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北京市丰台区2014届高三上学期期末练习数学(理)试题


丰台区 2013-2014 学年度第一学期期末练习

高 三 数 学(理科)

2014.1

第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的 4 个选项中,选出符合 题目要求的一项。 1. 在复平面内,复数 (A)第一象限 2. 函数 y ? x ? (A)1<

br />
i ?1 对应的点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

1 ? 1 ( x ? 0) 的最小值为 x (B)2

(C)3

(D)4

3. 已知命题 p: ? x2 ? x1 , 2 x2 > 2 x1 ,则 ?p 是 (A) ? x2 ? x1 , 2 x2 ≤ 2 x1 (C) ? x2 ? x1 , 2 x2 < 2 x1 (B) ? x2 ? x1 , 2 x2 ≤ 2 x1 (D) ? x2 ? x1 , 2 x2 < 2 x1

x2 y 2 4. 过双曲线 = 1 的右焦点,且平行其渐近线的直线方程是 9 16

3 (A) y ? ? ( x ? 5) 4 3 (C) y ? ? ( x ? 5) 4

4 (B) y ? ? ( x ? 5) 3 3 (D) y ? ? ( x ? 5) 4

5.如图,已知曲边梯形 ABCD 的曲边 DC 所在的曲线方程 为y?

1 ( x ? 0) ,e 是自然对数的底,则曲边梯形的 x

面积是 (A)1 (B)e (C)

1 e

(D)

1 2

uuu r uu u r 6. 已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD=2,∠DAB=60o,则且 AC ? AB 等于

(A)1

(B) 3

(C)2

(D) 2 3

7.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示 ,那么 f ( x ) 的表达式 为 (A) f ( x) ? 2sin(2 x ?
5? ) 6

(B) f ( x) ? 2sin(2 x ?

5? ) 6

(C) f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6

?

(D) f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6

?

β

8. 如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 ?
θ

( 0 ? ? ? 90 ) 的平面所截, 截面是一个椭圆.当 ? 为 30 时,
0 0
o

α

这个椭圆的离心率为 (A)

1 2

(B)

3 2

(C)

3 3
共 110 分)

(D)

2 3

第二部分 (非选择题 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

9. 已知等差数列 {a n } 满足 a3 ? a4 ? 12 , 3a2 ? a5 ,那么 an =___________. 10. 甲、乙两位同学近期参加了某学科的四次测试,右图为依
据他们的四次测试成绩绘制的折线图.由此可以判断:在甲、乙 两位同学中,成绩较稳定的是_______ 同学(填“甲” 或“乙”).

1 11.二项式 (2 x + )6 展开式中的常数项为 x

_________. 12.已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面,其 正视图如图所示,则这个三棱柱的体积为____. 13.小明准备用积攒的 300 元零用钱买一些科普书和文具, 作为礼品送给山区的学生.已知科普书每本 6 元,文具每套 10 元,并且买文具的钱不少于买科普书的钱.那么最多可以买的科普书与文具的总数 是____. 14.若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) , 其中 a ? b ? c 的, 对于下列结论: ① f (b) ? 0 ; ②若 b ?

a?c ,则 ?x ? R, f ( x) ? f (b) ; 2

③若 b ?

a?c ,则 f (a) ? f (c) ;④ f (a) ? f (c) 成立充要条件为 b ? 0 . 2

其中正确的是______ ___.(请填写序号) 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,已知 a 2 ? b2 ? bc , sin C ? 2sin B . (Ⅰ)若 b=2,求 c; (Ⅱ)求∠A 的大小. 16.(本小题共 14 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上不同于 A、B 的 一点,∠BAC=45°,点 V 是 圆 O 所在平面外一点,且 VA=VB= VC,E 是 AC 的中点. (Ⅰ)求证:OE∥平面 VBC; (Ⅱ)求证:VO ? 面 ABC; (Ⅲ)已知 ? 是平面 VBC 与平面 VOE 所形成的二面角的 平面角,且 0° ? ? ? 90°,若 OA=OV=1,求 cos? 的值.
[来源:学科网 ZXXK]

17. (本小题共 13 分) 某市采取“限价房”摇号制度,中签家庭可以在指定小区 提供 的房源中随机抽取一个房号.已知甲、乙、丙三个友 好家庭均已中签,并决定共同前往某小区抽取房号.目前该小区提供的房源数量如下 表所示: 单元号 一单元 二单元 三单元 房源数量(套) 3 3 4 (Ⅰ)求甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率; (Ⅱ)求甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率. 18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a )ln x , f ( x) 的导函数为 f '( x) . (Ⅰ)当 a =0 时,求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)设 g ( x ) ?
1 2 x +ax-f '( x )(a ? ?1) ,求函数 g ( x) 的单调区间. 2

19.(本小题共 13 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F(1,0),点 O 为坐标原点,A,B 是曲线 C 上异于 O 的两点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

1 (Ⅱ)若直线 OA,OB 的斜率之积为 ? ,求证:直线 AB 过定点. 2

20. (本小题共 13 分) 已知数列 ?an ? 各项均不相等,将数列从小到大重新排序后相 应的项数构成的新数列 称为数列 ?an ? 的排序数列,例如:数列 a1 , a2 , a3 满足 a2 ? a3 ? a1 ,则排序数列为 2,3, 1. (Ⅰ)写出数列 2,4,3,1 的排序数列; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? 的排序数列为等差数列的充要条件是数列 ?an ? 为单调数列; (Ⅲ)若数列 ?an ? 的排序数列仍为 ?an ? ,那么是否一定存在一项 ak ? k ,证明你的结 论.

2013-2014 学年度丰台区高三第一学期期末 数学(理科)试题答案
一、 选择题 ACBB ACDA 二、 填空题

9.

2n-1

10.乙

11.

160

12.

13. 40

14.①②③分

注:14 题给出一个正确得 1 分, 给出两个正确得 3 分, 给出三个正确得 5 分.若给出④均不得分. 三、 解答题 15.解:(Ⅰ)在△ABC 中

c b sin C b ,∴ ? ? .---- ----------------------2 分 sin C sin B sin B c sin C ∵ sin C ? 2sin B ,∴ ? 2 ,---------------------- -------------2 分 sin B ∴ c ? 2b ,--------------------------------------------------------5 分 ∴c=4 .-------------------------------------------- -------6 分

b2 ? c 2 ? a 2 (Ⅱ)在△ABC 中, cos A ? ,--------------------------------8 分 2bc


a 2 ? b2 ? bc ,∴ cos A ?

c 2 ? bc .-------------------------------10 分 2bc



c ? 2b ,∴ cos A ?
o

4b2 ? 2b2 1 ? .-------------------------------12 分 4b2 2

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

∴ A ? 60 .-------------------------------------------------------13 分 16. (Ⅰ)证明:

? O,E 分别是 AB 和 AC 的中点, ?OE∥BC .--------------2 分 又? OE ? 面 VBC, BC ? 面 VBC.----------------------------3 分 ?OE / / 面 VBC. -----------------------------------------4 分 (Ⅱ)证明: ? VA=VB,∵ △ABC 为等腰三角形, 又? O 为 AB 中点,∴ VO⊥AB;--------------------------------------5 分 在△VOA 和△VOC 中,OA =OC, VO=VO,VA=VC, △VOA≌△VOC;-----------6 分
∴ ∠V0A=∠VOC=90 . ∴ VO⊥OC;--------------------------------------7 分 ? AB∩OC=O, AB ? 平面 ABC, OC ? 平面 ABC, ---------------------8 分 ∴ VO⊥平面 ABC. ---------------------------------------------------9 分
o

(Ⅲ)解:在圆 O 内,OA=OC,∠CAO=45o,所以 CO⊥AO. 由(Ⅱ)VO⊥平面 ABC,如图, 建立空间直角坐标系.-------------------------10 分 ? OA=OB=OC=OV=1, 1 1 ∴ C(1,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E( , ,0). 2 2 -------------------------------------------11 分 ??? ? ??? ? CB =(-1,-1,0), CV =(-1,0,1) ??? ? ?? ?? ? ?CB ? m ? 0, 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 VBC 的法向量,则 ? ??? , ? ?? CV ? m ? 0. ? ?

z

V

B C x

O E A y

?? ? x ? y ? 0, 所以 ? 令 x ? 1 ,解得 m ? (1, ?1,1) .----------------------12 分 ? x ? z ? 0.

? 同理,求得平面 VOE 的法向量为 n ? (1, ?1,0) .--------------------13 分

? ? ? ? u?v cos ? u, v ?? ? ? |u |?| v |

=

1?1 6 , ? 3 3? 2

所以 cos ? ?

6 .----------------------------------------------14 分 3

17.解: (Ⅰ)设甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元为事件 A.------------------ ---1 分 则 P ( A) ?
3 3 3 C3 ? C3 ? C4 1 ? 3 C10 20

答:甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率为

1 .------------- ------6 分 20

(没有答,不扣分) (Ⅱ)设甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元为事件 B.----------7 分 则 P( B) ?
1 1 1 2 2C32C3 ? 2C32C4 ? 2C3 C4 13 ? 3 C10 20 1 1 1 C3C4 13 1 C3 ? ? 3 20 C10 20

或 P( B) ? 1 ?

答:甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率为

13 .--------13 分 20

(没有答,不扣分) 18.解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 (0, ??) . 当 a =0 时, f ( x) ? x ln x , f '( x) ? ln x ? 1.-----------------------1 分
1 令 f '( x) ? 0 得 x ? .-------------------------------------- ----2 分 e

.

x
f '( x) f ( x)

? 1? ? 0, ? ? e?

1 e

?1 ? ? , ?? ? ?e ?

递减

0 极小值

+ 递增 ------------5 分

1 1 ∴ f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? .--------------------------------6 分 e e (Ⅱ) x?a ∵ f '( x) ? ln x ? x 1 2 x?a ∴ g ( x ) ? x ? ax ? (ln x ? ) .-----------------------------7 分 2 x 1 a g '( x ) ? x ? a ? ( ? 2 ) ,--------------------------------------8 分 x x 1 ? ( x ? a )(1 ? 2 ) , x ( x ? 1) ? ( x ? a )( x ? 1) .------------------------------------9 分 x2

(1)当 ?1 ? a ? 0 时,在 (0, ?a) , (1, ??) 内 g '( x) ? 0 ;在 (?a,1) 内 g '( x) ? 0 . ∴

? ?a,1? 为递减区间, ? 0, ?a ? , ?1, ?? ? 递增区间.----------------11 分

(2)当 a ? 0 时,在 (0,1) 内, g '( x) ? 0 ;在 ?1, ?? ? 内, g '( x) ? 0 . ∴ ? 0,1? 递减区间, ?1, ?? ? 递增区间.---------------------------13 分 综上所述,当 ?1 ? a ? 0 时, g ( x ) 单调递增 区间为 ? 0, ?a ? , ?1, ?? ? ,递减区 间为 ? ?a,1? ;当 a ? 0 时, g ( x ) 单调递增区间为 ?1, ?? ? ,减区间
[来源:学科网]

为 ? 0,1? .-----------------------------------------------------14 分

19. 解:(Ⅰ)∵焦点为 F(1,0),∴ p ? 2 ,∴抛物线方程为 y 2 ? 4 x .-----3 分 (Ⅱ)方法一:∵直线 OA、OB 的斜率之积为 ?
1 2

∴设直线 OA 的方程为 y ? kx ;直线 OB 的方程为 y ? ?

1 x .------5 分 2k

? y ? kx 4 4 联立 ? 2 得 A( 2 , ) ,同理 B(16k 2 , ?8k ) .-----------------9 分 k k ? y ? 4x

由抛物线关于 x 轴对称可知定点在 x 轴上,那么当 A,B 横坐标相同时的横坐 标即为定点的横坐标.-------------------------------11 分 1 4 4 令 2 ? 16k 2 ,解得 k 2 ? ,则 2 ? 16k 2 =8,点 M(8,0)为直线 AB 过的定点. 2 k k ----------------------------------------------------------12 分 下面证明直线 AB 过 M 点 ???? uuu r 4 4 ∵ MA ? ( 2 ? 8, ) , MB ? (16k 2 ? 8, ?8k ) k k uuu r uuu r 4 4 由 ( 2 ? 8) ? (?8k ) ? (16k 2 ? 8) ? 可知向量 MA 与 MB 共线. k k ∴直线 AB 过定点 M.----------------------------------------13 分 方法二:设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? . (1)若直线 AB 斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b .---------------4 分
? y ? kx ? b 即 k 2 x 2 ? (2kb ? 4) x ? b2 ? 0 .----------------------7 分 ? 2 ? y ? 4x

b2 4b ∴ x1 x2 ? 2 , y1 y2 ? .----------------------------------9 分 k k
y y 1 1 ∵直线 OA、OB 的斜率之积为 ? ,即 1 ? 2 ? ? , x1 x2 2 2

[来源: 学.科.网]

4k 1 ? ? ,即 b ? ?8k ,带入直线方程,得直线 AB 方程为 y ? kx ? 8k . b 2 ∴即直线 AB 过定点(8,0).-------------------------------11 分



(2)若直线 AB 斜率不存在,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由
y1 y2 1 ? ? ? 可得 x1 ? x2 ? 8 , x1 x2 2

∴直线 AB 方程为 x ? 8 ,过定点(8,0).-------------------12 分

综上,直线 AB 过定点.---------------------------------13 分 20.解:(Ⅰ)排序数列为 4,1,3,2.--------------------------------3 分 (Ⅱ)证明:充分性: 当数列 ?an ? 单调增时,∵ a1 ? a2 ? ? ? an , ∴排序数列为 1,2,3,?,n. ∴排序数列为等差数列.----------------------------------4 分 当数列 ?an ? 单调减时,∵ an ? an ?1 ? ? ? a1 , ∴排序数列为 n,n-1,n-2,?,1 . ∴排序数列为等差数列. 综上,数列 ?an ? 为单调数列时,排序数列为等差数列. ---------5 分 必要性: ∵排序数列为等差数列 ∴排序数列为 1,2,3,?,n 或 n,n-1,n-2,?,1.--------------7 分 ∴ a1 ? a2 ? ? ? an 或 an ? an ?1 ? ? ? a1 ∴数列 ?an ? 为单调数列.---------- ---------------------------8 分 (Ⅲ)∵数列 ?an ? 的排序数列仍为 ?an ? ∴数列 ?an ? 是 1,2,3,?,n 的某一个排序,----------------9 分 假设不存在一项 ak ? k ,即 ai ? j , (i ? j, i ? 1, 2,3,……, j ? 1, 2,3,……) 则在各项从小到大排列后 ai 排在第 j 位--------------------11 分 ∴排序数列 ?an ? 中 a j ? i ,∴n 为偶数 12 分. ∴当 n 为奇数时,一定存在一项 ak ? k , 当 n 为偶数时,不一定存在一项 ak ? k .-------------------13 分
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]


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