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河南省开封市2016届高三上学期定位模拟考试数学(文)试题(含答案)


2016 年数学定位试题(文)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(23)题 为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码

粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R 2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 U ? ?0,1,2,3,4,5?, 集合A ? ?1,2?, B ? ?2,4?则? u ( A ? B) ? B (A) ?1,2,4? (B) ?0,3,5? (C) ?0,1,3,4,5? (D) ?

2. 若复数 Z ? A. (0,2)

a ? 3i (a ? R , i 是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内 Z 对应点的坐标为 1 ? 2i
B. (0,3i ) D C. (0,3) D. (0, 2i )

C

3. 下列命题正确的是

A.已知 p :

1 1 ? 0, 则?p : ?0 x ?1 x ?1 ;

B.存在实数 x ? R ,使 sin x ? cos x ?

?
2

成立;

C.命题 p :对任意的 x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p :对任意的 x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ; D.若 p 或 q 为假命题,则 p , q 均为假命题
4. 把函数 y ? sin( x ?

?

6 ? 移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 D 3 ? ? ? A. x ? B. x ? ? C. x ? 8 4 4

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,再将图象向右平 2

D. x ? ?

?
2

5. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得 米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 C D.1365 石 B

6. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 A.10 4 B.15 3 C.20 D.30

5

7. 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 C A.3 B. -6 C. 10 D. 12

8. V ABC 中,点 D 在 AB 上,CD 平方 ?ACB .若 CB ? a ,CA ? b , a ? 1 , b ? 2 ,则 CD ? B A

uur

r

uur

r

r

r

uuu r

1r 2r a? b 3 3

B

2r 1r a? b 3 3

C

3r 4r a? b 5 5
2

D

4r 3r a? b 5 5
A

9.若点(4,tanθ )在函数 y=log2x 的图像上,则 2cos θ =

A.

2 5

B.

1 5

C.

1 2

D.

3 5


10. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)= 则实数 a 的取值范围为 A. C. 11.若曲线 y= A.﹣2 D. 与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线,则实数 a= C B. C. 1 D. 2 D

B. (﹣2,1)

12. 已知椭圆

(a>b>0)的半焦距为 c(c>0) ,左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线

与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是 A. B. C. D.

D

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答, 第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x﹣y 的最小值是

﹣4

14. 已知函数 f ( x) ? ?

? f ( x ? 2), x ? 0
?x ?3 ? 1, x ? 0
2 2

,则 f(2016)=

0 3x-2y-3=0

15. 设直线 2x+3y+1=0 与圆 x +y -2x-3=0 相交于点 A, B, 则弦 AB 的垂直平分线方程为

16. 在△ABC 中,若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且该三角形的面积为 15 3 , 则△ABC 的最大边长等于 14 三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知递增等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a1 , a4 , a10 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n} 的通项公式; (II)求数列 {a n ? 3n } 的前 n 项和 Sn .
2 解: (Ⅰ)由条件知 a4 ? a10 , ?1 ? 3d ? ? 1 ? 9d , 解得 d ? 2

1 1 2 或 d ? 0(舍) ,? an ? n ? .??? 3 3 3

6分 (II)?bn ? 3n ? (n ? 2) ? 3n?1 ,

Sn ? 5 ? 30 ? 7 ? 3 ? 9 ? 32 ? ??? ?3n ? 2? ? 3n?1 ----(1) 3Sn ? 5 ? 31 ? 7 ? 32 ? 9 ? 33 ? ??? ?3n ? 2? ? 3n ----(2)
2 n ?1 ? ? 3n ? 2 ? ? 3n (1)—(2)得: ?2 Sn ? 5 ? 2 3 ? 3 ? ?? 3

?

?

? Sn ?

3 ? 3n ? 3n 5 ? . 2 2

18.(本小题满分 12 分)某电子广告牌连续播出四个广告,假设每个广告所需的时间互相独立,且都 是整数分钟,经统计,以往播出 100 次所需的时间(t)的情况如下: 类别 广告次数 时间 t(分钟/人) 1 号广告 20 2 2 号广告 30 3 3 号广告 40 4 4 号广告 10 6

每次随机播出,若将频率视为概率. (Ⅰ)求恰好在开播第 6 分钟后开始播出第 3 号广告的概率; (II)求第 4 分钟末完整播出广告 1 次的概率. 解:(Ⅰ)由条件知 PA ?

2 3 4 1 , PB ? , PC ? , PD ? . 10 10 10 10

1 219 ?2? ? 3? 1 2 4 . P ? ? 1 ?? ? ? ? ? ? C2 10 10 10 500 ? 10 ? ? 10 ?
4 3 2 1? 2 4 3 4 3 1 79 1? 2 ? C2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 10 ? 10 10 10 10 ? 10 10 10 10 10 10 100

3

2

(II) P2 ?

19.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , AB ? BC 侧面 PAB ? 底面

ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 , ?PAB ? 600
(I)若 PB 中点为.求证: AE//平面PCD ;
A

P

(II)若 G 是 PC 的中点,求三棱锥 P ? BDG 的体积. (I)证明:取 PC 的中点,连结 DF , EF
B

D

C

? EF //AD ,且 AD ? EF ,所以 ADFE 为平行四边形. ? AE //DF ,且 AE 不在平面 PCD 内, DF 在平面 PCD 内,
所以 AE //平面PCD (II) VP ? BDG ?

1 VP ? BDC ? 2 2 . 2

20.(本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C: (Ⅱ)过 F ? 3,0 短轴长是 1,离心率 e ?

3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2

?

?

的直线交椭圆 C 于点 M,N,G

?

3, 0 求△GMN 面积的最大值.

?

解: (Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c,



∵椭圆 C 的离心率 e ? m=1, ∴椭圆 C 的方程是

3 2

;????4 分 . ,

(Ⅱ)显然直线的斜率不为 0,故可设直线的方程为: 联立:
2

,得
2 2

,即

∴△=192m ﹣44(1+4m )=16m ﹣44>0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 , ,∴ ,

△F2MN 的高即为点 F2 到直线

的距离



∴△F2MN 的面积

,??10 分





当且仅当

,即

时,等号成立



,即△F2MN 的面积的最大值为 .????12 分

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x ?1
2

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? b ? x ?1? 在 ? , ?? ? 上恒成立,其中 a , b 为实数,求 a 的取值范 围. 解: (Ⅰ)求导 f
'

?

?

?1 ?e

? ?

? x? ?

a ? 2 x ,? f ' ?1? ? a ? 2 又 f ?1? ? 0 , 所以曲线 y ? f ? x ? 在 x

点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? ? a ? 2?? x ?1? 即 ? a ? 2? x ? y ? a ? 2 ? 0 ????4 分 (Ⅱ) 设 g ? x ? ? f ? x ? ? b ? x ?1? 即 g ? x ? ? 0 在 ? , ?? ? 上恒成立, 又 g ?1? ? 0 有 g ? x ? ? g ?1? 恒成立 即 x ? 1 处取得极小值,得 g ' ?1? ? a ? 2 ? b ? 0 ?6 分

?

?

?1 ?e

? ?

所以 b ? a ? 2 ,

a? ? 2 ? x ? 1? ? x ? ? 2? ? ' 从而 g ? x ? ? x

(ⅰ)当

a 1 ?1 ? ? 时, g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ? x ? ? g ?1? 即 2 e ?e ?

a?

2 ????8 分 e

(ⅱ)

1 a ?1 a? ?a ? ? ? 1时, g ? x ? 在 ? , ? 上单调递增,在 ? ,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, e 2 ?e 2? ?2 ?

则只需 g ? ? ? ? (ⅲ)当

?1? ?e?

2 1 a 1 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 , 解得 ? a ? e ? ? 2 ????10 分 e e e e e

a ?1 ? ? a? ? 1 时, , g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递增, ?1, ? 单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, 2 ?e ? ? 2?

由g?

?a? ? ? g ?1? ? 0 知不符合题意, ?2?
1 ? 2 ????12 分 e

.综上, a 的取值范围是 a ? e ?

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 为⊙O 的直径,CE⊥AB 于点 H,与⊙O 交于点 C、D,且 AB=10,CD=8,DE=4, EF 与⊙O 切于点 F,BF 与 HD 交于点 G. (Ⅰ)证明:EF=EG; (Ⅱ)求 GH 的长.

(Ⅰ)证明:连接 AF、OE、OF,则 A,F,G,H 四点共圆 由 EF 是切线知 OF⊥EF,∠BAF=∠EFG ∵CE⊥AB 于点 H,AF⊥BF, ∴∠FGE=∠BAF ∴∠FGE=∠EFG, ∴EF=EG??????5 分 (Ⅱ)解:∵OE =OH +HE =OF +EF , 2 2 2 2 ∴EF =OH +HE ﹣OF =48, ∴EF=EG=4 , ∴GH=EH﹣EG=8﹣4 ??????10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为 ? ?
2 2 2 2 2

?

? x ? 2 cos ? ? ( ? ? R ) ,曲线 C 的参数方程为 ? . 4 ? ? y ? sin ?
8 ,求点 M 轨迹的直角坐 3

(Ⅰ)写出直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,若 MA ? MB ? 标方程.

解: (Ⅰ)直线 l : y ? x ,

曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 ????????4 分 2

? ? x ? x0 ? ? (Ⅱ)设点 M ? x0 , y0 ? 及过点 M 的直线为 l1 : ? ?y ? y ? 0 ? ?
由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

2t 2 2t 2

3t 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 2 ? 2 y0 2 ? 2 ? 0 2

x 2 ? 2 y0 2 ? 2 8 8 MA ? MB ? ? 0 ? ,即: x02 ? 2 y02 ? 6 3 3 3 2

x2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆????????8 分
取 y ? x ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1得: 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 2

由? ? 0得? 3 ? m? 3 故点 M 的轨迹是椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段椭圆弧??10 分 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ? x ?1 ? 2 . (Ⅰ)解不等式: g ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3

得不等式的解为 ?2 ? x ? 4 ????????5 分

(Ⅱ)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 ,
所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 .????????10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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