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3.1.2 不等关系与不等式2

时间:2014-09-24


3.1.2
一、内容及其解析

不等关系与不等式(二)
主备教师:段联青

(一)内容:不等关系与不等式 (二) 解析: 本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展, 也是实数理论的进一步发展. 为了利用不等式更好地研究不等关系, 也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明 奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论,并能用实数的 基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明, 能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明, 进而更深一层次地从理性角度建立不等 观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的 复习,教师应作好点拨,利用数轴数形结合,做好归纳总结.对不等式的基本性质,教师应 指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析,并鼓励学生从理性角度去 分析量与量的比较的过程,进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节 课的学习过程中, 课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题, 用意在于让学生 注意对数学知识和方法的应用, 同时也能激发学生的学习兴趣, 并进一步让学生体会研究不 等式基本性质的必要性,这也是学生学习本学时的情感基础. 教学重点 1.利用数轴,数形结合回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个 代数式的大小; 2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质; 3.能用不等 式的基本性质来证明一些简单的不等式. 教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式 的大小时对差的合理变形; 2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.

二、目标及其解析
(一)目标: 1.利用数轴,数形结合回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式 的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质; 2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质; 3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式. (二)解析: 1.采用探究法,按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式 教学; 2.教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用; 3.设计较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极思考,从而培养他们的数学学习兴 趣.

三、问题诊断分析
1.通过具体问题的解决,让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等 量关系并需要从理性的角度去思考,鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象,使学生感 受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯; 2.学习过程中,通过对问题的探究思考,广泛参与,培养学生严谨的思维习惯,主动、 积极的学习品质,从而提高学习质量; 3.通过对富有挑战性问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同 时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美,从而激发学 生的学习兴趣.

四、教学过程
问题与题例

复习引入: 我们已学习过等式、不等式,同学们还记得等式的性质吗? 不等式的基本性质有三条: 性质 1:不等式的两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向_________.(让同学回 答) 性质 2:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向________.(让同学回 答) 性质 3:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向________.(让同学回 问题 1:若甲比乙高,则乙比甲矮,反之亦然.从数学的观点分析,这里反映了一个不等式性 质,你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗? a>b b<a(对称性) 问题 2:若甲比乙高,乙比丙高,那么甲的比丙高,这里反映出的不等式性质如何用数学符 号语言表述? a>b,b>c a>c; a<b,b<c a<c(传递性) 问题 3:若甲班人数比乙班高,如果两班增加了同样的人数,则甲班人数仍然比乙班高,这 里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述? a>b a+c>b+c(可加性)

性质 1:a<b a+c<b+c(或 a-c<b-c) ;a>b a+c>b+c(或 a-c>b-c).

a b a b ). c c c c a b a b 性质 3:a<b 且 c<0 ? ac>bc(或 > );a>b 且 c<0 ac<bc(或 < ). c c c c
性质 2:a<b 且 c>0 ? ac<bc(或 < );a>b 且 c>0 ac>bc(或 > 问题 3 已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小. (问题是数学研究的核心,此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识) (让学生板演,老师根据学生的完成情况作点评) 解:(x2+1)2-x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2, 由 x≠0,得 x2>0,从而(x2+1)2>x4+x2+1. (学生对 x≠0,得 x2>0 在说理过程中往往会忽略) 【例 1】 比较下列各组数的大小(a≠b). (1)

a?b 2 与 (a>0,b>0); 1 1 2 ? a b

(2)a4-b4 与 4a3(a-b). 师 比较两个实数的大小,常根据实数的运算性质与大小顺序的关系,归结为判断它们的差 的符号来确定.

a?b 2 a ? b 2ab (a ? b) 2 ? 4ab (a ? b) 2 ? ? ? ? ? 解: (1) , 1 1 2 2 a?b 2(a ? b) 2(a ? b) ? a b
∵a>0,b>0 且 a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0. ∴

( a ? b) 2 a?b 2 >0,即 > . 1 1 2(a ? b) 2 ? a b

(2)a4-b4-4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2) =-(a-b)2[2a2+(a+b)2], ∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当 a=b=0 时取等号), 又 a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0. ∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0. ∴a4-b4<4a3(a-b). 设计意图 证明不等式时,应注意有理有据、严谨细致,还应条理清晰.比较大小常用作差 法, 一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方, 前者将“差” 变为“积”,后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”,也可两者并用. (此时,老师用投影仪给出下列问题) 变式练习: 求证: (1)a>b 且 c>0 ? ac>bc; (2)a>b a+c>b+c. 例 2 已知 a>b>0,c<0,求证: > . 师生活动 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式 .请同学思 考此该如何证明? 可由条件到结论 .∵a > b > 0 ,两边同乘以正数

c a

c b

1 1 1 1 1 ,得 > ,即 < b. 又∵c < 0 , ab b a a b

c c a b 五、目标检测
∴ > . 《优化设计》 ------《自我测评》

六、课堂小结
常用的不等式的基本性质及证明: (1)a>b,b>c ? a>c; a>b,b>c ? a-b>0,b-c>0 ? (a-b)+(b-c)>0 ? a-c>0 a>c. (2)a>b a+c>b+c; a>b ? a-b>0 ? (a-b)+(c-c)>0 ? (a+c)-(b+c)>0 ? a+c>b+c. (3)a>b,c>0 ? ac>bc; a>b,c>0 ? a-b>0,c>0 ? (a-b)c>0 ? ac-bc>0 ? ac>bc. (4)a>b,c<0 ? ac<bc.

a>b,c<0 ? a-b>0,c<0 ? (a-b)c<0 ? ac-bc<0 ? ac<bc.

七、配餐练习
《优化作业》


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