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高中数学:任意角的三角函数-课件

时间:2016-07-29


1.2.1 任意角的三角函数

1.复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数,如图:
C

A

B

BC sin A ? AC

AB cos A ? AC

BC tan A ? AB

你能在直角坐标系中来表示锐角

三角函数吗?

2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半 轴重合,那么它的终边在第一象限.
α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的 距离是_______________ r ? a ?b ? 0
2 2

过P作x轴的垂线,垂足为M,则
线段OM的长度为___ a

y P(a,b)

b 线段MP的长度为___

α
O M x

MP b OM a MP b sin ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? OP r OP r OM a

将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上
MP sin ? ? ? b, OP OM cos ? ? ? a, OP MP b tan ? ? ? OM a
以原点 O 为 圆心,以单 位长度为 半径的圆 称为单位 圆
y y P(a,b) 1 α P(a,b) x M A(1,0)

α

O

M

x

3.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα, 即 sinα=y (2) x叫做α的余弦,记作cosα, y 即 cosα=x P(x,y) α y x (3) 叫做α正切,记作tanα, A(1,0) x 即 y tan ? ? ? x ? 0 ? ? x ? ? ? k? ? k ? Z ?
2

4.三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数
弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 了一一对应关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数

5.典型例题

5? 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 3 5? 解: 在直角坐标系中,作出 ?AOB = 3 5? 3 y
sin 3 ?? 2
5? 3

5? 1 cos ? 3 2
5? tan ?? 3 3

O

A x
?1 3? B? ? 2 ,? 2 ? ? ? ?



例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值

解: OP0 ? ? ?3? ? ? ?4? ? 5 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、 P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
2 2

y ? MP sin ? ? y ? ? 1 OP M 0 P0 4 ?? ?? ; OP0 5

M0 P 0 ? 4, MP ? ? y, OM 0 ? 3, OM y ? ? x
M0 M
O

x

P(x,y) P0(-3,-4)

OM 0 x ? OM 3 cos ? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP0 5

y sin ? 4 tan ? ? ? ? x cos ? 3

知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.
r ? x2 ? y 2
MP x sin ? ? ? , OP r OM y cos ? ? ? , OP r MP y tan ? ? ? OM x

P(x,y)

y

M

α
O x

6.三角函数的定义域
sin ? ? y cos ? ? x y tan ? ? x

三角函数
sinα

定义域
R R

cosα
tanα

{? | ? ?

?

2

? k? , k ? Z }

根据三角函数的定义 ,研究三 角函数值在各个象限的符号
sin ? ? y
y

cos ? ? x

y tan ? ? x
y y

+ O

+

x

+
O

x

+
O

-

-

+

+

-

x

sin ?

cos?
二正弦 三正切

tan ?
四余弦

口诀: 一全正

例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角θ为第三角限角 ?sin ? ? 0, ① 证明:如果①②式都成立,那么θ为第三 象限角. 若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第 三或第四象限,也可能位于y轴的非正半 轴上 又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以θ角的终边只能
? ② tan ? ? 0. ?

7.终边相同的角的同一种三角函数值相等 诱导公式一
sin ?? ? k ? 2? ? ? sin ? cos ?? ? k ? 2? ? ? cos ? tan ?? ? k ? 2? ? ? tan ? 其中k ? Z .

角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值 将重复出现

可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°至360°)角的三角函数值.

例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器 ? ?? 验证: ?1? cos 250? ; ? 2 ? sin ? ? ? ; ? 4?

? 3? tan ? ?672 ? ; ? 4 ? tan 3? .
?

三 象限角,所以cos250° 解:(1)因为250°是第___ <0 (3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) > 0
? ?? 四 象限角,所以 sin ? ? ? < 0 (2)因为 ? 是第____ ? 4? 4

?

(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0


例5 求下列三角函数值
?

9? 11? ? ?1? sin1480 10?; ? 2? cos ; ?3? tan ? ? 4 ? 6 ? ? ? ? 解:?1? sin1480 10? ? sin ? 40 10 ? 4 ? 360 ? ? ? sin 40 10? ? 0.6451

? ?. ?

9? ?? ? ? 2 ? 2 ? cos ?cos ? ? 2? ? ? cos ? 4 ?4 ? 4 2

? 11? ? 3? tan ? ? ? 6

? ? ? ? ? 3 ? ? tan ? ? 2? ? ? tan ? ? ?6 ? 6 3

D __ . 练习1. tan600 的值是 __________
o

3 A. ? 3

3 B. 3

C. ? 3

D. 3

B 练习2. 若 sin θ cos θ ? 0, 则θ在 ________ .
A. 第一、二象限 C. 第一、四象限 B. 第一、三象限 D. 第二、四象限

练习3. 若 cos θ ? 0,且sin2? ? 0则θ的终 C 边在 ____
A. 第一象限 C. 第四象限 B. 第三象限 D. 第二象限

1.下面从图形角度 α的 认识一下三角函数 终边 P
角α的终边与单位圆 交于点P.过点P作x轴 的垂线,垂足为M.
|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|

y
A(1,0)

y P

α的 终边 A(1,0)

MO

x

O

M

x

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y M A(1,0) x P

M
α的 P 终边

A(1,0)

O

O

x

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

思考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它 们的取值与点P的坐标一致?

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|

当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、 M为终点,规定: 当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向, 且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向 为负向,且有负值x. OM=x=cosα 当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、 P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向, 且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为 负向,且有负值y. MP=y=sinα

思考 (2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一 样的线段来表示角α的正切吗?

过点A(1,0)作单 位圆的切线,设它 与α的终边或其 反向延长线相交 于点T. MP tan ? ? OM

α的 终边 P

y
A(1,0)

y P

T α的

终边

MO T

x

A(1,0)

O

M

x

(Ⅱ )
y T
A(1,0)

(Ⅰ )
y M A(1,0) x P T

AT y ? ? AT ? OA x

M
α的 P 终边

O

O

x

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P

y
A(1,0)

MO T

x

例题
求证:当? 为锐角时,sin ? ? ? ? tan ? .

小结
1.任意角的三角函数的定义。

2.明确各种三角函数的定义域。

3.掌握各种三角函数在不同象限的正负 情况.

单位圆:圆心在原点,半径等于单位长度 的圆。 三角函数线:用有向线段的数量来表示。
y P M A T

O

x

sin ? ? MP cos ? ? OM tan ? ? AT

规律:三角函数线是有向线段的数量,要 分清起点、终点。 1)凡含原点的线段,均以原点为起点; 2)不含原点的线段,线段与坐标轴的交点 为起点; 3)正切线AT:起点A一定是单位圆与轴的 非负半轴的交点,终点T为终边(或延长线) 与过A的圆的切线的交点

练习

解:如图 7?

7? 利用三角函数的定义求 的三个三角函数值 6 7? ? 3 1?

1 sin ? y?? 6 2

6

与单位圆的交点为 ? ??
?

y

,? ? 2 2? ?

7? 3 cos ?x?? 6 2 7? y 3 tan ? ? 6 x 3


7? 6

A(1,0)

O
? 3 1? ? ?? 2 ,? 2 ? ? ? ?

x

练习 已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三 角函数值
解: r ? x ? y ?
2 2

? ?12?

2

? 5 ? 13
2

y 5 sin ? ? ? r 13 x 12 cos? ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12


口答: 设α是三角形的一个内角,在sinα, cosα, tanα, tan(α/2)那些可能取负值?

0 ?? ??,
?
2 ?? ??

0?

?

sin ? ? 0, tan

?

2

?

?

2

,

2 cos ? ? 0, tan ? ? 0

?0

练习 确定下列三角函数值的符号 ?1? sin156? >0
? ? ?? ?? ? ? 16 ? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? 0 ? 2 ? cos ? ? cos ?2? ? ? 5 ?? 5? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? cos ? 450 ? 720 ? cos 270 ?0 ? ? ? 3? cos ? ?450 ?

? 17 ? ? tan ? 7 ? ? 3? ? ? tan ? 7 ? ? ? ? ? 0 ? 4 ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 8 8 ? ? ? ? ? 8 ? ? 4? ? ? sin ? ? 4? ? 2? ? ? sin 2? ? 0 ? 5 ? sin ? ? ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ?
? ? ? o ? ? tan 360 ? 196 ? sin196 ? >0 0 6 tan 556 ? ? tan196 ? ?



填表:
角α 0°

角α的弧度数
sinα cosα tanα

0

90° ?

180°

0 1 0

1 0

2

?

270°
3? 2

0 ?1 0

2? ?1 0 1 0 0

360°

反馈训练
(1)若角? 终边上有一点P?? 3, 0? ,则下列函数值不存在 的是( ). A.sin ? B.cos? C. tan ? D. cot ?
m?3 4 ? 2m cos ? ? (2)若 sin ? ? , m?5 m?5

都有意义,则

m ? ________ .
3 (3)若角? 的终边过点 P?a, 8? ,且 cos ? ? ? , 5 则 a ? ________ .


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