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高级中学2015届高三数学寒假作业----概率统计训练题


高级中学 2015 届高三数学寒假作业----概率统计训练题
1. 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无 法确认,在图中以 X 表示。 (Ⅰ) 如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同 学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列 和数学期望。 (注:方差错误!未找到引用

源。 ,其中错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,?? 错误!未找到引用源。的平均数)

2. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该校合唱 团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率; 参加人数 (3)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动次 数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 50 40 30 20 10 1 2 3 活动次数

-1-

3. 甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进 行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率 开始
n ? 0, S ? 0, T ? 0
a, b 输入

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止 2 5 的概率为 . 9
为 p (p ? 若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得分数 S 、 T 的程序框 图.其中如果甲获胜,输入 a ? 1 , b ? 0 ;如果乙获胜,则输入

S ? S ? a, T ? T ? b

a ? 0, b ? 1 .
(1)在右图中,第一、第二两个判断框应分别填写什么条件? (2)求 p 的值; (3)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列 和数学期望 E? .

M ? S ?T
n ? n ?1

?

Y

N N
?

n, S , T 输出

结束

4. 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所 得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

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5. 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是错误!未找 到引用源。 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p. (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.(i)求恰好摸 5 次停 止的概率;(ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为错误!未找到引用源。 ,求随机变量 错误!未找到引用源。的分布率及数学期望 E 错误!未找到引用源。 . (Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个 红球的概率是错误!未找到引用源。 ,求 p 的值.

6. 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同, 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球, 若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在一次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数错误!未找到引用源。的分布列及数学期望错误!未找到 引用源。.

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7. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球, 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设错误!未找到引用源。为取出的 4 个球中红球的个数,求错误!未找到引用源。 的分布列和数学期望.

8. 设错误!未找到引用源。为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱 相交时,错误!未找到引用源。 ;当两条棱平行时,错误!未找到引用源。的值为两条棱之间 的距离;当两条棱异面时,错误!未找到引用源。 . (1)求概率错误!未找到引用源。 ; (2)求错误!未找到引用源。的分布列,并求其数学期望错误!未找到引用源。 .

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高级中学 2015 届高三数学寒假作业---概率统计训练题答案
1. 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无 法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。 (注:方差错误!未找到引用源。 ,其中错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,?? 错误!未找到引用源。的平均数) 解: (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 错误!未找到引用源。 方差为错误!未找到引用源。 (Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组 同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20, 21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵” 所以该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)=错误!未找到引用源。 同理可得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 所以随机变量 Y 的分布列为: Y 17 错误! 未找 P 到引 用源。 到引 用源。 到引 用源。 到引 用源。 到引 用源。 18 错误! 未找 19 错误! 未找 20 错误! 未找 21 错误! 未找

-5-

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21) =17×错误!未找到引用源。+18×错误!未找到引用源。+19×错误!未找到引用 源。+20×错误!未找到引用源。+21×错误!未找到引用源。=19. 2. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该校合唱 团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; 参加人数 (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次 数恰好相等的概率; 50 (3)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加 活动次数之差的绝对值, 求随机变量 ? 的分布列及 数学期望 E? . 40 30 20 10 1 2 3 活动次数

解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数 分别为 10、50 和 40.
100

(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为 1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 ? 230 ? 2.3 .
100

(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为

P0 ?

2 2 2 C10 ? C50 ? C40 41 ? . 2 C100 99

(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动”为 事件 A ,“这两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B ,“这两人中一人参 加 1 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 C .易知
1 1 1 1 C50 C40 50 C1 C1 8 50 P(? ? 1) ? P( A) ? P( B) ? C10C ? ? ; P(? ? 2) ? P(C ) ? 10 2 40 ? ; 2 4

C100

C100

99

C100

99

? 的分布列:
?

0
41 99

1
50 99

2
8 99

P

? 的数学期望: E? ? 0 ?

41 50 8 2 ? 1? ? 2 ? ? . 99 99 99 3

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3. 甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛 进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止. 设甲在每局中获胜的概 开始
n ? 0, S ? 0, T ? 0
a, b 输入

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停 2 5 止的概率为 . 9
率为 p ( p ? 若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得分数 S 、 T 的程序框 图 .其中如 果甲获胜 ,输 入 a ? 1 , b ? 0 ;如 果乙获胜 ,则 输入

S ? S ? a, T ? T ? b

a ? 0, b ? 1 .
(1)在右图中,第一、第二两个判断框应分别填写什么条件? (2)求 p 的值; (3)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列 和数学期望 E? . 解: (1)程序框图中的第一个条件框应填 M ? 2 ,第二个应填 n ? 6 . (注意:答案不唯一.如:第一个条件框填 M ? 1 ,第二个条件框填

M ? S ?T
n ? n ?1

?

Y

N N
?

Y
n, S , T 输出

n ? 5 ,或者第一、第二条件互换.都可以. )
(2)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束.

结束

? 有 p 2 ? (1 ? p ) 2 ?

(3)解法一:依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

5 . 9

解得 p ?

2 1 或p? 3 3

?p?
5 . 9

1 , 2

?p?

2 . 3

若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮 比赛是否停止没有影响. 从而有 P(? ? 2) ?
5 , 9

5 5 20 5 5 16 P(? ? 4) ? (1 ? )( ) ? , P (? ? 6) ? (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? . 9 9 81 9 9 81

? 随机变量 ? 的分布列为:

?

2
5 9

4
20 81

6

P

16 81

-7-

5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81 解法二:依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.
令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? . 3 3 81 随机变量 的分布列为: ? ?

?

2
5 9

4
20 81

6

P
5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81

16 81

4. 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所 得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

-8-

5. 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是错误!未找 到引用源。 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p. (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.(i)求恰好摸 5 次停 止的概率;(ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为错误!未找到引用源。 ,求随机变量 错误!未找到引用源。的分布率及数学期望 E 错误!未找到引用源。 . (Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个 红球的概率是错误!未找到引用源。 ,求 p 的值. 解: (I) (i) 错误!未找到引用源。 (ii) 随机变量错误!未找到引用源。的取值为 0, 1, 2, 3. 由 n 次独立重复试验概率公式错误!未找到引用源。得 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 随机变量错误!未找到引用源。的分布列是 错误! 0 1 2 3 未找到 引 用 源。 错误! 错误! 错误! 错误! 错误! 未找到 未找到 未找到 未找到 未找到 引 用 引 用 引 用 引 用 引 用 源。 源。 源。 源。 源。 错误!未找到引用源。的数学期望是 错误!未找到引用源。 (II) 设袋子 A 有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球。 由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。 6. 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同, 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,
-9-

若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在一次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数错误!未找到引用源。的分布列及数学期望错误!未找到 引用源。. 【解析】 (Ⅰ) (i)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。. (ii)设“在一次游戏中获奖”为事件 B,则 B=错误!未找到引用源。,又 错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。互斥,所以错误!未找到引用源。. (Ⅱ)由题意可知错误!未找到引用源。的所有可能取值为 0,1,,2, P(错误!未找到引用源。=0)=错误!未找到引用源。, P(错误!未找到引用源。=1)=错误!未找到引用源。, P(错误!未找到引用源。=2) =错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。的分布列是 错误!未找到引 用源。 P 错误!未找到引 用源。 错误!未找到引 用源。 错误!未找到引 用源。 0 1 2

错误!未找到引用源。的数学期望错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 7. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球, 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设错误!未找到引用源。为取出的 4 个球中红球的个数,求错误!未找到引用源。 的分布列和数学期望. (Ⅰ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件错误!未找到引用源。, “从乙盒 内取出的 2 个球均为黑球”为事件错误!未找到引用源。.由于事件错误!未找到引用源。 相互独立,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 故取出的 4 个球均为黑球的概率为错误!未找到引用源。. (Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球, 1 个是黑球”为事件错误!未找到引用源。, “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个 是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件错误!未找到引用源。.由于事件错误! 未找到引用源。互斥, 且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为错误!未找到引用源。.
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(Ⅲ)解:错误!未找到引用源。可能的取值为错误!未找到引用源。.由(Ⅰ) , (Ⅱ) 得错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。.从而错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。的分布列为 错误! 未找 到引 用源。 错误! 未找 到引 用源。

0

1

2

3

错误! 错误! 未找 未找到 到引 引用 用源。 源。

错误! 未找到 引用 源。

错误! 未 找到引 用源。

错误!未找到引用源。的数学期望错误!未找到引用源。. 8. 设错误!未找到引用源。为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱 相交时,错误!未找到引用源。 ;当两条棱平行时,错误!未找到引用源。的值为两条棱之间 的距离;当两条棱异面时,错误!未找到引用源。 . (1)求概率错误!未找到引用源。 ; (2)求错误!未找到引用源。的分布列,并求其数学期望错误!未找到引用源。 .

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