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期末复习计数原理和二项式


厦外 2016 高二理科期末复习———计数原理和二项式定理 班级_________ 姓名_____________ 座号__________ (第一部分)计数原理 1. 将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人, 每人 1 张, 则不同分法的种数是( ) A.2 160 B.720 C.240 D.120 2.在某校举行的羽毛球两人决赛中,采用 5 局 3 胜制的

比赛规则,先赢 3 局者获胜,直到 决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛,则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同 视为不同情形)共有( A.6 种 )

B.12 种 C.18 种 D.20 种

3.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个 数为( ) D.10

A.40 B.16C.13

4.安排 6 名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法 的种数共有( )

A.180 种 B.240 种 C.360 种 D.480 种 5. A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A,B 可以不相邻),那么 不同的排法共有( A.24 种 C.90 种 ) B.60 种 D.120 种

6.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙两人所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( ) A.12 种 B.16 种 C.24 种 D.48 种

7.A,B,C,D,E,F 六人围坐在一张圆桌周围开会,A 是会议的中心发言人,必须坐在最北 面的椅子上,B,C 二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座 次有( ) B.48 种 C.30 种 D.24 种

A.60 种

8.某班班会准备从甲、 乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、 乙两人至少有一人参加, 当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( A.360 B.520C.600 D.720 )

9.有 5 本不同的教科书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其并排摆放在书 架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( A.24 B.48C.72 D.96 10.将 A,B,C,D,E 排成一列,要求 A,B,C 在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可 以不相邻),这样的排列数有( A.12 种 C.40 种
1

)

) B.20 种 D.60 种

11.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能 在本班监考,则监考的方法有( A.8 种 C.10 种 ) B.9 种 D.11 种

12.有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派 方法种数为( A.150 C.200 1 1 7 m 13.已知 m- m= m,则 C8=________. C5 C6 10C7 14.从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中任取 3 个组成三位数,其中奇数的个数是________. 15.如图所示,在 A,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能 导致电路不通,今发现 A,B 之间线路不通,则焊接点脱落的不 同情况有________种. 16.已知集合 M={1,2,3,4},集合 A,B 为集合 M 的非空子集,若对? x∈A,y∈B,x<y 恒成 立,则称(A,B)为集合 M 的一个“子集对” ,则集合 M 的“子集对”共有________个. 17.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每 组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败 者角逐第 3,4 名,大师赛共有________场比赛. 18.(1)如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 4 块区域分开,若相 邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有________种(用数字作答). (2)如图,矩形的对角线把矩形分成 A,B,C,D 四部分,现用 5 种不同颜色给四部分涂 色,每部分涂 1 种颜色,要求共边的两部分颜色互异, 则共有________种不同的涂色方法. 19.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为________.(用数字作答) 20.若把英语单词“error”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有________种. 21.为参加 2014 年云南昭通地震救灾,某运输公司有 7 个车队,每个车队的车辆均多于 4 辆.现从这个公司中抽调 10 辆车,并且每个车队至少抽调 1 辆,那么共有多少种不同的抽 调方法______________ 22.若将 6 名教师分到 3 所中学任教,一所 1 名,一所 2 名,一所 3 名,则有________种不 同的分法. 23.把座位编号为 1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给甲、 乙、 丙、 丁四个人, 每人至少一张, 至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为________(用数字作答). ) B.180 D.280

2

(第二部分)二项式定理 1.(1+3x) (其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x 与 x 的系数相等,则 n=( A.6 B.7 C .8
n
n 5 6

)

D.9 )

( x - ) 展开式中的第 5 项是常数,则自然数 n 的值为( 2.若二项式
A.6 B.10 C.12 D.15 )

2 x

( x? 3.二项式
A.180

2 10 ) 的展开式中的常数项是( x2
B.90C.45 D.360

( - x x)展开式中含有 x2 项,则 n 的最小值是( 4.若
A.15 B.8C.7 D.3

1 x

n

)

5.若(1+mx) =a0+a1x+a2x +?+a6x ,且 a1+a2+?+a6=63,则实数 m 的值为( A.1 或 3 C.1
2 9

6

2

6

)

B.-3 D.1 或-3
2 11

6.设(x +1)(2x+1) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +?+a11(x+2) ,则 a0+a1+a2+?+a11 的值为( )

A.-2 B.-1C.1 D.2

7.(2015·全国卷Ⅰ)(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( A.10 B.20C.30 D.60

2

5

5 2

)

? x+ 1 ?2n * ? 8.? 3 ? (n∈N )的展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数项为( ? x? ?
A.120 C.252 9.(x -x+1) 展开式中 x 项的系数为( A.-210 B.210C.30 10.在 ( x ?
2 10 3

)

B.210 D.45 ) D.-30

1 ? 1)5 的展开式中,常数项为( )A.51 B.-51 C.-11 D.11 x 2 10 11.若多项式 x ? x = a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a9 ( x ? 1) 9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a9 ? ( ) A. 9 B. 10 C. ? 9 D. ? 10
12.53 被 8 除的余数是( )A、1 B、2 C、3 13.(x+1)(2x+1)(3x+1)?(nx+1)的展开式中,x 的系数是( ) A. C n
n ?1
0 10

D、7

B. C n
1

2

C. C n ?1 D. C n ?1
2 3 11 11

2

2

15.C11-2C11+4C11-8C11+?-2 C11=__________.
3

16.若(1+x+x ) =a0+a1x+a2x +?+a12x ,则 a2+a4+?+a12=________. 17.求 S=C27+C27+?+C27除以 9 的余数______________
1 2 3 n 18. Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ?? Cn ? 6n?1 ?
1 2 27

2 6

2

12

.

19.若(1 ? 2 x)2009 ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R), 则 a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2009 的值为____________ 2 2 22009
20..若二项式 (

2 ? x ) n 的展开式中的常数项为第五项. 3 x

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项.

? m? /21.设函数 f ( x, y ) ? ?1 ? ? (m ? 0, y ? 0) . y? ?
(1)当 m ? 3 时,求 f (6, y) 的展开式中二项式系数最大的项; (2)若 f (4, y ) ? a0 ?
4 a1 a2 a3 a4 ? 2 ? 3 ? 4 且 a3 ? 32 ,求 ? ai ; y y y y i ?0

x

(3)设 n 是正整数, t 为正实数,实数 t 满足 f (n,1) ? m f (n, t ) ,求证:
n

f (2010,1000 t ) ? 7 f (?2010, t ) .

4

(第一部分)计数原理 1. 将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人, 每人 1 张, 则不同分法的种数是( ) A.2 160 B.720 C.240 D.120 解析:选 B 分步来完成此事.第 1 张有 10 种分法;第 2 张有 9 种分法;第 3 张有 8 种分法,共有 10×9×8=720 种分法. 2.在某校举行的羽毛球两人决赛中,采用 5 局 3 胜制的比赛规则,先赢 3 局者获胜,直到 决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛,则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同 视为不同情形)共有( A.6 种 C.18 种 ) B.12 种 D.20 种

解析:选 D 分三种情况:恰好打 3 局(一人赢 3 局),有 2 种情形;恰好打 4 局(一人 前 3 局中赢 2 局,输 1 局,第 4 局赢),共有 2C3=6(种)情形;恰好打 5 局(一人前 4 局中赢 2 局, 输 2 局, 第 5 局赢), 共有 2C4=12(种)情形. 所有可能出现的情形共有 2+6+12=20(种). 3.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个 数为( A.40 C.13 ) B.16 D.10
2 2

解析:选 C 分两类情况讨论:第一类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个 不同的平面;第二类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.根据分类 加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的平面. 4.安排 6 名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法 的种数共有( A.180 种 C.360 种 解析:选 D ) B.240 种 D.480 种 依题意,歌手乙、丙都排在歌手甲的前面的排法共有 A2×4×5×6=240
2

种,因此满足题意的不同排法共有 240×2=480 种. 5. A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A,B 可以不相邻),那么 不同的排法共有( A.24 种 C.90 种
3 5

) B.60 种 D.120 种

解析:选 B 可先排 C,D,E 三人,共 A 种排法,剩余 A,B 两人只有一种排法,由分 步乘法计数原理满足条件的排法共 A5=60(种). 6.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙两人所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( ) A.12 种 C.24 种
5
3

B.16 种 D.48 种

解析:选 C 依题意得知,满足题意的选法共有 C4·C3·C2=24 种. 7.A,B,C,D,E,F 六人围坐在一张圆桌周围开会,A 是会议的中心发言人,必须坐在最北 面的椅子上,B,C 二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座 次有( ) B.48 种 D.24 种
2 4

1

1

1

A.60 种 C.30 种

解析:选 B 由题知,不同的座次有 A2A4=48 种. 8.某班班会准备从甲、 乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、 乙两人至少有一人参加, 当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( A.360 C.600 解析:选 C B.520 D.720 根据题意,分 2 种情况讨论:若只有甲、乙其中一人参加,有 C2·C5·A4=
2 2 4 2 2 3 2 1 3 4

)

480 种情况; 若甲、 乙两人都参加, 有 C2· C5· A4=240 种情况, 其中甲、 乙相邻的有 C2· C5· A3· A2 =120 种情况.则不同的发言顺序的种数为 480+240-120=600. 9.有 5 本不同的教科书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其并排摆放在书 架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( A.24 C.72 B.48 D.96 )

解析:选 B 据题意可先摆放 2 本语文书,当 1 本物理书在 2 本语文书之间时,只需将 2 本数学书插在前 3 本书形成的 4 个空中即可,此时共有 A2A4种摆放方法;当 1 本物理书放 在 2 本语文书一侧时, 共有 A2A2C2C3种不同的摆放方法, 由分类加法计数原理可得共有 A2A4+ A2A2C2C3=48 种摆放方法 10.将 A,B,C,D,E 排成一列,要求 A,B,C 在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可 以不相邻),这样的排列数有( A.12 种 C.40 种 ) B.20 种 D.60 种
5 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2

解析:选 C (排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为 A5,由于要求 A,B,C 的 A5 3 次序一定(按 A,B,C 或 C,B,A),故除以这三个元素的全排列 A3,可得这样的排列数有 3× A3 2=40 种. C.40 种 D.60 种
5

11.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能 在本班监考,则监考的方法有( A.8 种 C.10 种 ) B.9 种 D.11 种
6

解析:选 B 设四位监考教师分别为 A,B,C,D,所教班分别为 a,b,c,d,假设 A 监考 b,则余下三人监考剩下的三个班,共有 3 种不同方法,同理 A 监考 c,d 时,也分别 有 3 种不同方法,由分类加法计数原理共有 3+3+3=9(种). 12.有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派 方法种数为( A.150 C.200 ) B.180 D.280
2 2

C5C3 3 解析:选 A 分两类:一类,3 个班分派的毕业生人数分别为 2,2,1,则有 2 ·A3=90 A2 种分派方法; 另一类, 3 个班分派的毕业生人数分别为 1,1,3, 则有 C5· A3=60 种分派方法. 所 以不同分派方法种数为 90+60=150 种. 1 1 7 m 13.已知 m- m= m,则 C8=________. C5 C6 10C7 m!?5-m?! m!?6-m?! 解析:由已知得 m 的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈Z}, - 5! 6! 7×?7-m?!m! 2 m 2 = ,整理可得 m -23m+42=0,解得 m=21(舍去)或 m=2.故 C8=C8=28. 10×7! 答案:28 14.从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中任取 3 个组成三位数,其中奇数的个数是________. 解析:从 1,3 中取一个排个位,故排个位有 2 种方法;排百位不能是 0,可以从另外 3 个数中取一个,有 3 种方法;排十位有 3 种方法.故所求奇数的个数为 3×3×2=18. 答案:18 15.如图所示,在 A,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现 A, B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.
3 3

解析:四个焊点共有 2 种情况,其中使线路通的情况有:1,4 都通,2 和 3 至少有一个 通时线路才通,共有 3 种可能.故不通的情况有 2 -3=13(种)可能. 答案:13 16.已知集合 M={1,2,3,4},集合 A,B 为集合 M 的非空子集,若对? x∈A,y∈B,x<y 恒成 立,则称(A,B)为集合 M 的一个“子集对” ,则集合 M 的“子集对”共有________个. 解析: 当 A={1}时, B 有 2 -1 种情况; 当 A={2}时, B 有 2 -1 种情况; 当 A={3}时, B 有 1 种情况;当 A={1,2}时,B 有 2 -1 种情况;当 A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B 均 有 1 种情况;所以满足题意的“子集对”共有 7+3+1+3+3=17(个). 答案:17 17.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每
7
2 3 2 4

4

组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败 者角逐第 3,4 名,大师赛共有________场比赛. 解析:小组赛共有 2C4场比赛;半决赛和决赛共有 2+2=4 场比赛;根据分类加法计数 原理共有 2C4+4=16 场比赛. 答案:16 18.(1)如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 4 块区域分开,若相邻区域不能涂同一 种颜色,则涂色方法共有________种(用数字作答).
2 2

(2)如图,矩形的对角线把矩形分成 A,B,C,D 四部分,现用 5 种不同颜色给四部 分涂色,每部分涂 1 种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂 色方法.

解析:(1)从 A 开始涂色,A 有 6 种涂色方法,B 有 5 种涂色方法,C 有 4 种涂色方法, D 有 4 种涂色方法.由分步乘法计数原理可知,共有 6×5×4×4=480 种涂色方法. (2)区域 A 有 5 种涂色方法;区域 B 有 4 种涂色方法;区域 C 的涂色方法可分 2 类:若 C 与 A 涂同色,区域 D 有 4 种涂色方法;若 C 与 A 涂不同色,此时区域 C 有 3 种涂色方法, 区域 D 也有 3 种涂色方法.所以共有 5×4×4+5×4×3×3=260 种涂色方法. 答案:(1)480 (2)260 19.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为________.(用数字作答) 解析:法一:依题意可得 C2×C4+C2×C4=8+6=14,故满足要求的方案有 14 种. 法二:6 人中选 4 人的方案有 C6=15 种,没有女生的方案只有 1 种,所以满足要求的方 案有 14 种. 答案:14 20.若把英语单词“error”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有________种. 解析:A5-1=19. 答案:19 21.为参加 2014 年云南昭通地震救灾,某运输公司有 7 个车队,每个车队的车辆均多于 4 辆.现从这个公司中抽调 10 辆车,并且每个车队至少抽调 1 辆,那么共有多少种不同的抽 调方法______________ 解:在每个车队抽调 1 辆车的基础上,还需抽调 3 辆车.可分成三类:一类是从某 1 个车队抽调 3 辆,有 C7种抽调方法;一类是从 2 个车队中抽调,其中 1 个车队抽调 1 辆,另 1 个车队抽调 2 辆, 有 A7种抽调方法; 一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆, 有 C7种抽调方法. 故
2 3 1 2 4 1 3 2 2

8

共有 C7+A7+C7=84 种抽调方法. 22.若将 6 名教师分到 3 所中学任教,一所 1 名,一所 2 名,一所 3 名,则有________种不 同的分法. 解析:将 6 名教师分组,分三步完成: 第 1 步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有 C6种取法; 第 2 步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有 C5种取法; 第 3 步,余下的 3 名教师作为一组,有 C3种取法. 根据分步乘法计数原理,共有 C6C5C3=60 种取法. 再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有 A3=6 种分法, 故共有 60×6=360 种不同的分法. 答案:360 23.把座位编号为 1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给甲、 乙、 丙、 丁四个人, 每人至少一张, 至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为________(用数字作答). 解析:先将票分为符合条件的 4 份,由题意,4 人分 5 张票,且每人至少一张,至多两 张,则三人每人一张,一人 2 张,且分得的票必须是连号,相当于将 1,2,3,4,5 这五个数用 3 个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在 4 个空位插 3 个板子,共有 C4=4 种情况, 再对应到 4 个人,有 A4=24 种情况,则共有 4×24=96 种情况. 答案:96 (第二部分)二项式定理 1.(1+3x) (其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x 与 x 的系数相等,则 n=( A.6 C.8 B. 7 D. 9
n 5 6 4 3 3 1 2 3 3 2 1

1

2

3

)

解析: 选 B (1+3x)n 的展开式中含 x5 的项为 C5 n(3x)5=C5 n35x5, 展开式中含 x6 的项为 C6 n 36x6.由两项的系数相等得 C5 n·35=C6 n·36,解得 n=7.

( x - ) 展开式中的第 5 项是常数,则自然数 n 的值为( 3.若二项式
A.6 C.12 B.10 D.15

2 x

n

)

?6 2? 2 ? ? 2? 解析:选 C 由二项式? x- ?n 展开式的第 5 项 C4 n( x)n-4?- ?4=16C4 nx 是常数项, x? ? ? x?

n

n 可得 -6=0,解得 n=12. 2

( x? 3.二项式
A.180

2 10 ) 的展开式中的常数项是( x2

)

B.90

9

C.45

D.360
5

5? k 2 10-k? 2 ?k k k 2 x+ 2?10 的展开式的通项为 Tk+1=Ck 2 =2 C10x 解析:选 A ? · ( x ) ,令 5- 10 x? ? ?x ?

5 k=0,得 k=2,故常数项为 22C2 10=180. 2

( - x x)展开式中含有 x2 项,则 n 的最小值是( 4.若
A.15 C.7 解析:选 D
5

1 x

n

)

B.8 D.3 1 r ?1? n-r· -x x?n 的展开式的通项是 Tr+1=Cr 注意到二项式? · n ?x ? ? x? (-x x) =

Cr (-1)r· x2 n·

r?n

2×?n+2? 5 .令 r-n=2,即 r= 有正整数解;又 2 与 5 互质, 2 5

因此 n+2 必是 5 的倍数,即 n+2=5k,n=5k-2,n 的最小值是 3. 5. 若(1+mx) =a0+a1x+a2x +?+a6x , 且 a1+a2+?+a6=63, 则实数 m 的值为( A.1 或 3 C.1
6 6 2 6

)

B.-3 D.1 或-3
6

解析:选 D 令 x=0,得 a0=(1+0) =1.令 x=1,得(1+m) =a0+a1+a2+?+a6.又

a1+a2+a3+?+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1 或 m=-3.
6.(2016·成都一中模拟)设(x +1)(2x+1) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +?+a11(x+ 2) ,则 a0+a1+a2+?+a11 的值为( A.-2 C.1
11 2 9 2

) B.-1 D. 2
9

解析:选 A 令等式中 x=-1 可得 a0+a1+a2+?+a11=(1+1)(-1) =-2,故选 A.

7.(2015·全国卷Ⅰ)(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( A.10 C.30
2 5 2

2

5

5 2

)

B.20 D.60
5

解析:选 C 法一:(x +x+y) =[(x +x)+y] , 含 y 的项为 T3=C5(x +x) ·y . 其中(x +x) 中含 x 的项为 C3x ·x=C3x . 所以 x y 的系数为 C5C3=30,故选 C. 法二:(x +x+y) 为 5 个 x +x+y 之积,其中有两个取 y,两个取 x ,一个取 x 即可, 所以 x y 的系数为 C5C3C1=30,故选 C.
5 2 2 2 1 2 5 2 2 5 2 2 1 2 3 5 1 4 1 5 2 2 2 3 2

10

? x+ 1 ?2n * ? 8.? 3 ? (n∈N )的展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数项为( ? x? ?
A.120 C.252 B.210 D.45

)

解析:选 B 由已知得,二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等.由展开式中只

? x+ 1 ?10 ? 有第 6 项的系数 C 最大,可得展开式有 11 项,即 2n=10,n=5.? 3 ? 展开式的通项 ? x? ?
5 2n

为 Tr+1=C10x
2

r

1 5? r 2

x

?

r 3

=C10x

r

5 5? r 6

5 6 ,令 5- r=0 可得 r=6,此时 T7=C10=210. 6
3

9.(x -x+1) 展开式中 x 项的系数为( A.-210 C.30
2 10 2 10

10

) B.210 D.-30
0 2 10 1 2 9 9 2 9

解析:选 A (x -x+1) =[x -(x-1)] =C10(x ) -C10(x ) (x-1)+?-C10x (x-1) +C10(x-1) ,所以含 x 项的系数为:-C10C9+C10(-C10)=-210,故选 A. 11.在 ( x ? 答案 B 11.若多项式 x ? x = a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a9 ( x ? 1) 9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a9 ? (
2 10
10 10 3 9 8 10 7

1 ? 1)5 的展开式中,常数项为( x

)A.51 B.-51

C.-11

D.11



A. 9 B. 10 C. ? 9 D. ? 10 答案 D 10 12.53 被 8 除的余数是( )A、1 B、2 C、3 答案 A 13.(x+1)(2x+1)(3x+1)?(nx+1)的展开式中,x 的系数是( ) A. C n
n ?1

D、7

B. C n

2

C. C n ?1 D. C n ?1

2

2

答案 C 0 1 2 3 11 11 15.C11-2C11+4C11-8C11+?-2 C11=__________. 11 解析:原式=(1-2) =-1. 2 6 2 12 16.若(1+x+x ) =a0+a1x+a2x +?+a12x ,则 a2+a4+?+a12=________. 解析:令 x=1,得 a0+a1+a2+?+a12=3 ,令 x=-1,得 a0-a1+a2-?+a12=1,∴
6

a0+a2+a4+?+a12=
答案:364

3 +1 3 +1 .令 x=0,得 a0=1,∴a2+a4+?+a12= -1=364. 2 2

6

6

17.求 S=C27+C27+?+C27除以 9 的余数______________
2 27 27 9 S=C1 27+C27+?+C27=2 -1=8 -1

1

2

27

=(9-1) -1=C9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 =9(C9×9 -C9×9 +?+C9)-2.
0 8 1 7 8

9

0

9

1

8

8

9

11

∵C9×9 -C9×9 +?+C9是整数, ∴S 被 9 除的余数为 7.
1 2 3 n 18. Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ?? Cn ? 6n?1 ?

0

8

1

7

8

.
a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2009 的值为 2 2 22009

19.

若(1 ? 2 x) 2009 ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R ), 则

解: 令x ?

a a a a a a 1 , 可得a0 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? 0,? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ? a0 2 2009 2 2 2 2 2 2 2 22009 a a a 在令x ? 0可得a0 ? 1,因而 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?1. 2 2 2 22009

0 1 2 3 n 解: (1 ? 6)n ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? Cn ? 63 ? ?? Cn ? 6n 与已知的有一些差距,

1 1 2 n (Cn ? 6 ? Cn ? 6 2 ? ? ? Cn ? 6n ) 6 1 0 1 1 1 2 n ? (Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ? 1) ? [(1 ? 6) n ? 1] ? (7 n ? 1) 6 6 6
1 2 3 n ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ?1 ?

20..若二项式 (

3

2 ? x ) n 的展开式中的常数项为第五项. x

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项. 解: (1)? Tr ?1 ? Cn (
r

3

2 n?r ) ( x ) r , ……………………………1分 x

x 的指数为 ?
?( 3

n?r r ? ? 0 ,……………………………………………2分 3 2

2 ? x ) n 的展开式中的常数项为第五项,∴ r ? 4 ……………3 分 x

解得: n ? 10 . ………………………………………………4分 (2)?Tr ?1 ? C10 (
r

3

2 10?r r ) ( x )r ,其系数为 C10 ? 210?r .……………………5分 x
………………………6分

k k ?1 ? C10 ? 210? k ? C10 ? 29 ? k , 设第 k ? 1 项的系数最大,则 ? k 10 ? k k ?1 ? C10 ? 211? k , ?C10 ? 2

化简得: ?

?2(k ? 1) ? 10 ? k , 8 11 即 ? k ? , ∴ k ? 3 ,………………8分 3 3 ? 11 ? k ? 2k ,

12

3 即第四项系数最大, T4 ? C10 ? 27 ? x
x

?

5 6

? 15360 x 6 .………………………10分

?

5

? m? 21.设函数 f ( x, y ) ? ?1 ? ? (m ? 0, y ? 0) . y? ?
(1)当 m ? 3 时,求 f (6, y) 的展开式中二项式系数最大的项; (2)若 f (4, y ) ? a0 ?
4 a1 a2 a3 a4 ? 2 ? 3 ? 4 且 a3 ? 32 ,求 ? ai ; y y y y i ?0

(3)设 n 是正整数, t 为正实数,实数 t 满足 f (n,1) ? mn f (n, t ) ,求证:

f (2010,1000 t ) ? 7 f (?2010, t ) .
? 3 ? 540 解: (1)展开式中二项式系数最大的项是第 4 项= C ? ? ? 3 ; (2 分) y ? y?
3 6 3

(2) f (4, y ) ? a0 ?
4

a1 a2 a3 a4 m 3 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? (1 ? )4 , a3 ? C4 m ? 32 ? m ? 2 , y y y y y
(5 分)

?a
i ?0

i

2 ? (1 ? )4 ? 81; 1

(3)由 f (n,1) ? mn f (n, t ) 可得 (1 ? m) ? m (1 ?
n n

m n m2 n ) ? (m ? ) ,即 t t

m2 m 1 2010 1? m ? m ? ? m ? t ? f (2010,1000 t ) ? (1 ? )2010 ? (1 ? ) . t 1000 1000 t

? 1? C

1 2010

1 4 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 3 4 ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? 7 1000 3 3 ? 1000 ? ? 1000 ? ? 1000 ?
m ?2010 1 ) ? (1 ? ) ?2010 ? 1,所以原不等式成立. t t
(10 分)

2

3

4

, t ) ? (1 ? 而 f (?2010

13


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