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第三章 第三节 三角函数的图象和性质


三角函数的图象和性质
1. 能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函 数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调 性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切
? π π? 函数在区间?-2,2 ?内的单调性. ? ?

[理 要 点] 一、周期函数 1.周期函数的定义

对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数. T 叫做这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ,
那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数
图 象

y=sinx

y=cosx

y=tanx

定义域

R

R

π {x|x≠ +kπ, 2 k∈Z}

函数 值域

y=sinx {y|-1≤y≤1}

y=cosx

y=tanx

{y|-1≤y≤1}

R

π (- +kπ, π π 2 [- +2kπ, +2kπ] [(2k-1)π,2kπ] 2 2 单调 上递增,k∈Z; π+kπ) 2 上递增,k∈Z;



[2kπ,(2k+1)π] π 3π [ +2kπ, +2kπ] 2 2 上递减,k∈Z 上递减,k∈Z

上递增,
k∈Z

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

π x= +2kπ 时 ,ymax x= 2kπ 时 ,ymax 2 =1(k∈Z); =1(k∈Z);x= 最值 π+2kπ 时ymin= x= -π+2kπ 时 , 2 ymin=-1(k∈Z) -1(k∈Z)
奇偶性 奇 偶

无最值



函数 对称 对 中心 对称 轴l: 周期性

y=sinx (kπ,0), k∈Z
π x=kπ+ , 2 k∈Z

y=cosx
π (kπ+ ,0), 2 k∈Z

y=tanx

kπ ( ,0), 2 k∈Z


性 x=kπ, k∈Z 2π π 无



[究 疑 点] 1.是否每一个周期函数都有最小正周期? 提示:不一定.如常数函数f(x)=a,每一个非零数 都是它的周期. 2.正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函 数图象的关键点有什么关系? 提示:y=sinx与y=cosx的对称轴方程中的x都是它们 取得最大值或最小值时相应的x,对称中心的横坐标都 是它们的零点.

[题组自测] 1 1.函数 y= 的定义域为________. tanx- 3 π ? π ? ?x≠kπ+2 ?x≠kπ+ ,k∈Z 2 解析:由已知得? ,∴? ?tanx≠ 3 ?x≠kπ+π ? 3 ?

,k∈Z,

π π ∴所求函数定义域为{x|x≠kπ+ 且 x≠kπ+ ,k∈Z}. 2 3

π π 答案:{x|x≠kπ+ 且 x≠kπ+ ,k∈Z} 2 3

2.函数y=lg(sinx-cosx)的定义域为____________.
解析:由已知得 sinx-cosx>0,即 sinx>cosx. π 5 在[0,2π]内满足 sinx>cosx 的 x 的集合为( , π). 4 4 又正弦、余弦函数的周期为 2π, π 5 ∴所求定义域为{x| +2kπ<x< π+2kπ,k∈Z}. 4 4
π 5 答案:{x| +2kπ<x< π+2kπ,k∈Z} 4 4

3.求函数 y= sinx+ 16-x2的定义域.
?sinx≥0 ? 解:由已知得? ?16-x2≥0 ? ?2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z ? ,∴? ?-4≤x≤4 ?

.

如图:

∴所求定义域为[-4,-π]∪[0,π].

4.求下列函数的定义域: (1)y=lg(2sinx-1)+ 1-2cosx; (2)y=
2 ? log 1 x + tanx.
2

解:(1)要使原函数有意义,必须有: 1 ? ?2sinx-1>0, ?sinx>2, ? ? 即? ?1-2cosx≥0, ? ?cosx≤1. 2 ? 由图知,原函数的定义域为: π 5π [2kπ+ ,2kπ+ )(k∈Z); 3 6

(2)要使函数有意义
? 2 ? log 1 x ≥ 0, ? 2 ? x >0, ? 则? tan x ≥ 0, ? π ? ? x ? kπ ? 2 ,k ? Z. ?

?0<x≤4, ? 得? π ?kπ≤x<kπ+2 ?k∈Z?. ? π ∴函数定义域是{x|0<x< 或 π≤x≤4}. 2

[归纳领悟] 求三角函数的定义域时,转化为三角不等式(组)求解, 常常借助于三角函数的图象和周期解决,求交集时可以利

用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数
倍即可. 1.用三角函数线解sinx>a(cosx>a)的方法 (1)找出使sinx=a(cosx=a)的两个x值的终边所在位置. (2)根据变化趋势,确定不等式的解集.

2.用三角函数的图象解sinx>a(cosx>a,tanx>a)的方法.

(1)作直线y=a,在三角函数的图象上找出一个周期内(不一
定是[0,2π])在直线y=a上方的图象.

(2)确定sinx=a(cosx=a,tanx=a)的x值,写出解集.

[题组自测] π π 1.函数 y=cos(x+ ),x∈(0, ]的值域是__________. 3 3

π 解析:∵0<x≤ , 3 π π 2 ∴ <x+ ≤ π, 3 3 3 又 y=cosx 在[0,π]上是减函数, 2 π π ∴cos π≤cos(x+ )<cos , 3 3 3 1 1 即- ≤y< . 2 2

1 1 答案:[- , ) 2 2

3 2.设函数 f(x)=A+Bsinx,若 B<0 时,f(x)的最大值是 , 2 1 最小值是- ,则 A=________,B=________. 2
3 ? ?A-B=2, 解析:根据题意,由? ?A+B=-1. 2 ? 1 ? ?A= , 2 可得? ?B=-1. ?

1 答案: 2

-1

3.(2010· 北京高考)已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. π (1)求 f( )的值; 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值.

π 2π π 2π 解:(1)f( )=2cos +sin -4cos 3 3 3 3 3 9 =-1+ -2=- . 4 4 (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx 22 7 =3cos x-4cosx-1=3(cosx- ) - ,x∈R,因为 3 3
2

cosx∈[-1,1],所以,当 cosx=-1 时,f(x)取最大 值 6; 2 7 当 cosx= 时,f(x)取最小值- . 3 3

求下列函数的值域: sin2xsinx (1)y= ; 1-cosx (2)y=sinx+cosx+sinxcosx.

2 2sinxcosxsinx 2cosx?1-cos x? 解:(1)y= = 1-cosx 1-cosx

12 1 =2cos x+2cosx=2(cosx+ ) - . 2 2
2

于是当且仅当 cosx=1 时,ymax=4,但 cosx≠1, 1 1 ∴y<4,且 ymin=- ,当且仅当 cosx=- 时取得. 2 2 1 故函数的值域为[- ,4). 2

(2)令 t=sinx+cosx,则有 t2=1+2sinxcosx, t2-1 即 sinxcosx= . 2 t2-1 1 有 y=f(t)=t+ = (t+1)2-1. 2 2 π 又 t=sinx+cosx= 2sin(x+ ),∴- 2≤t≤ 2. 4 1 故 y=f(t)= (t+1)2-1(- 2≤t≤ 2), 2 1 从而知 f(-1)≤y≤f( 2),即-1≤y≤ 2+ , 2 1 即函数的值域为[-1, 2+ ]. 2

[归纳领悟]

求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方
法: (1)利用sinx、cosx的值域; (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分 析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出y=Asin(ωx+

φ)+k的值域;
(3)换元法:把sinx、cosx看作一个整体,可化为二次函数. 注意:换元后注意新元的范围.

[题组自测] π 1.设函数 f(x)=sin(2x- ),x∈R,则 f(x)是 2 A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 ( )

答案:B

2.已知函数

? π? f(x)=sin?2ωx-3 ?(ω>0)的最小正周期为 ? ?

π,则函 ( )

数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 π A.x= 12 5π C.x= 12 π B.x= 6 π D.x= 3

? π? 2π 解析:由 T=π= 得 ω=1,所以 f(x)=sin?2x-3 ?,则 f(x) 2ω ? ?

π π 5π kπ 5 的对称轴为 2x- = +kπ,解得 x= + ,所以 x= π 3 2 12 2 12 为 f(x)的一条对称轴.

答案: C

3.y=2cosx,x∈[0,2π]与y=2围成封闭图形的面积为

______.
解析:如图: 法一:由 y=2cosx 的图象成中 心对称可知: Ⅰ部分面积相等,Ⅱ部分面积相等. ∴所求面积即阴影部分面积 S=S 矩形 OECD=4π. 1 法二:由对称性可知:S= S 矩形 ABCD=4π. 2

答案:4π

4.设函数 f(x)=cosωx( 3sinωx+cosωx),其中 0<ω<2. π π (1)若 f(x)的周期为 π,求当- ≤x≤ 时,f(x)的值域; 6 3 π (2)若函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x= ,求 ω 的值. 3

3 1 1 解:f(x)= sin2ωx+ cos2ωx+ 2 2 2 π 1 =sin(2ωx+ )+ . 6 2 (1)因为 T=π,所以 ω=1. π π π π 5π 当- ≤x≤ 时,2x+ ∈[- , ], 6 3 6 6 6 3 所以 f(x)的值域为[0, ]. 2

π (2)因为 f(x)的图象的一条对称轴为 x= , 3 π π π 所以 2ω( )+ =kπ+ (k∈Z), 3 6 2 3 1 ω= k+ (k∈Z), 2 2 1 又 0<ω<2,所以 - <k<1,又 k∈Z, 3 1 所以 k=0,ω= . 2

[归纳领悟] 1.求三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周 2π π 期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| (3)利用图象.

2.三角函数的对称性: 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对 称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟 记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想 的应用.

[题组自测] π 1.下列函数中,在[ ,π]上是增函数的是 2 A.y=sinx C.y=sin2x B.y=cosx D.y=cos2x ( )

答案:D

π 2.y=2sin(x- )的减区间为________________________. 4 π π 3 解析:(1)由 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ π,k∈Z, 2 4 2
3 7 得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ π,k∈Z. 4 4 π ∴函数 y=2sin(x- )的单调减区间为 4 3 7 [2kπ+ π,2kπ+ π](k∈Z). 4 4

3 7 答案:[2kπ+ π,2kπ+ π](k∈Z) 4 4

π π 3.比较大小,sin(- )____sin(- ). 18 10 π π 解析:因为 y=sinx 在[- ,0]上为增函数且- > 2 18

π π π - ,故 sin(- )>sin(- ). 10 18 10

答案:>

π 4.已知函数 f(x)=4cosx· sin(x+ )+a 的最大值为 2. 6 (1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

π 解:(1)f(x)=4cosx· sin(x+ )+a 6 3 1 =4cosx· sinx+ cosx)+a ( 2 2 =2 3sinxcosx+2cos2x-1+1+a = 3sin2x+cos2x+1+a π =2sin(2x+ )+1+a. 6 π ∴当 sin(2x+ )=1 时,f(x)取得最大值 2+1+a 6 =3+a, 又 f(x)的最大值为 2,∴3+a=2,即 a=-1. 2π f(x)的最小正周期为 T= =π. 2

π (2)由(1)得 f(x)=2sin(2x+ ), 6 π π π ∴- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 2π π ∴- +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z, 3 3 π π ∴- +kπ≤x≤ +kπ.k∈Z, 3 6 π π ∴f(x)的单调增区间为[- +kπ, +kπ],k∈Z. 3 6

π 已知函数 f(x)=sin( -2x),求(1)求函数 f(x)在[-π,0]上 3 π 的单调递减区间;(2)求 f(x)在[0, ]上的最值. 2

π π 解:由 f(x)=sin( -2x)可化为 f(x)=-sin(2x- ). 3 3 π π π (1)令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 所以 x∈R 时,f(x)=sin( -2x)的减区间为 3 π 5π [kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 π 从而 x∈[-π,0]时,f(x)=sin( -2x)的减区间为 3 7π π [-π,- ],[- ,0]. 12 12

π (2)∵0≤x≤ 2 2π π π ∴- ≤ -2x≤ 3 3 3 π π ∴当 -2x=- , 3 2 5π 即 x= 时,f(x)min=-1. 12 π π 当 -2x= , 3 3 3 即 x=0 时,f(x)max= . 2

[归纳领悟] 1.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基 π 本思路是把“ωx+φ”看作一个整体,比如:由 2kπ- 2 π ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 x 的范围所得区间即为增区 2 π 3 间, 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ π(k∈Z)解出 x 的范围,所 由 2 2 得区间即为减区间.

2.若函数y=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公式 将函数变为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ) 的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间. 对于函数y=Acos(ωx+φ)的单调性的讨论与以上类似.

一、把脉考情
从近两年的高考试题来看,三角函数的周期性、单调性、 最值等是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答 题,难度中低档;常与三角恒等变换交汇命题,在考查三角 函数性质的同时,又考查三角恒等变换的方法与技巧,注重 考查函数方程、转化化归等思想方法. 预测2012年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最

值、奇偶性为主要考点,重点考查运算与恒等变换能力.

二、考题诊断 π π 1.(2010· 重庆高考)下列函数中,周期为 π,且在[ , ]上为 4 2 减函数的是 π A.y=sin(2x+ ) 2 π C.y=sin(x+ ) 2 π B.y=cos(2x+ ) 2 π D.y=cos(x+ ) 2 ( )

π 解析:对于选项 A,注意到 y=sin(2x+ )=cos2x 的周期 2 π π 为 π,且在[ , ]上是减函数. 4 2

答案:A

π 2.(2010· 浙江高考)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最 4 小正周期是________.
π 解析:f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 4 1-cos2x 2 2 = sin2x- cos2x-2 2× 2 2 2 2 2 = sin2x+ cos2x- 2 2 2 π 2π =sin(2x+ )- 2,故该函数的最小正周期为 =π. 4 2

答案:π

3.(2010· 湖南高考)已知函数 f(x)= 3sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值; (2)求函数 f(x)的零点的集合.

解:(1)因为 f(x)= 3sin2x-(1-cos2x) π =2sin(2x+ )-1, 6 π π 所以当 2x+ =2kπ+ , 6 2 π 即 x=kπ+ (k∈Z)时,函数 f(x)取得最大值 1. 6

π 1 (2)法一:由(1)及 f(x)=0 得 sin(2x+ )= , 6 2 π π π 5π 所以 2x+ =2kπ+ 或 2x+ =2kπ+ , 6 6 6 6 π 即 x=kπ 或 x=kπ+ (k∈Z). 3 故函数 f(x)的零点的集合为 π {x|x=kπ 或 x=kπ+ ,k∈Z}. 3

法二:由 f(x)=0 得 2 3sinxcosx=2sin2x, 于是 sinx=0 或 3cosx=sinx,即 tanx= 3. 由 sinx=0 可知 x=kπ(k∈Z); π 由 tanx= 3可知 x=kπ+ (k∈Z). 3 故函数 f(x)的零点的集合为 π {x|x=kπ 或 x=kπ+ ,k∈Z}. 3

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