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湖北省部分重点中学2012-2013学年高一下学期期中联考数学(理)试题

时间:


湖北省部分重点中学 2012-2013 学年度下学期高一期中考试

数学参考答案(理工类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
题号 答案 1 A 2 C
源:Z_xx_k.Com]

3 B
[来

4 D

5 C

6 A

7 B

8 C

9 D

10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11. a n ? ?
? 4 ( n ? 1) ?2 ?3
n ?1

(n ? 2)



12.

4 3 ; 3

13.

32 ; 729

14.

2 21 ; 3

15. 2 6

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16 (本小题满分 12 分)
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[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

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解:(1)∵ 2 ? M ,∴ a ? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ a ? ? 2
2

???5 分

(2)∵ M ? x

?

1 1 2 ? x ? 2 ,∴ , 2 是方程 a x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根, 2 2

?

5 ?1 ?2? ? ?2 ? a 且 a ? 0 ,∴由韦达定理得 ? ∴a ? ?2 ?1 ?2 ? ? 2 ?2 a ?
2 2 2

???8 分

∴不等式 a x ? 5 x ? a ? 1 ? 0 即为: ? 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 其解集为 x ? 3 ? x ?

?

1 . 2

?

???12 分

17 (本小题满分 12 分)
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解:在 ? A B D 中,设 B D ? x , 则 BA 即 14
2 2

? BD ? x
2

2

? AD
2

2

? 2 BD ? AD ? cos ? BDA ,
?

? 10

? 2 ? 10 x ? cos 60



2 整理得: x ? 10 x ? 96 ? 0 ,

解之: x 1 ? 16 , x 2 ? ? 6 (舍去),??????6 分

由正弦定理,得:
BC sin ? CDB ? 16 sin 135
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BD sin ? BCD
?

,
?

∴ BC ?
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? sin 30

? 8

2 .

???12 分

18 (本小题满分 12 分) 解: (1)由 b n ? 2 ?
b n +1 * ( n ? N )可得 ? b n ? 为等比数列.设数列 ? a n ? 的公差为 d ,数列 ? b n ? bn
?1 ? 3 d ? q ? ? 2 0 ?
3

2

的公比为 q ,由题意得 ?
?d ? 2 ?q ? ?3
0

?4 ? 6d ? q ? 43 ?
3



解之得 : ?

,从而 a n ? 2 n ? 1, b n ? ( ? 3)
1 2

n ?1

.???5 分

(2) T n ? 1 ? ( ? 3) ? 3 ? ( ? 3) ? 5 ? ( ? 3) ? ? ? (2 n ? 1) ? ( ? 3)
1 2 3

n ?1


n

①× ( ? 3) 得: ? 3T n ? 1 ? ( ? 3) ? 3 ? ( ? 3) ? 5 ? ( ? 3) ? ? ? (2 n ? 1) ? ( ? 3) ①-②得: 4T n ? 1 ? ( ? 3) ? 2 ? ( ? 3) ? 2 ? ( ? 3) ? ? ? 2 ? ( ? 3)
0 1 2 n ?1


n

? (2 n ? 1) ? ( ? 3)
n

? 2 ? ( ? 3) ? 2 ? ( ? 3) ? 2 ? ( ? 3) ? ? ? 2 ? ( ? 3)
0 1 2
n

n ?1

? (2 n ? 1) ? ( ? 3) ? 1
n

? 2?

1 ? ( ? 3) (4 n ? 1) ? ( ? 3) ? 1 n ? (2 n ? 1) ? ( ? 3) ? 1 ? ? ???11 分 1 ? ( ? 3) 2

? Tn ? ?
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(4 n ? 1) ? ( ? 3) ? 1 8
n

???12 分

19 (本小题满分 12 分)
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解:(1)由 (2 b ?
2 sin B co s A ?

3 c ) co s A ?

3 a co s C 代入正弦定理得:
3 sin A co s C ,

3 sin C co s A ?

即: 2 sin B co s A ?
? cos A ?

3 sin ? A ? C

??

3 sin B ,又 sin B ? 0 ,

3 .又? 0 ? ? A ? 1 8 0 ?,? A ? 3 0 ? . 2

???6 分

(2)方案 1:选①②. 由正弦定理
a b a ? ? sin B ? 2 2 . 得: b ? sin A sin B sin A

又 sin C ? sin ( A ? B ) ? sin A c o s B ? c o s A sin B ?

2 ? 4

6



?S ?

1 a b sin C ? 2

3 ?1.
[来源:学科网]

??…12 分

方案 2:选①③.
2 2 2

由余弦定理 a ? b ? c ? 2 b c co s A 得: 2 ? b ? ? 3 b ? ? 2 b ? 3 b c o s 3 0 ?
2 2 2

∴ b ? 2 ,从而 c ? 2 3
?S ? 1 1 1 b c sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 2 2 2 3.

???12 分

(选②③,这样的三角形不存在) 20 (本小题满分 13 分)
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解:(1)设铁栅长 x 米,侧墙宽 y 米, 则由题意得: x ? 4 0 ? 2 y ? 4 5 ? xy ? 2 0 ? 3 2 0 0 ,??????? 3 分 即 4 x ? 9 y ? 2 xy ? 3 2 0 ① (以上两处的“ ? ”号写成“ ? ”号不扣分) ②,

由于 4 x ? 9 y ? 2 4 x ? 9 y ? 1 2 xy 由①②可得 x y ? 6 x y ? 1 6 0 ? 0 ,?

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

xy ? 1 0 ? xy ? 1 0 0 ,

所以 S 的最大允许值为 100 平分米.?????? ? 8 分 (2)由(1)得当面积 S 达到最大而实际投入又不超过预算时, 有: 4 x ? 9 y 且 xy ? 1 0 0 ,从而 x ? 1 5 . 即正面铁栅应设计为 15 米长.??????? 12 分 21 (本小题满分 14 分)
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[来源:学科网 ZXXK]

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解:(Ⅰ) 因为 a1 + 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? 2
2 1 1

n ?1

a n ? ( n ? 2 ? 2 ? 1) t ,
n n 2

所以 a1 ? ( 2 ? 2 ? 1) t , a 1 + 2 a 2 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? 1) t ,
2

解得 a 1 ? t , a 2 ? 2 t .
2

?????????? 3 分
n ?1

(Ⅱ)当 n ? 2 时,由 a1 + 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? 2 得 a1 + 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? 2
2 n?2

a n ? ( n ? 2 ? 2 ? 1) t ,
n n n ?1

① ②

a n ? 1 ? [( n ? 1) ? 2
n n

n ?1

?2

? 1]t ,
n ?1

将①,②两式相减,得 2

n ?1

a n ? ( n ? 2 ? 2 ? 1) t ? [( n ? 1) ? 2

?2

n ?1

? 1]t ,

化简,得 a n ? n t ,其中 n ? 2 .

??????? 5 分

因为 a 1 ? t , 所以 a n ? n t ,其中 n ? N .
*

???????? 6 分

因为

2 2

an

a n ?1

? 2

a n ? a n ?1

? 2 ( n ? 2 ) 为常数,
t

所以数列 {2 } 为等比数列. (Ⅲ) 所以
n

an

???????? 8 分 ????????? 9 分

由(Ⅱ)得 a 2 ? 2 t ,
n

1 1 a2 ? 1 a4 ? 1 a8 ?? ? 1 a 2n ? 1 2t ? 1 4t ?? ? 1 2 t
n

?

1 t

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ?

? 2

1 t

(1 ?

1 2
n

),

又因为 a 1 ? t ,所以原不等式可化简为 (1) 当 t ? 0 时,不等式 由题意知,不等式 m ?
1
x

m t

?

1 t

(1 ?

1 2
n

) ? 0 ,???10 分 1 2
n

m t

?

1 t

(1 ?

1 2
n

)? 0 ? m ?

?1,

1 2
n

? 1 的解集为 { n | n ? 3, n ? N } ,
*

因为函数 y ? ( ) ? 1 在 R 上单调递减,
2

所以只要求 m ? 解得 ?
7 8 ? m ? ?

1 2 3 4
3

?1且m ?

1 2
2

? 1 即可,


m t 1 2
n

???????? 12 分
? 1 t (1 ? 1 2
n

(2)当 t ? 0 时,不等式 由题意,要求不等式 m ? 因为
1 2
3

)? 0 ? m ?

1 2
n

?1,
*

? 1 的解集 为 { n | n ? 3, n ? N } ,

?1 ?

1 2
2

?1 ,

所以如果 n ? 3 时不等式成立,那么 n ? 2 时不等式也成立, 这与题意不符,舍去. 综上所述: t ? 0 , ?
7 8 ? m ? ? 3 4



?????????? 14 分


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