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2016年安徽体育运动职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年安徽体育运动职业技术学院单招数学模拟试题(附答 案)
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每 个空填对得 4 分,否则一律得零分。 1、已知 A ? {?1,3, m} ,集合 B ? {3, 4} ,若 B ? A ,则实数 m ? ___ 。 2、已知两条直线 l1 :

ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 ,则 a ? ____. 3、若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数的图像过点 (2, ?1) ,则 a ? ___ 。
n(n2 ? 1) ? ______ 。 6n 3 ? 1

4、计算: lim
n ??

5、若复数 z 满足 z ? (m ? 2) ? (m ? 1)i ( i 为虚数单位),其中 m ? R 则 z ? ____ 。 6、函数 y ? sin x cos x 的最小正周期是_________。 7、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为
5 : 4 ,则双曲线的标准方程是____________________.

8、方程 log3 ( x2 ?10) ? 1 ? log3 x 的解是_______.

?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 9、已知实数 x, y 满足 ? ,则 y ? 2 x 的最大值是_________. x ? 0 ? ? ?y ? 0

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10、在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任 交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分 数表示)。 11、若曲线 y ? 2x ? 1与直线 y ? b 没有公共点,则 b 的取值范围是_________. 12、如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O , 对于平面上任意一点 M ,若 p, q 分别是 M 到直线

l1 和 l2 的距离,则称有序非负实数对 ? p, q ? 是点
M 的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐

标”是(1,2)的点的个数是____________. 二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、 D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在 题后的圆括号内,选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是 否都写在圆括号内),一律得零分。 13、如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 ( )

??? ? ???? (A) AB ? DC
??? ? ???? ??? ? (C) AB ? AD ? BD

???? ??? ? ??? ? (B) AD ? AB ? AC ???? ??? ? ? (D) AD ? CB ? 0


14、如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是( (A)
1 1 ? a b

(B) ?a ? b

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(C) a 2 ? b 2 (D) | a |?| b |

15、若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有 公共点”的( ) (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件

(A)充分非必要条件 (C)充分必要条件

16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线 面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成 的“正交线面对”的个数是 (A)48 (B) 18 (C) 24 (D)36

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要 的步骤。 17、(本题满分 12 分)

?? ? sin ? ? ? ? 5 4? ? 已知 ? 是第一象限的角,且 cos ? ? ,求 的值。 13 cos ? 2? ? 4? ?

18、(本题满分 12 分)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方方向相距 20 海里

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的 B 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船 的南偏西 30? ,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿 直线前往 B 处救援(角度精确到 1? )?

19、(本题满分 14)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 在直三棱柱 ABC ? ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小;
ABC S 所成角为 45? ,求三棱锥 A1 ? ABC 的体积。 (2)若 AC 1 与平面

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20、(本题满分 14)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? Sn ? 4096 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 ?Tn ? ,从第几项起 Tn ? ?509 ?

21、本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 6 分。 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为

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? 1? F (? 3,0) ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A ?1, ? . ? 2?

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。

22(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分。 已知函数 y ? x ?
a 有如下性质:如果常数 a ? 0 ,那么该函数在 0, a ? ? 上是 x

?

减函数,在 ? ? a , ?? 上是增函数。 (1)如果函数 y ? x ?
b 的值。

?

2b ( x ? 0) 在 ? 0, 4? 上是减函数,在 ?4, ??? 上是增函数,求 x

c (2)设常数 c ??1, 4? ,求函数 f ( x) ? x ? (1 ? x ? 2) 的最大值和最小值; x

(3)当 n 是正整数时,研究函数 g ( x) ? x n ?

c (c ? 0) 的单调性,并说明理由。 xn

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参考答案
一、(第 1 题至笫 12 题) 1. 4 2. 2 3.

1 2
14 33

4.

1 6

5. 3

6.π

7.

x2 y2 ? ?1 9 16

8. 5 9. 0 10.

11.-1<b<1 12. 4

二、(第 13 题至笫 16 题) 13. C 14. A 15. A 16. D

三、(第 17 题至笫 22 题)

2 2 (cos? ? sin ? ) (cos? ? sin ? ) 2 1 4 2 2 17.解: = ? ? ? 2 2 cos( 2? ? 4? ) cos 2? 2 cos? ? sin ? cos ? ? sin ?

sin(? ?

?

)

由已知可得 sin ? ?

12 , 13

∴原式=

2 1 13 2 ? ?? . 5 12 2 14 ? 13 13

18.解:连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2× 20× 10COS120°=700. 于是,BC=10 7 . ∵

sin ACB sin 120? ? , 20 10 7

∴sin∠ACB=

3 , 7

∵∠ACB<90°

∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 19.解:(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角)

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∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°. (2) ∵AA1⊥平面 ABC, ∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角, ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1,AC= 2 , ∴AA1= 2 . ∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V= S△ABC× AA1=

1 3

6 . 2

20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 当 n≥2 时, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴

an 1 1 n 1 = an=2048( ) - . 2 a n ?1 2
(2) ∵log2an=log2[2048(

1 n-1 ) ]=12-n, 2

∴Tn=

1 (-n2+23n). 2

由 Tn<-509,解待 n>

23 ? 4601 ,而 n 是正整数,于是,n≥46. 2

∴从第 46 项起 Tn<-509. 21.解(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

x2 ? y2 ? 1 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为 4
(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), 由 x=

x0 ? 1 2



x0=2x-1

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由,点 P 在椭圆上,得

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2
1 2 1 4

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? 4( y ? ) 2 ? 1 . (3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 解得 B(

x2 ? y2 ? 1, 4
),

2 4k ? 1
2

,

2k 4k ? 1
2

),C(-

2 4k ? 1
2

,-

2k 4k 2 ? 1

则 BC ? 4

1? k

2

k?
,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2

,

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S△ABC= 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立. 2 2 4k ? 1

∴S△ABC 的最大值是 2 . 22.解(1) 由已知得 2b =4, ∴b=4. (2) ∵c∈[1,4], ∴ c ∈[1,2], 于是,当 x= c 时, 函数 f(x)=x+ f(1)-f(2)=

c 取得最小值 2 c . x

c?2 , 2
c ; 2

当 1≤c≤2 时, 函数 f(x)的最大值是 f(2)=2+

当 2≤c≤4 时, 函数 f(x)的最大值是 f(1)=1+c.

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n (3)设 0<x1<x2,g(x2)-g(x1)= x2 ?

c c c n ? x1n ? n ? ( x2 ? x1n )(1 ? n n ) . n x2 x1 x1 x2

当 2n c <x1<x2 时, g(x2)>g(x1), 函数 g(x)在[ 2n c ,+∞)上是增函数; 当 0<x1<x2< 2n c 时,g(x2)>g(x1), 函数 g(x)在(0, 当 n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数 g(x) 在(-∞,- 2n a ]上是增函数, 在[- 2n a ,0)上是减函数. 当 n 是偶数时, g(x)是偶函数, 函数 g(x)在(-∞,- 2n a )上是减函数, 在[- 2n a ,0]上是增函数.
2n

c ]上是减函数.


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