nbhkdz.com冰点文库

绝对值不等式00


绝对值不等式 ,[学生用书 P122]) 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 a>0 a=0 a <0 |x|<a {x|-a<x<a} ? ? |x|>a {x|x>a 或 x<-a} {x|x∈R 且 x≠0} R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c ?-c≤ax+

b≤c; ②|ax+b|≥c ?ax+b≥c 或 ax+b≤-c; 2.绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|.当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等 号成立. 上述定理还可以推广得到以下几个不等式: (1)|a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|; (2)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|; (3)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 1.几种主要绝对值不等式的基本类型及其解法 (1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法 ①分段讨论法;②几何法;③图象法. (2)平方法:|f(x)|>|g(x)| ? f2(x)>g2(x). (3)公式法:|f(x)|>g(x) ? f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x);|f(x)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x),其中 g(x)>0. 2.绝对值三角不等式的应用 绝对值三角不等式定理常用来解决与最值有关的恒成立问题.不等式的解集为 R 是指不等 式的恒成立问题,而解集为?的不等式的对立面也是不等式恒成立问题(如 f(x)>m 的解集是 ?, 则 f(x)≤m 恒成立), 这两类问题都可以转化为最值问题, 即 f(x)<a 恒成立 ? a>f(x)max, f(x)>a 恒成立 ? a<f(x)min. 1.对于任意 x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.因为|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1, |y-1|+|y+1|≥|y-1-(y+1)|=2, 所以|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3.故选 C. 2.(2016· 浙江省名校联考)不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是( ) A.[-5,7] B.[-4,6] C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞) 解析:选 D.|x-5|+|x+3|表示数轴上的点到-3,5 的距离之和,故不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是(-∞,-4]∪[6,+∞),故选 D. 3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为____________. 解析:依题意得-1≤|x-2|-1≤1,即|x-2|≤2,解得 0≤x≤4. 答案:[0,4] 4.不等式|x+3|-|x-1|>0 的解集为____________. 解析:解|x+3|=0,得 x=-3;解|x-1|=0,得 x=1.

当 x≤-3 时,原不等式可转化为-(x+3)+(x-1)>0,即-4>0,无解; 当-3<x≤1 时, 原不等式可转化为 x+3+(x-1)>0, 解得 x>-1, 故解集为{x|-1<x≤1}; 当 x>1 时,原不等式可转化为 x+3-(x-1)>0,即 4>0,恒成立,故解集为{x|x>1}. 综上,原不等式的解集为{x|x>-1}. 答案:(-1,+∞) 5. 已知函数 y=f(x)=|2x-4|+1, 若不等式 f(x)≤ax 的解集非空, 则 a 的取值范围是________. ? ?-2x+5,x<2, 解析:由于 f(x)=? 则函数 y=f(x)的图象如图所示. ?2x-3,x≥2, ?

1 由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知,当且仅当 a≥ 或 a<-2 时,函数 y=f(x)与函数 y 2 = ax 的 图 象 有 交 点 , 故不 等 式 f(x)≤ax 的 解 集非 空 时 , a 的 取 值 范 围为 ( - ∞ , - 1 ? 2)∪? ?2,+∞?. 1 ? 答案:(-∞,-2)∪? ?2,+∞? 考点一 含绝对值不等式的解法[学生用书 P123] (1)(2015· 高考江苏卷)解不等式 x+|2x+3|≥2. (2)(2015· 高考山东卷改编)解不等式|x-1|-|x-5|<2. 3 3 ? ? ?x<-2, ?x≥-2, [解] (1)原不等式可化为? 或?

? ?-x-3≥2 ? ?3x+3≥2.

1 解得 x≤-5 或 x≥- . 3 1? ? ? 综上,原不等式的解集是?x? ?x≤-5或x≥-3 .
? ?

(2)①当 x≤1 时,原不等式可化为 1-x-(5-x)<2, 所以-4<2,不等式恒成立,所以 x≤1. ②当 1<x<5 时,原不等式可化为 x-1-(5-x)<2, 所以 x<4,所以 1<x<4. ③当 x≥5 时, 原不等式可化为 x-1-(x-5)<2, 该不等式不成立综上, 原不等式的解集为(- ∞,4). |x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型不等式的解法 (1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+ ∞)(此处设 a<b)三个部分, 在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴上到点 x1=a 和 x2=b 的距离之和大 于 c 的全体,|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|. (3)图象法:作出函数 y1=|x-a|+|x-b|和 y2=c 的图象,结合图象求解. x 1.解不等式|x+3|-|2x-1|< +1. 2

x 解:(1)当 x<-3 时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)< +1,解得 x<10,所以 x<-3. 2 1 x 2 2 (2)当-3≤x< 时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)< +1,解得 x<- ,所以-3≤x<- . 2 2 5 5 1 x (3)当 x≥ 时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)< +1,解得 x>2,所以 x>2. 2 2 2 ? ? 综上可知,原不等式的解集为?x|x<-5或x>2?. ? ? 考点二 绝对值不等式性质的应用[学生用书 P123] (2016· 宁波效实中学高三模拟)确定“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m(x, y, a, m∈R)”的什么条件. [解] 因为|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|<m+m=2m, 所以“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”的充分条件. 取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有|x-y|=2<5=2m,但|x-a|=5,不满足|x-a|<m=2.5, 故“|x-a|<m 且|y-a|<m”不是“|x-y|<2m”的必要条件. 故为充分不必要条件.

两数和与差的绝对值不等式的性质 (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要深刻理解,特别是用 此定理求函数的最值时. (2)该定理可强化为||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式. 2.若不等式|x+1|+|x-2|≥a 对任意 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 解: 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2) |=3, 所以只需 a≤3 即可. 故 a 的取值范围为(-∞, 3]. 考点三 绝对值不等式的综合应用[学生用书 P124] (2016· 台州监测考试)已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)<|a-1|的解集非空,求实数 a 的取值范围. [解] (1)不等式 f(x)≤6,即|2x+1|+|2x-3|≤6 1 1 3 3 ? ? ? ?x<-2, ?-2≤x≤2, ?x>2, 所以①? 或②? 或③?

? ?-2x-1+(3-2x)≤6

? ?2x+1+(3-2x)≤6

? ?2x+1+(2x-3)≤6,

1 1 3 3 解①得-1≤x<- ,解②得- ≤x≤ ,解③得 <x≤2, 2 2 2 2 即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. (2)因为 f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,即 f(x)的最小值等于 4, 所以|a-1|>4,解此不等式得 a<-3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞). (1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为 分段函数,然后数形结合解决是常用的思维方法. (2)对于求 y= |x-a|+ |x- b|或 y= |x-a|- |x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方 便.形如 y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如 y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有 最小值. 3.设函数 f(x)=x+|x-a|. (1)当 a=2 016 时,求函数 f(x)的值域; (2)若 g(x)=|x+1|,求不等式 g(x)-2>x-f(x)恒成立时 a 的取值范围. ? ?2x-2 016,x≥2 016, 解:(1)由题意得,当 a=2 016 时,f (x)=? ?2 016,x<2 016, ? 因为 f(x)在[2 016,+∞)上单调递增,所以 f(x)的值域为[2 016,+∞).

(2)由 g(x)=|x+1|,不等式 g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2 恒成立, 即(|x+1|+|x-a|)min>2. 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|, 所以|1+a|>2,解得 a>1 或 a<-3. ,[学生用书 P124]) 方法思想——含绝对值的不等式的证明 (2016· 杭州学军中学高三模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当 x∈[-1, 1]时,|f(x)|≤1. (1)求证|b|≤1; (2)若 f(0)=-1,f(1)=1,求实数 a 的值. [解] (1)证明:由题意知 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c, 1 所以 b= [f(1)-f(-1)]. 2 因为当 x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1, 所以|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1, 1 1 所以|b|= |f(1)-f(-1)|≤ [|f(1)|+|f(-1)|]≤1. 2 2 (2)由 f(0)=-1,f(1)=1 可得 c=-1,b=2-a, 所以 f(x)=ax2+(2-a)x-1. a-2 1 1 函数 f(x)图象的对称轴为 x= ,即 x= - . 2a 2 a 因为 x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1, 即|f(-1)|≤1,所以|2a-3|≤1,解得 1≤a≤2. 1 1? 1 1 1 所以- ≤ - ≤0,故|f? ?2-a?|= 2 2 a 1 1?2 ?1 1? |a? ?2-a? +(2-a)?2-a?-1|≤1. (a-2)2 整理得| +1|≤1, 4a (a-2)2 (a-2)2 所以-1≤ +1≤1,所以-2≤ ≤0, 4a 4a (a-2)2 (a-2)2 又 a>0,所以 ≥0,所以 =0,所以 a=2. 4a 4a (1)证明含有绝对值的不等式的思路:①充分利用含绝对值的不等式的性质; ②证题过程还应考虑添、拆项的技巧,以上两步骤用活,此类问题可快速破解. (2)本题(2)体现了转化化归思想,即由 f(0)=-1,f(1)=1 可得出 a,b,c 之间的关系,从而 可以把 b,c 转化为关于 a 的关系式.由|f(-1)|≤1 可求出 a 的取值范围,从而可求出函数 f(x)的对称轴的取值范围,若函数 f(x)的对称轴的取值范围是[-1,1],则可由二次函数图象 的顶点的纵坐标的取值范围为[-1,1]求出 a 的值. 设 f(x)=x2-x+b,|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 证明:f(x)-f(a)=x2-x-a2+a=(x-a)(x+a-1),所以|f(x)-f(a)|=|(x-a)(x+a-1)|=|x- a|· |x+a-1|<|x+a-1|= |x -a+2a-1|≤|x-a|+ |2a -1|≤ |x-a|+2|a|+1<2|a|+2=2(|a|+ 1).所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

1.(2016· 温州高三第二次适应性考试)不等式|x-1|+|x+1|<4 的解集是( A.{x|x>-2} B.{x|x<2}

)

C.{x|x>0 或 x<-2} D.{x|-2<x<2} 解析:选 D.根据题意,原不等式等价于 ? ? ?x≤-1, ?-1<x≤1, ? 或? ?1-x-x-1<4 ? ?1-x+x+1<4 ? ? x > 1 , ? 或? 解之取并集即得原不等式的解集为{x|-2<x<2}. ?x-1+x+1<4, ? 2.(2016· 绍兴高三质量检测)对任意实数 x,若不等式|x+2|+|x+1|>k 恒成立,则实数 k 的 取值范围是( ) A.(-∞,0)∪[2,+∞) B.[-2,-1]∪(0,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 解析:选 C.因为|x+2|+|x+1|≥|x+2-x-1|=1,所以当且仅当 k<1 时,不等式|x+2|+|x +1|>k 恒成立. 3.已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)· (x-2)<0},且 A∩B=(-1,n), 则 m=________,n=________. 解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以 A=(-5,1),又 A∩B≠?,所以 m<1,B=(m, 2),由 A∩B= (-1,n)得 m=-1,n=1. 答案:-1 1 4.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________. 解析:|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1| 的最大值为 5. 答案:5 5.求不等式|x+3|-|x-2|≥3 的解集. ? ? ? ?x≤-3, ?-3<x<2, ?x≥2, 解:原不等式等价于? 或? 或? 解得 1≤x<2 ?-x-3+x-2≥3 ? ?x+3+x-2≥3 ? ?x+3-x+2≥3, ? 或 x≥2,故原不等式的解集为{x|x≥1}. 6.(2016· 忻州联考)已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 解:(1)由不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1,解得 1≤x≤2,所以 m=1,n=2,m+n =3. (2)证明:若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.即|x|<|a|+1. 7.(2015· 高考重庆卷改编)若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,求实数 a 的值.

解:由于 f(x)=|x+1|+2|x-a|, 当 a>-1 时, ?-3x+2a-1,x<-1, f(x)=?-x+2a+1,-1≤x≤a,

?

? ?3x-2a+1,x>a.

作出 f(x)的大致图象如图所示, 由函数 f(x)的图象可知 f(a)=5, 即 a+1=5,所以 a=4. 同理,当 a≤-1 时,-a-1=5,所以 a=-6.

所以实数 a 的值为 4 或-6. 8.(2016· 九江第一次统考)已知函数 f(x)=|x-3|-|x-a|. 1 (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≤- ; 2 (2)若存在实数 x,使得不等式 f(x)≥a 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)因为 a=2,所以 f(x)=|x-3|-|x-2| ?1,x≤2, =?5-2x,2<x<3,

?

? ?-1,x≥3,

x≤2, ?2<x<3, x≥3, ? ? ? ? ? 1 所以 f(x)≤- 等价于? 1或? 1或? 1 2 1≤- ?5-2x≤- ?-1≤- , ? 2 ? 2 ? 2 ? 11 解得 ≤x<3 或 x≥3, 4 11? ? x≥ ?. 所以不等式的解集为?x? 4? ? ? (2)由不等式的性质可知 f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|, 3 所以若存在实数 x,使得不等式 f(x)≥a 成立,则|a-3|≥a,解得 a≤ , 2 3 ? 所以实数 a 的取值范围是? ?-∞,2?. 9.(2015· 高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1; 3 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. ? 2 ? 所以 f(x)>1 的解集为?x|3<x<2?. ? ? ?x-1-2a,x<-1, (2)由题设可得 f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a,

?

? ?-x+1+2a,x>a.

所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? 2 a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2. 3 2 由题设得 (a+1)2>6,故 a>2. 3 所以 a 的取值范围为(2,+∞).

2a-1 ? B(2a+1, 0), C(a, ? 3 ,0?,

1.(2016· 昆明三中、玉溪一中统考)已知函数 f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a). (1)当 a=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意知:|x-1|+|x+2|>7, 不等式的解集是以下不等式组解集的并集: ?x≥1, ?-2<x<1, ?x≤-2, ? ? ? ? 或? 或? ?x-1+x+2>7 ? ?-x+1+x+2>7 ? ?-x+1-x-2>7, ? 解得函数 f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(3,+∞).

(2)不等式 f(x)≥3 即|x-1|+|x+2|≥a+8, 因为 x∈R 时,恒有|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3, 不等式|x-1|+|x+2|≥a+8 的解集是 R, 所以 a+8≤3, 所以 a 的取值范围是(-∞,-5]. 2.(2016· 浙江省五校协作体联考)已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤3},求实数 a 的值; t? (2)在(1)的条件下,若存在实数 t,使 f? ?2?≤m-f(-t)成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由|2x-a|+a≤6,得|2x-a|≤6-a,所以 a-6≤2x-a≤6-a,即 a-3≤x≤3,所以 a-3=-2,所以 a=1. t? (2)因为 f? ?2?≤m-f(-t),所以|t-1|+|2t+1|+2≤m, 1 -3t+2,t≤- , 2

? ? 1 令 y=|t-1|+|2t+1|+2,则 y=? t+4,- <t<1, 2 ? ?3t+2,t≥1.

7 7 所以 ymin= ,所以 m≥ . 2 2 3.(2016· 杭州高考科目教学质检)已知函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a<3)的最小值为 2. (1)解关于 x 的方程 f(x)=a; (2)若存在 x∈R,使 f(x)-mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由 f(x)=|x-4|+|x-a|≥|x-4-(x-a)|=|a-4|(当(x-4)(x-a)≤0 时取等号),知|a- 4|=2,解得 a=6(舍去)或 a=2.

方程 f(x)=a 即|x-4|+|x-2|=2,由绝对值的几何意义可知 2≤x≤4. (2)不等式 f(x)-mx≤1 即 f(x)≤mx+1, 由题意知 y=f(x)的图象至少有一部分不在直线 y=mx 1 ? +1 的上方,作出对应的图象观察可知,m∈(-∞,-2)∪? ?4,+∞?. 4.(2016· 绍兴高三质检)设 a∈R,函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1). (1)若|a|≤1,求|f(x)|的最大值; 17 (2)求 a 的值,使函数 f(x)有最大值 . 8 解:(1)由题意知|x|≤1,|a|≤1, 所以|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|=|a|· |x2-1|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-|x|2+|x| 2 1? 5 5 +1=-? ?|x|-2? +4≤4. 1 5 当|x|= 时,|f(x)|取得最大值 . 2 4 (2)当 a=0 时,f(x)=x, 因为-1≤x≤1,所以 f(x)的最大值为 f(1)=1, 不可能满足题设条件,所以 a≠0. 又 f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1, 故 f(± 1)均不是最大值, 17 所以 f(x)的最大值 应为 f(x)图象的顶点的纵坐标, 8 所以 a<0,

?-1<-2a<1, ?a<-2, 所以? 所以? 1 ? 17 1 ?a=-2或a=-8, ?f? ?-2a?= 8 ,a<0,
所以 a=-2

1

1


绝对值不等式00

绝对值不等式 ,[学生用书 P122]) 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a>0 a=0 a <0 |x|<a {x|-a<xa {x|x>a ...

绝对值不等式

绝对值不等式_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 不等式选讲 1 .( 2013 年重庆) 若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ?...

绝对值不等式

0 ? 几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2. 关于含有绝对值不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类 是证明...

绝对值不等式

绝对值不等式_数学_高中教育_教育专区。绝对值不等式,三角不等式恒成立问题 1 1 1.已知不等式|2x-t|+t-1<0 的解集为(-, ),则 t=___ 2 2 答案:t...

绝对值不等式

a ? 3 . 考点:解绝对值不等式,分段函数,函数的单调性与最值. 20、 【答案】 (1)m≤ (2)[﹣2,0] 试题分析: (1)通过讨论 x 的范围,求出 f(x)的...

绝对值不等式

专题:不等式、含有绝对值不等式说明:本部分为选修 4-1 内容,但高考必考 知识梳理 1.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b| ≤|a|+...

绝对值不等式

绝对值不等式_数学_高中教育_教育专区。高二数学教学案(文) 1.4 绝对值三角不等式学案☆预习目标: ☆预习内容: 1.绝对值的定义: ?a ? R , | a |? ? ?...

分式不等式、绝对值不等式的解法

00 授课日期 授课时段 分式不等式、绝对值不等式的解法 1、熟练掌握一元一次不等式、分式不等式、绝对值不等式、不等式组的解法; 2、对含参数的不等式问题,要...

不等式和绝对值不等式

不等式的性质及绝对值不等式 1.求不等式|x+1|+|2x-1|>4 的解集. 2.已知 a,b∈R+,且 a3-b3=a2-b2,求 a+b 的取值范围. 3.[2013· 邯郸一模] ...