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2014《步步高》高考数学第一轮复习13 算法与程序框图


§ 13.1
2014 高考会这样考

算法与程序框图

1.考查程序框图的应用,重点考查程序框图的功能及程序框图的补充;

2.和函数、数列、统计等知识相综合,考查算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力. 复习备考要这样做 1.准确理解算法的基本概念、理解程序框图的含义和作用是解题的关

键,所以复习时要立足双基,抓好基础,对算法语句的复习不需过难,仅需理解几种基本的 算法语句;2.复习算法的重点应放在读懂程序框图上,尤其要重视循环结构的程序框图,弄 清当型与直到型循环结构的区别,以及进入、退出循环的条件、循环的次数.

1. 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 2. 程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 通常程序框图由程序框和流程线组成, 一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤; 流程线带方向箭头,按照算法步骤的执行顺序将程序框连接起来. 3. 三种基本逻辑结构 (1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结 构.

其结构形式为 (2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形 式. 其结构形式为

(3)循环结构是指从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的步 骤称为循环体.循环结构又分为当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型). 其结构形式为

4. 输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 输入语句 输出语句 赋值语句 5. 条件语句 (1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应. (2)条件语句的格式及框图 ①IF—THEN 格式 IF 条件 语句体 END IF ②IF—THEN—ELSE 格式 IF 条件 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 6. 循环语句 (1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应. (2)循环语句的格式及框图. ①UNTIL 语句 ②WHILE 语句 THEN THEN 一般格式 INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”; 表达式 变量=表达式 功能 输入信息 输出常量、变量的值和系统信息 将表达式所代表的值赋给变量

[难点正本 疑点清源] 1. 在数学中,现代意义上“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步 骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成的. 2. 顺序结构、循环结构和条件结构的关系 顺序结构是每个算法结构都含有的,而对于循环结构有重复性,条件结构具有选择性没 有重复性,并且循环结构中必定包含一个条件结构,用于确定何时终止循环体.循环结 构和条件结构都含有顺序结构. 3. 关于赋值语句,有以下几点需要注意 (1)赋值号左边只能是变量名字,而不是表达式,例如 3=m 是错误的. (2)赋值号左右不能对换,赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量,例如 Y=x,表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值,不能改写为 x=Y.因为后者表 示用 Y 的值替代变量 x 的值. (3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现多个“=”. 4. 利用循环结构表示算法,第一要先确定是利用当型循环结构,还是直到型循环结构;第 二要选择准确的表示累计的变量;第三要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执 行循环体.

1. 如图,是求实数 x 的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填________.

答案 x>0?(或 x≥0?) 解析
? ? ?x, x≥0, ?x,x>0, 由于|x|=? 或|x|=? 故根据所给的程序框图,易知可填 ?-x,x<0 ?-x,x≤0, ? ?

“x>0?”或“x≥0?”. 2. (2012· 福建)阅读如图所示的程序框图,

运行相应的程序,输出的 s 值等于________. 答案 -3 解析 第一次循环:s=1,k=1<4,s=2×1-1=1,k=1+1=2; 第二次循环:k=2<4,s=2×1-2=0,k=2+1=3; 第三次循环:k=3<4,s=2×0-3=-3,k=3+1=4; 当 k=4 时,k<4 不成立,循环结束,此时 s=-3. 3. 关于程序框图的图形符号的理解,正确的有 ①任何一个程序框图都必须有起止框; ②输入框只能在开始框之后,输出框只能放在结束框之前; ③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号; ④对于一个程序框图来说,判断框内的条件是唯一的. A.1 个 答案 B 解析 任何一个程序都有开始和结束,因而必须有起止框;输入和输出可以放在算法中 任何需要输入、输出的位置;判断框内的条件不是唯一的,如 a>b,亦可写为 a≤b.故只 有①③对. 4. (2011· 课标全国)执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( ) B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( )

A.120 答案 B

B.720

C.1 440

D.5 040

解析 当输入的 N 是 6 时,由于 k=1,p=1,因此 p=p· k=1.此时 k=1,满足 k<6,故 k=k+1=2. 当 k=2 时,p=1×2,此时满足 k<6,故 k=k+1=3. 当 k=3 时,p=1×2×3,此时满足 k<6,故 k=k+1=4. 当 k=4 时,p=1×2×3×4,此时满足 k<6,故 k=k+1=5. 当 k=5 时,p=1×2×3×4×5,此时满足 k<6,故 k=k+1=6. 当 k=6 时,p=1×2×3×4×5×6=720, 此时 k<6 不再成立,因此输出 p=720. 5. (2012· 辽宁)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是 ( )

A.-1 答案 D

2 B. 3

3 C. 2

D.4

解析 因为 S=4,i=1<9,

2 所以 S=-1,i=2<9;S= ,i=3<9; 3 3 S= ,i=4<9;S=4,i=5<9; 2 2 S=-1,i=6<9;S= ,i=7<9; 3 3 S= ,i=8<9;S=4,i=9<9 不成立,输出 S=4. 2

题型一 算法的设计

例1

?-2,x>0, ? 已知函数 y=?0,x=0, ?2,x<0, ?

写出求该函数函数值的算法及程序框图.

思维启迪:可以利用算法的条件结构,严格遵循算法的概念设计算法. 解 算法如下:

第一步,输入 x. 第二步,如果 x>0,则 y=-2;如果 x=0,则 y=0;如果 x<0,则 y=2. 第三步,输出函数值 y. 相应的程序框图如图所示.

探究提高 给出一个问题,设计算法应注意: (1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学方法; (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况; (3)将解决问题的过程划分为若干个步骤; (4)用简练的语言将各个步骤表示出来. f(x)=x2-2x-3.求 f(3)、f(-5)、f(5),并计算 f(3)+f(-5)+f(5)的值.设计

出解决该问题的一个算法,并画出程序框图. 解 算法如下:

第一步,令 x=3. 第二步,把 x=3 代入 y1=x2-2x-3. 第三步,令 x=-5. 第四步,把 x=-5 代入 y2=x2-2x-3. 第五步,令 x=5. 第六步,把 x=5 代入 y3=x2-2x-3. 第七步,把 y1,y2,y3 的值代入 y=y1+y2+y3. 第八步,输出 y1,y2,y3,y 的值. 该算法对应的程序框图如图所示:

题型二 算法的基本逻辑结构 例2 1 1 1 1 设计算法求 + + +?+ 的值,并画出程序框图. 1×2 2×3 3×4 2 011×2 012 思维启迪:(1)这是一个累加求和问题,共 2 011 项相加; (2)设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结构实现这一算法. 解 算法如下:

第一步,令 S=0,i=1; 第二步,若 i≤2 011 成立,则执行第三步; 否则,输出 S,结束算法; 第三步,S=S+ 1 ; i?i+1?

第四步,i=i+1,返回第二步. 程序框图:

方法一 当型循环程序框图:

方法二 直到型循环程序框图:

探究提高 利用循环结构表示算法,第一要确定是利用当型循环结构,还是直到型循环 结构;第二要准确的表示累加变量;第三要注意在哪一步开始循环.

(2012· 湖南)如果执行如图所示的程序框图,输入 x=-1,n=3,则输出的 数 S=________.

答案 -4 解析 当 n=3 时,i=3-1=2,满足 i≥0, 故 S=6×(-1)+2+1=-3. 执行 i=i-1 后 i 的值为 1,满足 i≥0, 故 S=(-3)×(-1)+1+1=5. 再执行 i=i-1 后 i 的值为 0,满足 i≥0, 故 S=5×(-1)+0+1=-4. 继续执行 i=i-1 后 i 的值为-1,不满足 i≥0, 故输出 S=-4. 题型三 程序框图的识别及应用 例3 如图是求 x1,x2,?,x10 的乘积 S 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为( )

A.S=S*(n+1) C.S=S*n

B.S=S*xn+1 D.S=S*xn

思维启迪:根据已知条件,结合程序框图求解;可以模拟程序运行的过程,一步一步明 确程序运行结果,确定应填入的内容. 答案 D 解析 由题意可知,输出的是 10 个数的乘积,故循环体应为 S=S*xn,所以选 D. 探究提高 识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点.解决这类问题:第一, 要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别运行程序框图,理 解框图解决的实际问题;第三,按照题目的要求完成解答.对框图的考查常与函数和数 列等相结合,进一步强化框图问题的实际背景. 某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 5 a5 6 a6

如图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框 应填________,输出的 s=________.

答案

i<7?(i≤6?) a1+a2+?+a6

解析 由题意可知,程序框图是要统计 6 名队员投进的三分球的总数,由程序框图的循 环逻辑知识可知,判断框应填 i<7?或 i≤6?,输出的结果就是 6 名队员投进的三分球 的总数,而 6 名队员投进的三分球数分别为 a1,a2,a3,a4,a5,a6,故输出的 s=a1+ a2+?+a6. 题型四 基本算法语句 例4 阅读下面两个算法语句:

图1

图2 执行图 1 中语句的结果是输出________; 执行图 2 中语句的结果是输出________. 思维启迪:理解算法语句中两种循环语句的结构和作用是解题的关键. 答案 i=4 i=2

解析 执行语句 1,得到(i,i· (i+1))结果依次为(1,2),(2,6),(3,12),(4,20),故输出 i= 4. 执行语句 2 的情况如下:

i=1,i=i+1=2,i· (i+1)=6<20(是),结束循环,输出 i=2. 探究提高 解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次 领悟该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题. 设计一个计算 1×3×5×7×9×11×13 的算法.图中给出了程序的一部分, 则在横线上不能填入的数是 ( )

A.13 答案 A

B.13.5

C.14

D.14.5

解析 当填 i<13 时,i 值顺次执行的结果是 5,7,9,11,当执行到 i=11 时,下次就是 i= 13,这时要结束循环,因此计算的结果是 1×3×5×7×9×11,故不能填 13,但填的数 字 只 要 超 过 13 且 不 超 过 15 均 可 保 证 最 后 一 次 循 环 时 , 得 到 的 计 算 结 果 是 1×3×5×7×9×11×13.

高考中的算法问题

典例:(5 分)(2012· 安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是

(

)

A.3

B.4

C.5

D.8

考点分析 本题属于算法和数列的交汇性问题,主要考查程序框图的功能和基本运算. 解题策略 本题可以直接按照程序框图的流程逐步进行计算,也可以从程序框图的功能 出发,分析 x 的值的规律来解决问题. 解析 方法一 当 x=1,y=1 时,满足 x≤4,则 x=2,y=2;

当 x=2,y=2 时,满足 x≤4,则 x=2×2=4,y=2+1=3; 当 x=4,y=3 时,满足 x≤4,则 x=2×4=8,y=3+1=4; 当 x=8,y=4 时,不满足 x≤4,则输出 y=4. 方法二 由程序框图,可知 x 的值构成一个首项为 1,公比为 2 的等比数列,其通项公 式为 an=2n 1,而 y 的值构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,其通项公式为 bn= n.显然该程序框图就是求解使得 an>4 时 bn 的值. 由 an>4,即 2n 1>4,解得 n>3,故 n 的最小值为 4,所以输出的值为 y=b4=4. 答案 B 解后反思 程序框图的填充和功能是算法问题在高考中的主要考查形式,和函数、数列 的结合是算法问题的常见载体,解决问题的关键是搞清算法的实质,模拟运行算法的结 果.
- -

方法与技巧 1. 在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征:概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、 普遍性. 2. 在画程序框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论,只用顺 序结构就能解决;若所要解决的问题要分若干种情况讨论时,就必须引入条件结构;若 所要解决的问题要进行许多重复的步骤,且这些步骤之间又有相同的规律时,就必须引 入变量,应用循环结构. 3. 程序框图的条件结构和循环结构分别对应算法语句的条件语句和循环语句,两种语句的 阅读理解是复习重点. 失误与防范 1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同. 2. 注意条件结构与循环结构的联系. 3. 要弄清楚三种基本逻辑结构的构成方式及功能,以免使用时造成混乱或错误. 4. 循环语句有“直到型”与“当型”两种,要区别两者的异同,主要解决遇到需要反复执 行的任务时,用循环语句来编写程序.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 算法共有三种逻辑结构,即顺序结构、条件结构、循环结构,下列说法正确的是( A.一个算法只能含有一种逻辑结构 B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构中的任一种 答案 D 解析 在一个算法中,可出现顺序结构、条件结构、循环结构三种结构中的任一种. 2. 已知一个算法: (1)m=a. (2)如果 b<m,则 m=b,输出 m;否则执行第 3 步. (3)如果 c<m,则 m=c,输出 m. 如果 a=3,b=6,c=2,那么执行这个算法的结果是 A.3 答案 C 解析 当 a=3,b=6,c=2 时,依据算法设计,执行后,m=a=3<b=6,c=2<a=3= m, ∴c=2=m,即输出 m 的值为 2,故选 C. 3. (2012· 天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值 为-25 时,输出 x 的值为 A.-1 C.3 答案 C 解析 当 x=-25 时,|x|>1,所以 x= 25-1=4>1, x= 4-1=1>1 不成立,所以输出 x=2×1+1=3. 4. (2012· 北京)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 ( ) B.1 D.9 ( ) B.6 C.2 D.m ( ) )

A.2 答案 C

B.4

C.8

D.16

解析 当 k=0 时,满足 k<3,因此 S=1×20=1; 当 k=1 时,满足 k<3,因此 S=1×21=2; 当 k=2 时,满足 k<3,因此 S=2×22=8; 当 k=3 时,不满足 k<3,因此输出 S=8. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 某算法的程序框图如图所示,则输出量 y 与输入实数 x 满足的关系式是________.

? x ?2 ,x≤1 答案 y=? ?x-2,x>1 ?

解析 由题意知,程序框图表达的是一个分段函数
?2x,x≤1 ? y=? . ? ?x-2,x>1

6. 如图是求 12+22+32+?+1002 的值的程序框图,则正整数 n=________.

答案 100 解析 第一次判断执行后,i=2,s=12;第二次判断执行后,i=3,s=12+22,而题目

要求计算 12+22+?+1002,故 n=100. 7. (2012· 广东)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为________.

答案 8 解析 当 i=2,k=1 时,s=1×(1×2)=2; 1 当 i=4,k=2 时,s= ×(2×4)=4; 2 1 当 i=6,k=3 时,s= ×(4×6)=8; 3 当 i=8 时,i<n 不成立,输出 s=8. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断以这 3 个正实数为三条边边长的三角 形是否存在,并画出这个算法的程序框图. 解 算法如下:

第一步,输入 3 个正实数 a,b,c. 第二步,判断 a+b>c,b+c>a,c+a>b 是否同时成立.若是,则存在这样的三角形; 否则,不存在这样的三角形. 程序框图:

9. (12 分)某工种按工时计算工资,每月总工资=每月劳动时间(小时)×每小时工资,从总 工资中扣除 10%作公积金,剩余的为应发工资,当输入劳动时间和每小时工资数时,试 编写一个算法输出应发工资,画出程序框图. 解 算法如下:

第一步,输入每月劳动时间 t 和每小时工资 a; 第二步,求每月总工资 y=每月劳动时间 t×每小时工资 a; 第三步,求应发工资 z=每月总工资 y×(1-10%); 第四步,输出应发工资 z. 程序框图如图:

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2011· 天津)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的 i 的值为 ( )

A.3 答案 B 解析

B.4

C.5

D.6

i=1 时, a=2; i=2 时, a=5; i=3 时, a=16; i=4 时, 当 a=65>50.即条件 a>50

成立,所以输出的 i 的值为 4. 2. (2012· 课标全国)如果执行如图所示的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?, aN,输出 A,B,则 ( )

A.A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 A+B B. 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2 C.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 答案 C

解析 由于 x=ak,且 x>A 时,将 x 值赋给 A,因此最后输出的 A 值是 a1,a2,?,aN 中最大的数;由于 x=ak,且 x<B 时,将 x 值赋给 B,因此最后输出的 B 值是 a1,a2,?, aN 中最小的数. 5 π 3. 如图,若依次输入的 x 分别为 π、 ,相应输出的 y 分别为 y1、y2,则 y1、y2 的大小关系 6 6 是 ( )

A.y1=y2 C.y1<y2 答案 C

B.y1>y2 D.无法确定

5π 5π 5π 5π 解析 由程序框图可知, 当输入的 x 为 时, sin >cos 成立, 所以输出的 y1=sin 6 6 6 6 1 π π π π 3 = ;当输入的 x 为 时,sin >cos 不成立,所以输出的 y2=cos = ,所以 y1<y2. 2 6 6 6 6 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. (2012· 浙江)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 T 的值是________.

答案

1 120

解析 由程序框图可知,当 T=1,i=1 时, T T= =1,i=2,不满足 i>5; i T 1 T= = ,i=3,不满足 i>5; i 2

T 1 T= = ,i=4,不满足 i>5; i 6 T 1 T= = ,i=5,不满足 i>5; i 24 T 1 T= = ,i=6,满足 i>5. i 120 1 输出 T= . 120 5. (2011· 安徽)如图所示,程序框图(流程图)的输出结果是________.

答案 15 解析 由 T=T+k 可知 T 是一个累加变量,原题实质为求 1+2+3+?+k 的和,其和 为 k?k+1? k?k+1? .令 ≤105,得 k≤14.故当 k=15 时,T=1+2+3+?+15=120>105,此 2 2

时输出 k=15. 6. 执行如图所示的程序框图,输出的 A 为________.

答案 2 047 解析 本题计算的是递推数列 a0=1,an+1=2an+1 (n=0,1,2,?)的第 11 项,{an+1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 a10+1=211,故 a10=2 047.

三、解答题 7. (13 分)给出以下 10 个数: 5,9,80,43,95,73,28,17,60,36.要求把大于 40 的数找出来并输出. 试 画出该问题的算法程序框图. 解 程序框图如下:


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