak ∴ 2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, ∴ k+1=2+2- 2a

1 1 , ak+1=2- k ?1 , k 2 2 1 都成立. 2n

即当 n=k+1 时,命题成立. 根据① 得 n∈ + , an=2- ② N

18、解:(1)∵ f(2)=f(2× 1)=f(2)· f(1),又 f(2)=2, ∴ f(1)=1.又∵ f(4)=f(2· 2)=f(2)· f(2)=4,2=f(2)<f(3)<f(4)=4,且 f(3)∈ *. N ∴ f(3)=3. (2)由 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,猜想 f(n)=n(n∈ *). N (3)用数学归纳法证明: (ⅰ n=1 时,f(1)=1,函数解析式成立. )当 (ⅱ )假设 n=k 时,f(k)=k,函数解析式成立. ① k+1=2m(m∈ *),f(k+1)=f(2m)=f(2)· 若 N f(m)=2m=k+1. ② k+1=2m+1(m∈ *),f(2m+2)=f[2(m+1)]=f(2)· 若 N f(m+1)=2(m+1)=2m+2, 2m=f(2m)<f(2m+1)<f(2m+2)=2m+2. ∴ f(2m+1)=2m+1=k+1. 即当 n=k+1 时,函数解析式成立. 综合(ⅰ )可知,f(n)=n(n∈ *)成立. )(ⅱ N 19、解 f(a)+f(c)>2f(b). 证明如下:因为 a,b,c 是不相等的正数, 所以 a+c>2 ac. 因为 b2=ac,所以 ac+2(a+c)>b2+4b, 即 ac+2(a+c)+4>b2+4b+4, 从而(a+2)(c+2)>(b+2)2. 因为 f(x)=log2x 是增函数, 所以 log2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2, 即 log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2). 故 f(a)+f(c)>2f(b). (综合法和分析法各有其优缺点,分析法利于思考,综合法宜于表达,因此,在实际解

7

题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综 合法表述解答或证明过程.有时要把分析和综合结合起来交替使用,才能成功) .

20、解: (1)函数 y=x+

2b (x>0)的最小值是 2 2 b ,则 2 2 b =6, ∴b=log29. x
c c c 2 ? x12 ? 2 ? ( x2 ? x12 )(1 ? 2 2 ) . 2 x2 x1 x1 ? x2

2 (2) 设 0<x1<x2,y2-y1= x2 ?

c 在[ 4 c ,+∞)上是增函数; x2 c 2 当 0<x1<x2< 4 c 时 y2<y1, 函数 y= x ? 2 在(0, 4 c ]上是减函数. x c 2 又 y= x ? 2 是偶函数, 于是, 该函数在(-∞,- 4 c ]上是减函数, 在[- 4 c ,0)上是增函数; x a n (3) 可以把函数推广为 y= x ? n (常数 a>0),其中 n 是正整数. x a n 当 n 是奇数时,函数 y= x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, x
2 当 4 c <x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x ?

在(-∞,- 2 n a ]上是增函数, 在[- 2 n a ,0)上是减函数;
n 当 n 是偶数时,函数 y= x ?

a 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, n x

在(-∞,- 2 n a ]上是减函数, 在[- 2 n a ,0)上是增函数;
2 F(x)= ( x ?

1 n 1 1 1 1 1 ) + ( 2 ? x) n = C n0 ( x 2n ? 2n ) ? C n1 ( x 2n?3 ? 2n?3 ) ? ? ? C nr ( x 2n?3r 2n?3r ) ? ? ? C nn ( x n ? n ) x x x x x x 1 因此 F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2 1 9 9 所以,当 x= 或 x=2 时,F(x)取得最大值( )n+( )n;当 x=1 时 F(x)取得最小值 2n+1; 2 2 4

8


高二数学选修2-2《推理与证明测试题》

高二数学选修 2-2《推理与证明测试题》一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1、 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体...

选修2-2第二章《推理与证明》综合检测题

选修2-2第二章《推理与证明》综合检测题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修2-2第二章《推理与证明》综合检测题 选修2-2 第二章《推理与证明》综合检测...

数学选修2-2_推理与证明例题1

数学选修2-2_推理与证明例题1_数学_高中教育_教育专区。知识要点分析: 1. 推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,...

高中数学选修2-2 推理与证明习题

高中数学选修2-2 推理与证明习题_数学_高中教育_教育专区。推理与证明 1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: . 他们研究过图 1 中的 1,...

【人教版】数学选修2-2《推理和证明综合题问题》课后练...

【人教版】数学选修2-2《推理和证明综合题问题》课后练习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。推理和证明综合问题课后练习 主讲教师:纪荣强 北京四中数学教师 题一:...

北师大版高中数学选修2-2第一章推理与证明单元测试题及...

北师大版高中数学选修2-2第一章推理与证明单元测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。高二数学选修 2-2 《推理与证明》质量检测试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和...

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试_数学_高中教育_教育专区。推理与证明 第 1 课时基础过关 1. 推理一般包括合情推理和演绎推理; 2.合情推理包括 和; ...

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试_数学_高中教育_教育专区。推理与证明...教师资格考试《幼儿教育学》模拟试题 2015年教师资格考试《中学心理学》冲刺试题 ...

北师大版高中数学选修2-2高二数学推理与证明测试题及答案

北师大版高中数学选修2-2高二数学推理与证明测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。金台区高二数学选修 2-2 第一单元质量检测试题参赛试卷 《推理与证明测试题》 ...

高二数学选修2-2导数及推理证明检测题(含答案)

高二数学选修2-2导数及推理证明检测题(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二理科数学期末复习卷(二) ---变化率与导数、导数及其应用、定积分、推理与...