nbhkdz.com冰点文库

北京市2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编5:数列


北京 2013 届高三最新文科模拟试题分类汇编 5:数列
一、选择题 错误! 未指定书签。 . 2013 北京海淀二模数学文科试题及答案) ( 若数列

{an } 满足:存在正整数 T ,

对于任意正整数 n 都有 an ? T ? a n 成立,则称数列 {an } 为周期数列,周期为 T . 已知数列

>?an ? 1, an ? 1, ? an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , {an } 满足 a1 ? m (m ? 0) , ? n
A.若 m ?

则下列结论中错误的是 ..





4 ,则 a5 ? 3 5

B.若 a3 ? 2 ,则 m 可以取 3 个不同的值 C.若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列
【答案】

D.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 2013 届 北 京 丰 台 区 一 模 文 科 ) 设 Sn 为 等 比数列 (

?an ? 的 前 n 项
( )

和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则 A.2
【答案】B

S3 a1
B.3 C.4 D.5

错误! 未指定书签。 . 2013 北京顺义二模数学文科试题及答案) ( 已知数列

?an ? 中, an ? ?4n ? 5 ,
( )

等比数列 ?bn ? 的公比 q 满足 q ? an ? an?1 (n ? 2) 且 b1 ? a2 ,则 b1 ? b2 ? L ? bn ? A. 1 ? 4
n

B. 4 ? 1
n

C.

1 ? 4n 3

D.

4n ? 1 3

【答案】

B.

错误!未指定书签。 . (2013 届房山区一模文科数学)设集合 M 是 R 的子集,如果点 x0 ?R 满

足: ?a ? 0, ?x ? M ,0 ? x ? x0 ? a ,称 x 0 为集合 M 的聚点.则下列集合中以 0 为聚点的 有:① {

n | n ? N} ; n ?1

② {x | x ? R, x ? 0} ; B.②④

③ { | n ?N*} ;

2 n

④Z





A.②③
【答案】A

C.①③

D.①③④

错误!未指定书签。 . (2013 届北京西城区一模文科)设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为

Sn ,且 a1 ? 0 .若 S2 ? 2a3 ,则 q 的取值范围是
A. ( ?1, 0) ? (0, ) B. (? , 0) ? (0,1) C. (??, ?1) ? ( , ??)
【答案】B; 错误!未指定书签。 . (2013 届北京海滨一模文)等差数列





1 2

1 2

1 2

D. (??, ? ) ? (1,

1 2

{an } 中, a2 ? 3, a3 ? a4 ? 9, 则 a1a 6
( )

的值为 A. 14
【答案】A

B. 18

C.21

D.27

错误!未指定书签。 . (2013 北京东城高三二模数学文科)在数列 {an } 中,若对任意的 n ? N* ,

都有 题:

an ? 2 an ?1 ? ? t ( t 为常数),则称数列 {an } 为比等差数列, t 称为比公差.现给出以下命 an ?1 an

①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ②若数列 {an } 满足 an ?

2n?1 1 ,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 2 n

③若数列 {cn } 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ( n ? 3 ),则该数列不是比等差数列;④若
{an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {an bn } 是比等差数列.

其中所有真命题的序号是 A.①② B.②③ 【答案】 D.

( C.③④ D.①③



错误!未指定书签。 . (2013 届北京东城区一模数学文科)对于函数 y ? f (x) ,部分 x 与 y 的对

应关系如下表: 1 x y 7

2 4

3 5

4 8

5 1

6 3

7 5

8 2

9 6

数列 {xn } 满足 x1 ? 2 ,且对任意 n ? N* ,点 ( xn , xn?1 ) 都在函数 y ? f (x) 的图象上,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ? x2012 ? x2013 的值为
A.9394
【答案】A

( D.9400



B.9380

C.9396

错误!未指定书签。 (2013 届北京市延庆县一模数学文) 已知等差数列 1, a, b ,等比数列 .

3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为
A.3 或 ?3 【答案】C B.3 或 ?1 C. 3 D. ?3





错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2013 届 北 京 门 头 沟 区 一 模 文 科 数 学 ) 在 等 差 数 列 .

?an ?
( )

中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是 A.15
【答案】A 二、填空题 错误!未指定书签。 (2013 届北京大兴区一模文科) 已知数列 {an } , an+ 1 = an +2 , a1 =1 ,数列 .

B.30

C.31

D.64

禳 1 镲 18 镲 的前 n 项和为 ,则 n=_______. 睚 镲 n an+ 1 a 37 镲 铪
【答案】

18

错误!未指定书签。 (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习文科数学) 在等比数列 .

?an ?

中, 2a3 ? a2 a4 ? 0 ,则 a3 ? ___,若 ?bn ? 为等差数列,且 b3 ? a3 ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等 于________ . 【答案】2;10
错误!未指定书签。(2013 届北京大兴区一模文科)已知函数 f ( x) 是定义在 (0, + .

) 上的单调
, 则









,



x ? N*



,

f ( x ) ? N*

,



f [ f (n)] = 3n

f (2)= ________; f (4) + f (5) = _________
【答案】

3,15

错误!未指定书签。(北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)观察下列算式: .

l =1, 3 2 =3+5, 3 3 = 7+9+11, 3 4 =13 +15 +17 +19 , 3 若某数 n 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 n=____________. 【答案】45 错误!未指定书签。(2013 届北京东城区一模数学文科)数列{an}的各项排成如图所示的三角形 . 形状,其中每一行比上一行增加两项,若 an ? a n (a ? 0) , 则位于第 10 行的第 8 列的项等 于___, a2013 在图中位于___.(填第几行的第几列)

3

【答案】 a

89

第 45 行的第 77 列

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分.
错误!未指定书签。(2013 届北京市延庆县一模数学文)已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满 .

足以下条件: (1) f ( m ? n ) ? f ( m) ? f ( n ) ? mn , 其 中 m, n 为 正 整 数 ;(2) f (3) ? 6 . 则

f (2013) ? ______.
【答案】 2027091 错误!未指定书签。(2013 北京朝阳二模数学文科试题)已知等差数列 .

?an ?的公差为 ?2 , a3 是

a1 与 a4 的等比中项,则首项 a1 ? _,前 n 项和 S n ? __.
【答案】

8; ? n ? 9n n ? N
2

?

错误!未指定书签。(2013 北京朝阳二模数学文科试题)数列 {2 .

n

? 1} 的前 n 项1,3,7,?, 2n ?1

组成集合 An ? {1, 3, 7, , 2 ? 1}( ?N? ) ,从集合 An 中任取 k (k ? 1, 2, 3,? ,n )个数,其 ? n n 所 有 可 能 的 k 个 数 的 乘 积 的 和 为 Tk ( 若 只 取 一 个 数 , 规 定 乘 积 为 此 数 本 身 ), 记

Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . 例 如 当 n ? 1 时 , A1 ? {1} , T1 ? 1 , S1 ? 1 ; 当 n ? 2
时, A2 ? {1,3} , T1 ? 1 ? 3 , T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .则当 n ? 3 时, S3 ? ______;试 写出 Sn ? ______.
【答案】

63, 2

n ( n?1) 2

?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分)
错误! 未指定书签。 2013 北京丰台二模数学文科试题及答案) . ( 等差数列{ an }中, a3

? 5 , a5 ? 3 ,

则该数列的前 10 项和 S10 的值是_______. 【答案】 25;
错误! 未指定书签。 北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题) . ( 在等差数列{an}中,al=-2013,

其前 n 项和为 Sn,若
【答案】 ?2013

S12 S10 =2,则 S 2013 的值等于___________. ? 12 10

错误!未指定书签。(2013 届北京西城区一模文科)已知数列 {an } 的各项均为正整数,其前 n 项 .

? an an是偶数, ? , 和为 Sn .若 an ?1 ? ? 2 且 S3 ? 29 , ?3an ? 1, an是奇数, ?

则 a1 ? ______; S3n ? ______.
【答案】 5 , 7n ? 22 . 三、解答题 错误!未指定书签。 (2013 届北京门头沟区一模文科数学) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 .

S n , a1 ? 1 ,满足下列条件
x2 ? x ① ?n ? N , an ? 0 ;②点 Pn (an , S n ) 在函数 f ( x) ? 的图象上; 2
*

(I)求数列 {an } 的通项 an 及前 n 项和 S n ; (II)求证: 0 ?| Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 1. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效
【答案】解:(I)由题意

a ? an Sn ? n 2
2 2 a n ? a n a n ?1 ? a n?1 ? ? 2 2

2

当n ? 2时

a n ? S n ? S n?1

整理,得

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0

又 ?n ? N * , an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 0 或 an ? an?1 ? 1 ? 0

an ? an?1 ? 0 时, a1 ? 1 ,

an ? ?1 , a n ?1
, Sn ?



an ? (?1)

n ?1

1 ? (?1) n 2

an ? an?1 ? 1 ? 0 时, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 1 ,


an ? n , S n ?

n2 ? n 2
n ?1

(II)证明: an ? an?1 ? 0 时, Pn ((?1)

,

1 ? (?1) n ) 2

| Pn?1 Pn?2 |?| Pn Pn?1 |? 5 ,所以 | Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 0
an ? an?1 ? 1 ? 0 时, Pn (n,
n2 ? n ) 2

| Pn ?1 Pn ?2 |? 1 ? ( n ? 2) 2 , | Pn Pn ?1 |? 1 ? ( n ? 1) 2

| Pn ?1 Pn ?2 | ? | Pn Pn ?1 |? 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 ?

1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2

?

2n ? 3 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2
1 ? (n ? 2) 2 ? n ? 2, 1 ? (n ? 1) 2 ? n ? 1

因为 所以

0?

2n ? 3 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2

?1

综上

0 ?| Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 1

注:不同解法请教师参照评标酌情给分.
错误!未指定书签。(2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)已知等差数列 .

?an ? 的前 n 项和

为 Sn . (I)若 a1 ? 1 , S10 ? 100 ,求 {an } 的通项公式; (II)若 Sn ? n2 ? 6n ,解关于 n 的不等式 Sn ? an ? 2n .
【答案】解:(I)设

{an } 的公差为 d

因为 a1 ? 1 ,

S10 ?

a1 ? a10 ?10 ? 100 2

所以 a1 ? 1, a10 ? 19

所以 d ? 2

所以 an ? 2n ? 1

2 (II)因为 Sn ? n ? 6n 2 当 n ? 2 时, Sn?1 ? (n ? 1) ? 6(n ? 1)

所以 an ? 2n ? 7 , n ? 2 所以 an ? 2n ? 7

又 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?5 ? 2 ? 7
2 所以 Sn ? an ? n ? 4n ? 7

2 2 所以 n ? 4n ? 7 ? 2n ,即 n ? 6n ? 7 ? 0

所以 n ? 7 或 n ? ?1 ,所以 n ? 7 , n ? N
错误!未指定书签。(2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)(本小题满分 13 分) .

1

2 1

3 0

?7
1

?2

设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或 某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号, 称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各 数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可); (Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若经过任意一次“操作”以后, 便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为 非负整数,求整数 a 的值; (Ⅲ)对由 m ? n 个整数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A , 能否经过有限次“操作”以后,使得得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
【答案】解:(I)

a a 2 ? 1 ?a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 a ? 2 a2 表2

法 1:

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 1 2 3 ?7 1 2 3 7 改变第2行 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 ?1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 3:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1
(写出一种即可) (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a ,

? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1, a ? 2 ? ?5 ? 2 a ? 0
② 如果操作第一行

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 解得 a ? 1 综上 a ? 1

(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中 mn 个数之和增加,且增加的幅度大于等于 1 ? ( ?1) ? 2 ,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中 mn

个数之和必然小于等于

??| a
i ?1 j ?1

m

n

ij

|
,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立
错误!未指定书签。(2013 北京顺义二模数学文科试题及答案)已知 Sn 为等差数列 .

?an ? 的前 n

项和,且 S5 ? 30, a1 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 2

? ? 的前 n 项和公式.
an

【答案】解(Ⅰ)设等差数列

?an ? 的公差为 d ,

因为 S5 ? 30, a1 ? a6 ? 14

5? 4 ? d ? 30 ? 5a1 ? 所以 ? 解得 a1 ? 2, d ? 2. 2 ? 2a1 ? 5d ? 14 ?
所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an ? 2n ,令 bn ? 2
an

bn?1 4n?1 则 bn ? 4 , 又 ? n ? 4(n ? N ? ) bn 4
n

所以 bn 是以 4 为首项,4 为公比的等比数列, 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ?
2 3 n

? ?

? ?

4(1 ? 4n ) 4n?1 4 ? ? 1? 4 3 3
*

错误!未指定书签。 (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题) 给定有限单调递增数列 .

{xn}(n∈N ,n≥2)且 xi≠0(1≤ i ≤n),定义集合 A={(xi,xj)|1≤i, j≤n,且 i,j∈N }.若 对任意点 A1∈A,存在点 A2∈A 使得 OA1⊥OA2(O 为坐标原点),则称数列{xn}具有性质 P. (I)判断数列{xn}:-2,2 和数列{yn}:-2,-l,1,3 是否具有性质 P,简述理由. (II)若数列{xn}具有性质 P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj =0: ②若 x1=-1, xn>0 且 xn>1,则 x2=l.
【答案】

*

错误!未指定书签。(2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)已知等差数列 ?an ? 的通项公式 .

为 an=3n-2,等比数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? ?x x ? an , n ? N *?,

B ? ?x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? .
(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?cn ? 的前 50 项和 S50 ; (Ⅲ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,写出数列 ?dn ? 的通项公式,并 说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n-1,
(Ⅱ)根据数列{an}和数列 ?bn ? 的增长速度,数列 ?cn ? 的前 50 项至多在数列{an}中选 50 项, 数列{an}的前 50 项所构成的集合为{1,4,7,10,,148},由 2 <148 得,n≤8,数列{bn}的前 8
n-1

项 构 成 的 集 合 为 {1,2,4,8,16,32,64,128}, 其 中 1,4,16,64 是 等 差 数 列 {an} 中 的 项,2,8,32,128 不是等差数列中的项,a46=136>128,故数列{cn}的前 50 项应包含数列{an} 的前 46 项和数列{bn}中的 2,8,32,128 这 4 项 46(a1 ? a46 ) 所以 S50= ? 2 ? 8 ? 32 ? 128 =3321; 2 (Ⅲ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?dn ? 的通项公式为 dn =2
2n-1

? dn=b2n ,? 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A( n ? N ? )
证明如下: ? b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1, * n-1 n-1 若 ? m∈N ,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4 =3(m+4 )-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A.因 为 b1∈A,重复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? ). 2n+1 2n-1 n n-1 n-1 n-1 同 理 ,b2n+2-b2n=2 -2 =2×4 -2×4 =3×2×4 , 即 b2n+2=b2n+3×2×4 , 因 为 “3×2×4 ” 数列 ?an ? 的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同
n-1

时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论, 2n-1 即得 b2n ? A,? dn =2 ;
错误!未指定书签。 (2013 届北京大兴区一模文科) 已知数列 {a n } 的各项均为正整数,且 .

a1 ? a2 ? ? ? an ,
设集合 Ak ? {x | x ?

? ? a ,?
i ?1 i i

n

i

? ?1,或?i ? 0,或?i ? 1} 1 ≤ k ≤ n) ( .
k

性质 1 若对于 ?x ? Ak ,存在唯一一组 ?i ( i ? 1,2, ???,k )使 x ? ? ?i ai 成立,则称数列 {a n }
i ?1

为完备数列,当 k 取最大值时称数列 {a n } 为 k 阶完备数列.

(1≤ k ≤ n) 性质 2 若记 mk ? ? ai ,且对于任意 x ≤ mk , x ? Z ,都有 x ? Ak 成立,则称数
i ?1

k

列 {a n } 为完整数列,当 k 取最大值时称数列 {a n } 为 k 阶完整数列. 性质 3 若数列 {a n } 同时具有性质 1 及性质 2,则称此数列 {a n } 为完美数列,当 k 取最大值 时 {a n } 称为 k 阶完美数列; (Ⅰ)若数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求集合 A2 ,并指出 {a n } 分别为几阶完备数列, 几阶完整数列,几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 {a n } 的通项公式为 an ? 10
n?1

,求证:数列 {a n } 为 n 阶完备数列,并求出集合

An 中所有元素的和 S n .

(Ⅲ)若数列 {a n } 为 n 阶完美数列,试写出集合 An ,并求数列 {a n } 通项公式. 2013 年高三统一练
【答案】解:(Ⅰ) A2

? {?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4} ;

{a n } 为 2 阶完备数列, n 阶完整数列,2 阶完美数列;
(Ⅱ)若对于 ?x ? An ,假设存在 2 组 ? i 及 ?i ( i ? 1,2?, n )使 x ?

?? a
i ?1 i

n

i

成立,则有

?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n 10n?1 ? ?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n10n?1 ,即
(?1 ? ?1 )100 ? (?2 ? ?2 )101 ? ? ? (?n ? ?n )10n?1 ? 0 , 其 中 ?i , ?i ?{?1,0,1} , 必 有

?1 ? ?1 , ?2 ? ? 2 ??n ? ? n ,
所以仅存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ? 即数列 {a n } 为 n 阶完备数列;

?? a
i ?1 i

n

i

成立,

S n ? 0 ,对 ?x ? An , x ? ? ?i ai ,则 ? x ? ?? ?i ai ?? (??i )ai ,因为 ?i ? {?1,0,1} ,
i ?1

n

n

n

i ?1

i ?1

则 ? ?i ? {?1,0,1} ,所以 ? x ? An ,即 S n ? 0 (Ⅲ)若存在 n 阶完美数列,则由性质 1 易知 An 中必有 3 个元素,由(Ⅱ)知 An 中元素成对 出现(互为相反数),且 0 ? An ,又 {a n } 具有性质 2,则 An 中 3 个元素必为
n n

An ? {?

3n ? 1 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 1 ,? ,? ? 1,0,1,? , }. 2 2 2 2

an ? 3n?1
错误! 未指定书签。 . (2013 北京朝阳二模数学文科试题) 已知实数 x1 , x2 ,?, xn ( n ? N 且 n ? 2 )
?

满足 | xi |? 1

?i ? 1,2, ???, n? ,记 S ( x1, x2 ,?, xn ) ? ?
2 3

1?i ? j ?n

xi x j .

(Ⅰ)求 S ( ?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值; (Ⅲ)当 n 为奇数时,求 S ( x1 , x2 ,?, xn ) 的最小值.

注:

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,?, xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ?
2 3 2 2 ? ? ?1 . 3 3

j ? n )的乘积之

【答案】解:(Ⅰ)由已知得 S (?1,1, ? ) ? ?1 ?

S (1,1, ?1, ?1) ? 1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ? ?2
(Ⅱ) n ? 3 时, S ? S ( x1 , x2 , x3 ) ?
1?i ? j ?3

?

xi x j ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 .

固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,那么 S 是 x1 的一次函数或常函数, 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ), S (?1, x2 , x3 )} . 同理 S (1, x2 , x3 ) ? min{S (1,1, x3 ), S (1, ?1, x3 )} .

S (?1, x2 , x3 ) ? min{S (?1,1, x3 ), S (?1, ?1, x3 )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可以被某一组取值 ?1 的 x1 , x2 , x3 所达到,于是

S ? min{S ( x1 , x2 , x3 )} .
xk ??1 k ?1,2,3

当 xk ? ?1( k ? 1, 2,3 )时,

1 1 3 2 2 S ? [( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? ( x12 ? x2 ? x3 )] ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? . 2 2 2 1 3 因为 | x1 ? x2 ? x3 |? 1 ,所以 S ? ? ? ?1 ,且当 x1 ? x2 ? 1 , x3 ? ?1 ,时 S ? ?1 , 2 2
因此 Smin ? ?1 (Ⅲ) S ? S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j

? x1x2 ? x1x3 ? ? ? x1 xn ? x2 x3 ? ?? x2 xn ? ?? xn?1xn .
固定 x2 , x3 ,?, xn ,仅让 x1 变动,那么 S 是 x1 的一次函数或常函数, 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ,?, xn ), S (?1, x2 , x3 ,?, xn )} . 同理 S (1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (1,1, x3 ,?, xn ), S (1, ?1, x3 ,?, xn )} .

S (?1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (?1,1, x3 ,?, xn ), S (?1, ?1, x3 ,?, xn )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可以被某一组取值 ?1 的 x1 , x2 ,?, xn 所达到, 于是 S ? min {S ( x1 , x2 ,? , xn )} .
xk ??1 k ?1,2,?, n

当 xk ? ?1( k ? 1, 2,?, n )时,

1 1 n 2 2 S ? [( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? ( x12 ? x2 ? ? ? xn )] ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? . 2 2 2
当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x2 ? ? ? xn |? 1 , 所以 S ? ?

1 ( n ? 1) ,另一方面,若取 x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? 1 , 2 2

1 1 xn?1 ? xn?1 ? ? ? xn ? ?1 ,那么 S ? ? (n ? 1) ,因此 Smin ? ? (n ? 1) ?1 ?2 2 2 2 2
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 第 一 次 综 合 练 习 文 科 数 学 ) 由 .

1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 按任意顺序组成的没有重复数字的数组,记为 ? ? ( x1 , x2 ,? , x10 ) ,
设 S (? ) ?

?| 2x
k ?1

10

k

? 3 xk ?1 | ,其中 x11 ? x1 .

(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8, 7, 6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求证: S (? ) ? 55 ; (Ⅲ)求 S (? ) 的最大值. (注:对任意 a, b ? R , a ? b ? a ? b ? a ? b 都成立.)
【答案】解:(Ⅰ) S (? ) ?

?| 2x
k ?1

10

k

? 3 xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57

(Ⅱ)证明:由 a ? b ? a ? b 及其推广可得,

S (? ) ? 2 x1 ? 3 x2 ? 2 x2 ? 3 x3 ? ? ? 2 x10 ? 3 x11 ? 2( x1 ? x2 ? ? ? x10 ) ? 3( x2 ? x3 ? ? ? x11 )
= x1 ? x2 ? ? ? x10 ?

10(1 ? 10) ? 55 2

(Ⅲ) 10,9,8, 7, 6,5, 4,3, 2,1 的 2 倍与 3 倍共 20 个数如下:

20,18,16,14,12,10,8, 6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9, 6,3
其中最大数之和与最小数之和的差为 203 ? 72 ? 131 ,所以 S (? ) ? 131 ,

对于 ? 0 ? (1,5, 6, 7, 2,8,3,9, 4,10) , S (? 0 ) ? 131 , 所以 S (? ) 的最大值为 131 注:使得 S (? ) 取得最大值的有序数组中,只要保证数字 1,2,3,4 互不相邻,数字 7,8,9,10 也互不相邻,而数字 5 和 6 既不在 7,8,9,10 之一的后面,又不在 1,2,3,4 之一的前面都符 合要求. 错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013 届 北 京 西 城 区 一 模 文 科 ) 已 知 集 合

Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N* , i ? 1,2,?, n} (n ? 2) .
对 于

A ? (a1 , a2 ,?, an )

,

B ? (b1, b2 ,?, bn ) ? Sn

,





??? ? AB ? (b1 ? a b ?,a ? 2bn ? an ;2 , 1

,

)

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ?R) ; A 与 B 之 间 的 距 离 为
d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1 n

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2,5) , B ? (2, 4, 2,1,3) ,求 d ( A, B) ; (Ⅱ)证明:若 A, B, C ? Sn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? S20 .若 A , B ? S20 ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 ,求 d ( A, B) 的最大 值. 北京市西城区 2013 年高三一模试
【答案】(Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 d ( A, B) ?

??? ?

??? ?

?| a ? b | ,
i ?1 i i

5

得 d ( A, B) ? |1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ?1| ? | 5 ? 3| ? 7 , 所以 d ( A, B) ? 7 (Ⅱ)证明:设 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) . 因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC , 所以 ?? ? 0 ,使得 (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1, c2 ? b2 ,?,cn ? bn ) , 所以 ?? ? 0 ,使得 bi ? ai ? ? (ci ? bi ) ,其中 i ? 1, 2,?, n .

??? ?

??? ?

所以 bi ? ai 与 ci ? bi (i ? 1, 2,?, n) 同为非负数或同为负数 所以 d ( A, B) ? d ( B, C ) ?

?| ai ? bi | ??| bi ? ci |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |)
i ?1 n

n

? ? | ci ? ai | ? d ( A, C )
i ?1

(Ⅲ)解法一: d ( A, B) ?

?| b ? a | .
i ?1 i i

20

设 bi ? ai (i ? 1, 2,?, 20) 中 有 m (m ? 2 0 )项 为 非 负 数 , 20 ? m 项 为 负 数 . 不 妨 设

i ? 1, 2,?, m 时 bi ? ai ? 0 ; i ? m ? 1, m ? 2,?, 20 时, bi ? ai ? 0 .
所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |
i ?1 i i

20

? [(b1 ? b2 ? ?? bm ) ? (a1 ? a2 ? ?? am )] ? [(am?1 ? am?2 ? ?? a20 ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? b20 )]
因为 d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 ,

所以

? (a ?1) ? ?
i ?1 i i ?1

20

20

(bi ? 1) , 整理得

? a ? ?b .
i ?1 i i ?1 i

20

20

所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |? 2[b ? b
i ?1 i i 1

20

2

? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )]

因为 b1 ? b2 ? ?? bm ? (b1 ? b2 ? ?? b20 ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? b20 )

? (13 ? 20) ? (20 ? m) ?1 ? 13 ? m ;
又 a1 ? a2 ? ?? am ? m ?1 ? m , 所以 d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ? ?? bm ? (a1 ? a2 ? ?? am )]

? 2[(13 ? m) ? m] ? 26 .
即 d ( A, B) ? 26

对 于

A ? (1,1,?,1,14) , B ? (14,1,1,?,1) , 有

A

,

B ? S20 , 且

d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 , d ( A, B) ? 26 .
综上, d ( A, B) 的最大值为 26 解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y | ?| x | ? | y | . 所以 d ( A, B) ?

?| b ? a | ? ?| (b ?1) ? (1 ? a ) |
i ?1 i i i ?1 i i

20

20

? ? (| bi ? 1| ? |1 ? ai |)
i ?1 20

20

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 26
i ?1 i ?1

20

上式等号成立的条件为 ai ? 1 ,或 bi ? 1 ,所以 d ( A, B) ? 26 对 于

A ? (1,1,?,1,14) , B ? (14,1,1,?,1) , 有

A

,

B ? S20 , 且

d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 , d ( A, B) ? 26 .
综上, d ( A, B) 的最大值为 26
错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013 北 京 西 城 高 三 二 模 数 学 文 科 ) 已 知 集 合

Sn ? {( x1 , x2 ,?, xn ) | x1, x2 ,?, xn 是正整数 1, 2,3,?, n 的一个排列 } (n ? 2) ,函数

?1, x ? 0, g ( x) ? ? ??1, x ? 0.
对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn ,定 义: bi ? g (ai ? a1 ) ? g (ai ? a2 ) ? ?? g (ai ? ai ?1 ), i ?{2,3,?, n} , b1 ? 0 ,称 bi 为 ai 的满 意指数.排列 b1 , b2 ,?, bn 为排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列. (Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列;

? ? ? (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,?, an ,进行如下操作:将排列 a1 , a2 ,?, an 从左至右第一个满 意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各 项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 .
【答案】(Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4,3

? ? ? (Ⅱ) 证 明 : 设 a1 , a2 ,?, an 的 生 成 列 是 b1 , b2 ,?, bn ; a1 , a2 ,?, an 的 生 成 列 是 与 ? ? b1?, b2 ,?, bn . ? ? ? ? 从 右 往 左 数 , 设 排 列 a1 , a2 ,?, an 与 a1 , a2 ,?, an 第 一 个 不 同 的 项 为 ak 与 ak , ? ? ? ? 即: an ? an , an?1 ? an?1 , ? , ak ?1 ? ak ?1 , ak ? ak . ? ? ? ? 显然 bn ? bn , bn?1 ? bn?1 , ? , bk ?1 ? bk ?1 ,下面证明: bk ? bk
由满意指数的定义知, ai 的满意指数为排列 a1 , a2 ,?, an 中前 i ? 1项中比 ai 小的项的个数 减去比 ai 大的项的个数. 由于排列 a1 , a2 ,?, an 的前 k 项各不相同,设这 k 项中有 l 项比 ak 小,则有 k ? l ? 1 项比 ak 大,从而 bk ? l ? (k ? l ? 1) ? 2l ? k ? 1 .

? ? ? ? ? 同 理 , 设 排 列 a1 , a2 ,?, an 中 有 l ? 项 比 ak 小 , 则 有 k ? l ? ? 1 项 比 ak 大 , 从 而 ? bk ? 2l ? ? k ? 1 . ? ? ? ? 因为 a1 , a2 ,?, ak 与 a1 , a2 ,?, ak 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak ? ak , ? 所以 l ? l ? , 从而 bk ? bk . ? ? ? 所以排列 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 的生成列也不同
(Ⅲ)证明:设排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列为 b1 , b2 ,?, bn ,且 ak 为 a1 , a2 ,?, an 中从左至右 第一个满意指数为负数的项,所以 b1 ? 0, b2 ? 0,?, bk ?1 ? 0, bk ? ?1 依题意进行操作,排列 a1 , a2 ,?, an 变为排列 ak , a1 , a2 ,?ak ?1 , ak ?1 ,?, an ,设该排列的生

? ? ? 成列为 b1 , b2 ,?, bn

? ? ? 所以 (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? [ g (a1 ? ak ) ? g (a2 ? ak ) ? ?? g (ak ?1 ? ak )] ? [ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )]
? ?2[ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )] ? ?2bk ? 2 .
所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2
错误!未指定书签。(2013 届房山区一模文科数学)对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为 .

整 数 ” 的 实 数 y 称 为 实 数 x 的 小 数 部 分 , 用 记 号

x 表示.例如

1.2 ? 0.2, ?1.2 ? 0.8,
? 1 ? 件: a1 ? a , an ?1 ? ? an ? ?0
(Ⅰ)若 a ?

8 1 ? . 对 于 实 数 a , 无 穷 数 列 ?an ? 满 足 如 下 条 7 7
an ? 0, an ? 0,

? 其中 n ? 1,2,3, .

3 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 11 1 (Ⅱ)当 a ? 时,对任意的 n ? N* ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A ; 2 p (Ⅲ)设 a ? ( p 是正整数, p 与 2013 互质),对于大于 2013 的任意正整数 n ,是否都 2013
有 an ? 0 成立,证明你的结论.
【答案】(Ⅰ) a1 ?

3 3 1 11 2 1 3 1 ? , a2 ? ? ? , a3 ? ? ? 11 11 a1 3 3 a2 2 2

a4 ?

1 ? 2 ? 0, a3

3 2 1 , a2 ? , a3 ? , an ? 0 (n ? 4) 11 3 2 1 1 1 (Ⅱ)? a1 ? a ? a , a ? 则 ? a ? 1 ,从而 1 ? ? 2 2 2 a
所以 a1 ? 则 a2 ?

1 1 1 ? ? ?1 ? a a1 a a

所以 a 2 ? a ? 1 ? 0

解得: a ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ? 1 ? , (a ? ? ? ,1? ,舍去) 2 2 ?2 ?
5

?? 所以集合 Aa ? ?1 ?

2

?

(Ⅲ)结论成立 易知 a 是有理数,所以对一切正整数 n , an 为 0 或正有理数,
an ? pn qn



(

p n 是非负整数, qn 是正整数,且 pn , qn 互质)

a1 ?
由 若

p p ? 1 2013 q1 ,可得 0 ? p1 ? 2013 ;

pn ? 0 ,设 qn ? ? pn ? ? ( 0 ? ? ? pn , ? , ? 是非负整数)

qn p q ? 1 ?? ? an ? n ? n p qn 得 an pn pn ,而由 则 n

an?1 ?

q 1 ? ? n ? an pn pn

,故

pn?1 ? ? , qn?1 ? pn ,可得 0 ? pn?1 ? pn

若 若

pn ? 0 则 pn?1 ? 0 ,
a1 ,a2 , a3 , ???, a2013
均不为 0,则这 2013 个正整数

pn (n ? 1, 2,3,?, 2013) 互不相同且

都小于 2013 ,但小于 2013 的正整数共有 2012 个,矛盾. 故

a1 ,a2 , a3 , ???, a2013

中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? 2013) ,使得

am ? 0 .

从而数列

?an ?中 am 以及它之后的项均为 0,
an ? 0

所以对于大于 2013 的自然数 n ,都有

错误!未指定书签。 (2013 北京西城高三二模数学文科) 已知等比数列 {an } 的各项均为正 .

数, a2 ? 8 , a3 ? a4 ? 48 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log4 an .证明: {bn } 为等差数列,并求 {bn } 的前 n 项和 Sn .
【答案】

(Ⅰ)解:设等比数列 {an } 的公比为 q ,依题意 q ? 0 因 为 a2 ? 8 , a3 ? a4 ? 48 , 两式相除得 q ?q ?6 ? 0 ,
2

解得 q ? 2 , 舍去

q ? ?3 所以 a1 ?

a2 ?4 q

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? qn?1 ? 2n?1

n ?1 n ? 2 n ?1 1 ? ? , 因为 bn ?1 ? bn ? 2 2 2 2 1 所以数列 {bn } 是首项为 1 ,公差为 d ? 的等差数列 2
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 bn ? log 4 an ? 所以 Sn ? nb1 ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n d? 2 4

错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013 北 京 东 城 高 三 二 模 数 学 文 科 ) 已 知 数 列

{an } , a1 ? 1 , a2n ? an , a4n?1 ? 0 , a4n?1 ? 1 (n ? N*) .
(Ⅰ)求 a4 , a7 ; (Ⅱ)是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an .
【答案】(共 13 分)

解:(Ⅰ) a4 ? a2 ? a1 ? 1 ;

a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ)假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ), 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4( n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ), 则 a2n?T ? a2n ? an , 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an
错误!未指定书签。(2013 北京昌平二模数学文科试题及答案)已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n .

而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t

项和,且 a3 ? S3 ? 9 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? a2 , b4 ? S4 ,求 {bn } 的前 n 项和公式.
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d .因为 a3

? S3 ? 9 ,

所以 ?

?a1 ? 2d ? 9 ?3a1 ? 3d ? 9

解得 a1 ? ?3, d ? 6

所以 an ? ?3 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 9 (II)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,因为 b1 ? a2 ? (?3) ? 6 ? 3, b4 ? S4 =-12+36=24, 所以 3q ? 24, 解得,q ? 2.
3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Tn ?

b1 (1 ? q n ) ? 3(2n ? 1). 1? q

错误! 未指定书签。 2013 届北京丰台区一模文科) . ( 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an

为 n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”: ① ②

a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 0 ;

a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 1.

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (Ⅱ)若某 2013 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) ,试证: S k ? 丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习(一
【答案】设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:

1 . 2

③ ④

a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 0 ;
a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 1.

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (Ⅱ)若某个 2013 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) ,试证: S k ?

1 . 2

解:(Ⅰ)数列 ?

1 1 , 0, 为三阶期待数列 2 2

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为四阶期待数列, 8 8 8 8

(其它答案酌情给分)

(Ⅱ)设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d , 因为 a1 ? a2 即 a1007

? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,? 2013(a1 ? a2013 ) ? 0, ? a1 ? a2013 ? 0 ,
2

? 0 , ? a1008 ? d ,
? a1009 ? ? ? a2013 ? 1 , 2

当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, 当 d>0 时,据期待数列的条件①②可得 a1008

? 1006d ? ?

1006 ?1005 1 1 d ? , 即d ? , 2 2 1006 ?1007
数 列 的 通 项 公 式 为



an ? a1007 ? (n ? 1007)d ?
当 d<0 时,同理可得 an ?

n ? 1007 . ? n ? N *且n ? 2013? , 1006 ?1007

? n ? 1007 . ? n ? N *且n ? 2013? 1006 ? 1007

(Ⅲ)当 k=n 时,显然

Sn ? 0 ?

1 成立; 2

当 k<n 时,根据条件①得

Sk ? a1 ? a2 ? ?? ak ? ?(ak ?1 ? ak ?2 ????? an ) ,
即 S k ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? an ,

? 2 Sk ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? an ? 1,

Sk ?

1 (k ? 1, 2,3,? , n). 2

错误!未指定书签。(2013 北京房山二模数学文科试题及答案)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , .

且 an ?1 ?

2Sn (n ? N* ) ,其中 a1 ? 1, an ? 0 . an

(Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅲ)设数列 ?bn ? 满足 (2an ?1)(2 n ?1) ? 1 , Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,试比较 Tn 与
b

log 2 (2an ? 1) 的大小,并说明理由
【答案】(Ⅰ)由于 a2

?

2S1 2a1 2S 2(a1 ? a2 ) ? ? 2 , a3 ? 2 ? ?3 a1 a1 a2 a2

(Ⅱ)由已知可知 S n ?

1 1 1 an an ?1 ,故 an ?1 ? S n ?1 ? S n ? an ?1an ? 2 ? an an ?1 . 2 2 2

因为 an?1 ? 0 ,所以 an?2 ? an ? 2 (n ?N* ) 于是 a2m?1 ? 1 ? 2(m ?1) ? 2m ?1 , a2m ? 2 ? 2(m ? 1) ? 2m ,所以 an ? n (n ?N* ) (Ⅲ) Tn ? log 2 (2an ? 1) 要比较 Tn 与 log 2

(2an ? 1) 的大小,只需比较 2Tn , log2 (2an ? 1) 的大小
b

b b 由 (2an ?1)(2 n ?1) ? 1 ,得 (2n ?1)(2 n ?1) ? 1, 2 n ?

2n 2n ,故 bn ? log 2 2n ? 1 2n ? 1

从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ?

2n ? ?2 4 6 ? ? ? ?? ?. 2n ? 1 ? ?1 3 5
2

2n ? 2n ? ?2 4 6 ?2 4 6 2Tn ? 2log 2 ? ? ? ??? ? ? log 2 ? ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ?1 3 5 ?1 3 5
2

2n ? ?2 4 6 因此 2Tn ? log2 (2an ? 1) ? log 2 ? ? ? ??? ? ? log2 (2n ? 1) 2n ? 1 ? ?1 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ?2 4 6 ?2 4 6 ? log2 ? ? ? ??? ? log2 [? ? ? ??? ]. ? ? log 2 ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?1 3 5 ?1 3 5
设 f (n) ? ?
2 2

2n ? 1 ?2 4 6 , ? ? ?? ? ? ? 2n ?1 ? 2n ? 1 ?1 3 5
2

2

2n 2n ? 2 ? 1 ?2 4 6 则 f (n ? 1) ? ? ? ? ??? , ? ? ? 2n ?1 2n ? 1 ? 2n ? 3 ?1 3 5
4n 2 ? 8n ? 4 f (n ? 1) 2n ? 1 ? 2n ? 2 ? (2n ? 2)2 ? 2 ? 1, 故 ? ?? ? ? f (n) 2n ? 3 ? 2n ? 1 ? (2n ? 3)(2n ? 1) 4n ? 8n ? 3
2

又 f (n) ? 0 ,所以 f (n ? 1) ? f (n) . 所以对于任意 n ? N
*

都有 f (n) ? f (1) ?

4 ?1 , 3

从而 2Tn ? log2 (2an ? 1) ? log2 f (n) ? 0 .所以 2Tn ? log2 (2an ? 1),n ?N* . 即

Tn ? log2 (2an ? 1)

错误!未指定书签。(2013 届北京东城区一模数学文科)设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数 .

组,记作: A ? (a1, a2 ,?, ai ,?, an ) .其中 ai (i ? 1, 2,?, n) 称为数组 A 的“元”, i 称为 ai 的 下标. 如果数组 S 中的每个“元”都是来自 数组 A 中不同下标的“元”,则称 S 为 A 的 子 数 组 . 定 义 两 个 数 组 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) 的 关 系 数 为

C( A, B) ? a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn .
(Ⅰ)若 A ? ( ? 的最大值; (Ⅱ)若 A ? (

1 1 , ) , B ? (?1,1, 2,3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组,求 C ( A, S ) 2 2

3 3 3 , , ) , B ? (0, a, b, c) ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 , S 为 B 的含有三个“元” 3 3 3

的子数组,求 C ( A, S ) 的最大值.
【答案】(共 13 分)

解:(Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等,及 B 中 a, b, c 三个“元”的 对称性,可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . 3

由 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2 , 得 ? 2 ? a?b ?

2.
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ? 于是 C ( A, S ) ?

3 6 . ( a ? b) ? 3 3 3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ?
2 2 2 由于 a ? b ? c ? 1 ,

所以 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc .
2 2 2 2

? 3(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ,
当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? ( a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1.


北京2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编5:数列

北京2013 届高三最新文科模拟试题分类汇编 5:数列一、选择题 1 .( 2013 北京海淀二模数学文科试题及答案) 若数列 {an } 满足:存在正整数 T , 对于任意正整数...

2013北京市文科数学模拟试题分类汇编5:数列

北京市2013届高三最新文科... 8页 免费 2014届高三文科数学一轮复... 23页...2013 年北京市文数分类汇编 5:数列一、选择题 1 .(2013 海淀二模文数)若数列...

北京市2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5:数列

北京2013 届高三理科数学最新模拟试题分类汇编 5:数列一、选择题 错误!未指定书签。 .(2013 届北京西城区一模理科)等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ...

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5:数列[来源:学优高考网3185664]

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5:数列[来源:学优高考网3185664]_数学_高中教育_教育专区。北京 2013 届高三理科数学最新模拟试题分类汇编 5:数列题一、...

北京2013届高三最新理科试题分类汇编专题5:数列

北京2013届高三最新理科试题分类汇编专题5:数列_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编专题 5:数列一、选择题 1 .(2013 届北京...

北京2013届高三最新数学文试题分类汇编专题5:数列

北京2013届高三最新理科试... 42页 2财富值 北京市2013届高三理科数学... 4...北京2013届高三最新数学文试题分类汇编专题5:数列 北京2013届高三最新数学文试题分...

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编数列

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编数列_数学_高中教育_教育专区。北京 2013 届高三理科数学最新模拟试题分类汇编 5:数列一、选择题 1 .(2013 届北京西城...

北京市2013届高三数学 最新模拟试题分类汇编5 数列 文 2

北京市2013届高三数学 最新模拟试题分类汇编5 数列 文 2 隐藏>> 北京2013 届高三最新文科模拟试题分类汇编 5:数列一、选择题 错误!未指定书签。 .(2013 北京海...

【解析分类汇编系列五:北京2013高三(一模)文数】5:数列

.(2013 届北京市延庆县一模数学文)小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 (教师版) 【解析分类汇编系列五:北京 2013 高三(一模)文数5:数列 ...