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2010年高一数学名校大题天天练(十)


数学:2010 年高一名校大题天天练(十)
1、 (10 分)如图,已知两条直线 l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0,过定点 P(-1,2)作一条直线 l,分别 与 l1,l2 交于 M、N 两点,若 P 点恰好是 MN 的中点,求直线 l 的方程.

2.(12 分)一束光通过 M(25,18)射入被 x 轴反射到圆 C:x2+(y-

7)2=25 上. (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程; (2)求在 x 轴上反射点 A 的活动范围.
[来源:]

3.本题满 分 10 分(每小题各 5 分) (1)已知二次函数 f ( x ) 的两个零点分别是 -2 和 4,且其图象经过点(-1,-10) ,试求函数

f ( x) 的最小值.
1 ? 5 5 ?2 1 (2)计算: log 4 8 ? log 5 ? ( ) ? (0.01) 2 ? log 5 . 3 2 15
[来源:学#科#网 Z#X#X#K][来源:]

4.本题满分 8 分 如图 2:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点, CB1 与 BC1 相交于点 E. (1)求证:AC⊥ 1; BC (2)求线段 DE 的长. A1 E C1 B1

C D A 图2

B

5.本题满分 8 分 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . (1)若不经过坐标原点的直线 l 与圆 C 相切,且直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)设点 P 在圆 C 上,求点 P 到直线 x ? y ? 5 ? 0 距离的最大值与最小值.

6.本题满分 8 分 社区文具商场的某种毛笔每支售价 25 元,书法练习本每本售价 5 元.该商场为促销制定 了甲、乙两种优惠方案:方案甲:买 1 支毛笔就赠送 1 本书法练习本;方案乙:按购买金额 打 9 折付款.某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔 10 支,这种书法练习本 x ( x ≥ 10 )本. (1)分别写出按甲、乙两种优惠方案实际付款金额 y 甲(元) y 乙(元)与 x 之间的函 、 数关系式; (2)如果该商场即允许只选择一种优惠方案购买,也允许同时用两种优惠方案购买,请 你就购买这种毛笔 10 支和这种书法练习本 60 本设计一种最省钱的购买方案.
[来源:]

7.本题满分 9 分 已知 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ? loga (ax ? x) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x ) 的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论.

8.(本题满分 8 分)
2 2 已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 4? , B ? x | m ? 1 ? x ? 3m ? 2 ,且 A ? B ? A ,

?

?

求实数 m 的取值范围.

9.(本题满分 8 分)

0) 2) sin 在直角坐标系中,已知 A(2, , B (0, , C (cos ?, ? ) .
(Ⅰ)若 ? 为钝角,且 sin ? =

??? ??? ? ? 3 ,求 CA ? CB . 5

(Ⅱ)若 CA ? CB ,求 sin 2? 的值.

??? ?

??? ?

10.(本题满分 10 分) 如图 2, 已知 OPQ 是半径为 R , 圆心角为

?
4

的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是

扇形的内接矩形.记 ?COP ? ? ,求当角 ? 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求 出这个最大面积.

Q C R O

D

?
A B P
图2

11.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log a

1? x , (其中 a ? 0 且 a ? 1 ). 1? x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性并给出证明;

1] (Ⅲ)若 x ? [0, ] 时,函数 f ( x ) 的值域是 [0, ,求实数 a 的值.

1 2

12.(本题满分 10 分)

tan 已知 0 ? ? ? ? ? ? ,且 tan ?、 ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,试求:
2

(Ⅰ) ? ? ? 的值; (Ⅱ) cos(2? ?

?
4

) 的值.

13.(本题满分 10 分) 已知向量 m ? (cos x,? a sin x) , ? (cos x, , 设 1 n 2) 其中 a ? R,x ? R , f ( x) ? m ? n , 且函数 f ( x ) 的 最大值为 g (a ) . (Ⅰ)求函数 g (a ) 的解析式; (Ⅱ)设 0 ? ? ? 2? ,求函数 g (2cos ? ? 1) 的最大值和最小值以及对应的 ? 值; (Ⅲ )若对于任意的实数 x ? R , g ( x) ? kx ?

??

?

?? ?

5 恒成立,求实数 k 的取值范围. 2

1.设所求直线 l 的方程为: y=k(x+1)+2



交点 M 的横坐标 xM=

.

由 ∵P 为 MN 的中点,

交点 N 的横坐标 xN=

∴ 所求直线 l 的方程为 x+2y-3=0.

.

2、 参考答案: (1)M(25, 18)关于 x 轴的对称点为 M′(25, -18)依题意, 反射线所在直线过(25,

-1 8),即 即 x+y-7=0.

.

(2)设反射线所在直线为 y+18=k(x-25). 即 kx-y-25k-18=0.

依题意:

,

解得:

.

在①式中令 y=0,得 xA=

.

[来源:Z,xx,k.Com]



,∴

.

1≤xA≤

.

即在 x 轴上反射点 A 的活动范围是从点(1,0)到点( 3、本题满分 10 分.

,0)的线段.

(1)解:因 为二次函数 f ( x ) 的 两个零点分别是 -2 和 4,所以设 f ( x) ? a( x ? 2)( x ? 4) , 又 f ( x ) 的图象经过点(-1,-10) ,所以有 ?10 ? a(?1 ? 2)(?1 ? 4) ,得 a ? 2 , 于是 f ( x) ? 2( x ? 2)( x ? 4) ,……3 分又 f ( x ) 图象的对称轴是 x ? ?2?4 ? 1 , 2 所以 f ( x ) 的最小值为 f (1) ? 2(1 ? 2)(1 ? 4) ? ?18 ……2 分
1 lg 23 5 2 2 (2)解:原式= ? log5 ( ?15) ? ( ) ? (100) 2 lg 22 3 5

……3 分

=

3 4 19 ? 2 ? ? 10 ? 2 25 10
[来源:Z|xx|k.Com]

……2 分

4、本题满分 8 分. (1)证明:因为底面三边长 A C=3,BC=4,AB=5,所以 AC⊥ ……2 分 BC 又三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AC⊥ 1,于是 AC⊥ CC 平面 BC1, 因此 AC⊥ 1 ……2 分 BC (2)因为 E 是矩形 CBB1C1 对角线的交点,所以 E 是 BC1 的中点,又 D 是 AB 的中点,所

以 DE// AC1,且 DE= 1 AC1 ……2 分 2 因为 AC=3,AA1=4,所以 AC1=5,因此 DE= 5 2 5、本题满分 8 分. ……2 分 ……

解: 圆 C 的方程可化为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 , (1) 即圆心的坐标为 (-1, , 2) 半径为 2 3 分; 因为直线 l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点,所以可设
|?1? 2? m| 1?1

直线 l 的方程为 x ? y ? m ? 0 ,……1 分;于是有

? 2 ,得 m ? 1 或 m ? ?3 ,因此

直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 ……2 分 (2)因为圆心(-1,2)到直线 x ? y ? 5 ? 0 的距离为
|?1?2?5| 1?1

?4 2,

所以点 P 到直线 x ? y ? 5 ? 0 距离的最大值与最小值依次分别为 5 2 和 3 2 ……2 分 6、本题满分 8 分. 解: (1) y 甲= 10 ? 25 ? 5( x ? 10) ? 5x ? 200 ( x ≥10)

y 乙= (10 ? 25 ? 5x) ? 0.9 ? 4.5x ? 225 ( x ≥10)

……2 分

(2)设按甲种优惠方案购买 m (0 ≤ m ≤10) 支毛笔,则获赠 m 本书法练习本; 因此需要按乙优惠方案购买 (10 ? m) 支毛笔和 (60 ? m) 本书法练习本.……2 分 总费用为 y ? 25m ? [25(10 ? m) ? 5(60 ? m)] ? 0.9 ? ?2m ? 495 ,
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

显然 y 是关于 m 的一次函数且是减函数的类型,故当 m 最大即 m ? 10 时, y 最小,最小 值为 475.……2 分 因此最省钱的购买方案是先按甲种优惠办法购买 10 支毛笔得到 10 本书法练习本,再按乙 种优惠方案购买 50 本书法练习本.……2 分 7、本题满分 9 分. 解: (1)由 ?

?x ≥ 0 1 1 ? 及 a ? 0 得 x ? 2 ,所以 f ( x ) 的定义域为 ( 2 , ?? ) ……2 分 a a ?ax ? x ? 0 ?
1 ,则 a x2 ? a x1 ? 1 ,……1 分 a2

(2)当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 是增函数 ……2 分 设 x2 ? x1 ?

因此 (ax2 ? x2 ) ? (ax1 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )

? ( x2 ? x1 ) [a ( x ? 2
于是有

x )? 1 ] ,即 (ax2 ? x2 ) ? (ax1 ? x1 ) , ? 0 1

ax2 ? x2 ax1 ? x1

? 1 ,又 a ? 1 ,……2 分 所以有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ax2 ? x2 ax1 ? x1

? log a (ax2 ? x2 ) ? log a (ax1 ? x1 ) ? log a

? log a 1 ? 0 ,

即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,所以 a ? 1 时,函数 f ( x ) 是增函数……2 分 8. (本题满分 8 分) 解:由条件 A ? B ? A 可知, B ? A .
2 2 当 B ? ? 时, m ? 1 ? 3m ? 2 ,解得 m ?
2

[来源:ZXXK]

1 ; ……………3 分 2

?m2 ? 1 ? 3m2 ? 2 ? 1 2 当 B ? ? 时, ?m2 ? 1 ? ?3 解得 ? m ? 2 ;…………6 分 2 ?3m2 ? 2 ? 4 ?
综上可知, m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? 2 .
2

…………………8 分

9. (本题满分 8 分) 解 :(Ⅰ)∵ ? 为钝角,且 sin ? =

3 4 2 ,∴ cos ? = ? 1 ? sin ? ? ? 5 5

??? ? ??? ? , . CA ? 2 ? cos?, sin ?) CB ? ? cos?,? sin ?) ( ? ( 2

??? ??? ? ? CA ? CB ? ? cos ? 2 ? cos ?) sin ? 2 ? sin ?) ?2cos ? ? 2sin ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ( ? ( ? 3 4 7 ? ?2(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ?2( ? ) ? 1 ? ???4分 5 5 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 CA ? CB ? ?2(cos? ? sin ? ) ? 1,∵ CA ? CB ∴ CA ? CB ? 0
∴ cos ? ? sin ? ?

1 1 3 ,两边平方得 1 ? 2sin ? cos ? ? ,∴ sin 2? ? ? .…………8 分 2 4 4

10. (本题满分 10 分) 解:在 Rt ?OBC 中, OB ? R cos ? , BC ? R sin ? . 在 Rt ?OAD 中, OA ? AD ? BC ? R sin ? . AB ? OB ? OA ? R cos ? ? R sin ? . …………………2 分 设矩形 ABCD 的面积为 S ,则

S ? AB ? BC ? ( R cos ? ? R sin ? ) ? R sin ? ???????? 4分 1 1 ? cos 2? ? R 2 (cos ? sin ? ? sin 2 ? ) ? R 2 ( sin 2? ? ) 2 2 1 1 1 2 2 ? 1 ? R 2 ( sin 2? ? cos 2? ? ) ? R sin(2? ? ) ? R 2 ????8分 2 2 2 2 4 2 ? ? ? 3? ? ? ? 由 0 ? ? ? ,得 ? 2? ? ? ,所以当 2? ? ? ,即 ? ? 时,……9 分 4 4 4 4 4 2 8
Smax ? 2 ?1 2 R . 2
…………………10 分

11. (本题满分 10 分)

解: (Ⅰ)由条件知

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 ,函数的定义域为 (?1, ;………3 分 1) 1? x

(Ⅱ) f (? x) ? log a

1? x 1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? f ( x) ? ? ? log a 1? x 1? x ? 1? x ?
………………7 分

?1

[来源:ZXXK]

因此 f ( x ) 是奇函数. (Ⅲ) f ( x) ? log a 记 g ( x) ? ?1 ?

1? x x ?1 ? 2 2 ? 2 ? ? x ?1 ? ? log a ? log a ? ? ? ? log a ? ?1 ? ? 1? x 1? x x ?1 ? ?1? x 1? x ? ?

2 2 1 ,则 g ( x) ? ?1 ? 在 [0, ] 上单调递增,因此 x ?1 x ?1 2 1 1 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, ] 上单调递增,由 f ( ) ? 1 得 a ? 3 ; 2 2 1 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, ] 上单调递减,由 f (0) ? 1 得 出矛盾, a ? ? ; 2 综上可知 a ? 3 . ………………10 分
12. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)∵方程 x ? 5x ? 6 ? ( x ? 2)( x ? 3) ? 0
2

∴方程的两根分别是 x1 =2,x2 =3 .

2 tan 又∵ tan ?、 ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,∴ 0 ? ? ? ? ?

?
2

且 tan ? ? tan ? 、

tan ? ? 2, ? ? 3 ,因此 tan(? ? ? ) ? tan
又∵ 0 ? ? ? ? ? ? (Ⅱ) 由 tan ? ? 2 得 ∵0 ?? ? ∴? ? ? ?

tan ? ? tan ? 2?3 ? ? ?1 , 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 6

sin ? 4 ? 2 ,∴ sin 2 ? ? 4cos2 ? ? 4(1 ? sin 2 ? ) ∴ sin 2 ? ? cos ? 5

3 ? .………………5 分 4

?
2

∴ sin ? ?

2 5 5 、 cos ? ? , 5 5 5 2 2 5 2 3 ) ?( ) ?? , 5 5 5

∴ cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? (

sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ?

2 5 5 4 ? ? , 5 5 5

? ? ? 3 2 4 2 7 2 cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? ? ? ? ? ?? .………10 分 4 4 4 5 2 5 2 10
13. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由题意知 f ( x) ? m ? n ? cos x ? 2a sin x ? 2 ? ? sin x ? 2a sin x ? 3 ,
2 2

?? ?

令 t ? sin x ,则 ?1 ? t ? 1,从而 h(t ) ? ?t 2 ? 2at ? 3 ? ?(t ? a)2 ? a2 ? 3,t ?[?1 1] , , 对称轴为 t ? ?a . ①当 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 时,

1] h(t ) ? ?t 2 ? 2at ? 3 在 t ?[?1, 上单调递减, h(t )max ? h(?1) ? 2a ? 2 ; , 1] ②当 ?1 ? ?a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 1 时, h(t ) 在 [?1 ? a] 上单调递增,在 [?a, 上单调递减
∴ h(t )max ? h(?a) ? a2 ? 3 ;

1] h(t ) ? ?t 2 ? 2at ? 3 在 t ?[?1, 上单调递增, h(t )max ? h(1) ? ?2a ? 2 ;

??2a ? 2, a ? ?1; ? 2 综上, g (a) ? ?a ? 3, ? 1 ? a ? 1; ?2a ? 2, a ? ?1. ?

………………4 分

, 3] (2)由 0 ? ? ? 2? 知, ?1 ? 2 cos ? ? 1 ? 3 .又因为 g (a ) 在 [?1 0] 上单调递减,在 [0, 上单
调递增,所以 g (2cos? ? 1)max ? max{g (?1),g (3)} ? g (3) ? 8 , ? ? 0 ;

2 ………………7 分 g (2cos? ? 1)min ? g (0) ? 3 , ? ? ? . 3 5 1 3 (3)当 x ? 1 时, 2 x ? 2 ? kx ? 得 k ? 2 ? ,即 k ? ; 2 2x 2 5 1 3 当 x ? ?1 时, ?2 x ? 2 ? kx ? 得 k ? ?2 ? ,即 k ? ? ; 2 2x 2 5 1 2 2 当 ?1 ? x ? 1 时, x ? 3 ? kx ? ,得 x ? kx ? ? 0 , 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 令 p ( x) ? x ? kx ? ? ( x ? k ) ? ? k ,则对称轴为 x ? k ,下面分情况讨论: 2 2 2 4 2 1 1 2 , ①当 k ? ?1 时,即 k ? ?2 时, p( x) ? x ? kx ? 在 (?1 1) 上单调递增,从而只须 2 2 3 p( x) ? p(?1) ? 0 即可,解得 k ? ? ,从而 k ? ? ; 2 1 1 1 1 2 ② 当 ?1 ? k ? 1 时 , 即 ?2 ? k ? 2 , 只 须 p ( x)m i n ? p ( k )? ? k ? 0 解 得 , 2 2 2 4

? 2 ? k ? 2 ,从而 ? 2 ? k ? 2 ;
③当

1 1 k ? 1 时,即 k ? 2 时, p( x) ? x 2 ? kx ? 在 (?1, 上单调递减,从而只须 1) 2 2 3 p( x) ? p(1) ? 0 即可,解得 k ? ,从而 k ? ? ; 2

综上,实数 k 的取值范围是 ? 2 ? k ?

2.

………………10 分

③当 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 时,

1] h(t ) ? ?t 2 ? 2at ? 3 在 t ?[?1, 上单调递增, h(t )max ? h(1) ? ?2a ? 2 ;

??2a ? 2, a ? ?1; ? 2 综上, g (a) ? ?a ? 3, ? 1 ? a ? 1; ?2a ? 2, a ? ?1. ?

………………4 分

[来源:学#科#网]

, 3] (Ⅱ)由 0 ? ? ? 2? 知, ?1 ? 2 cos? ? 1 ? 3 .又因为 g (a ) 在 [?1 0] 上单调递减,在 [0, 上
单调递增,∵ g (?1) ? g (3) ∴ g (2cos ? ? 1)max ? g (3) ? 8 ,此时 ? ? 0 ;

2 g (2cos? ? 1)min ? g (0) ? 3 ,此时 ? ? ? . ………………7 分 3 5 1 3 (Ⅲ)当 x ? 1 时, 2 x ? 2 ? kx ? 得 k ? 2 ? ,即 k ? ; 2 2x 2 5 1 3 当 x ? ?1 时, ?2 x ? 2 ? kx ? 得 k ? ?2 ? ,即 k ? ? ; 2 2x 2 5 1 2 2 当 ?1 ? x ? 1 时, x ? 3 ? kx ? ,得 x ? kx ? ? 0 , 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 令 p ( x) ? x ? kx ? ? ( x ? k ) ? ? k ,则对称轴为 x ? k ,下面分情况讨论: 2 2 2 4 2 1 1 2 , ①当 k ? ?1 时,即 k ? ?2 时, p( x) ? x ? kx ? 在 (?1 1) 上单调递增,从而只须 2 2 3 p( x) ? p(?1) ? 0 即可,解得 k ? ? ,从而 k ? ? ; 2 1 1 1 1 2 ② 当 ?1 ? k ? 1 时 , 即 ?2 ? k ? 2 , 只 须 p ( x)m i n ? p ( k )? ? k ? 0 解 得 , 2 2 2 4
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

? 2 ? k ? 2 ,从而 ? 2 ? k ? 2 ;
③当

1 1 k ? 1 时,即 k ? 2 时, p( x) ? x 2 ? kx ? 在 (?1, 上单调递减,从而只须 1) 2 2 3 p( x) ? p(1) ? 0 即可,解得 k ? ,从而 k ? ? ; 2

综上,实数 k 的取值范围是 ? 2 ? k ?

2.

………………10 分


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