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高考数学复习专题:立体几何线面平行问题

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立体几何线面平行问题
一、知识点 1 空间两直线的位置关系(1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内, 没有公共点; (3)异面——不在任何 一个平面内,没有公共点; .. 2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式: a // b, b // c ? a // c . 3.等角定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相

同,则这两个角相等 4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别 平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? AB 与 l 是异面直线

a?, b? 7. 异面直线所成的角: 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,
所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的 角 (或夹角) . 为了简便, 点 O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围:(0,

?
2

]

8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面 直线 a , b 垂直,记作 a ? b . 9.求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线 的平行线; (2) 找出与一条直线平行且与另一条相交的直线, 那么这两条相交直线所成的角即为所求 10.两条异面直线的公垂线、距离:和两条异面直线都垂直相交 的直线,我们称之为异面直 .... 线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以公垂线 的定义要注意“相交”的含义.两条异面直线的公垂线有且只有一条 11.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段 (公垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离. 12.直线和平面的位置关系(1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线 和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点) ——用两分法进行两次分类.它们的图形分别可表示 为 如 下 , 符 号 分 别 可 表 示 为 a ?? , a ? ? ? A ,

a // ? .
13.线面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和 平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.推理模式:

l ? ? , m ? ? , l // m ? l // ? .

1

14. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相 交 , 那 么 这 条 直 线 和 交 线 平 行 . 推 理 模 式 :

l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m .
二、基本题型 1.判断题(对的打“√” ,错的打“×” ) (1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 ( ) (2)两线段 AB、CD 不在同一平面内,如果 AC=BD,AD=BC,则 AB⊥CD( ) ( 3 )在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60 ? ( ) (4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直 ( ) 2.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中 ①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60?角; ④DM 与 BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是 ( ) (A)①②③ (B)②④ (C)③④ (D)②③④ 3.已知空间四边形 ABCD.(1)求证:对角线 AC 与 BD 是异面直线;(2)若 AC⊥BD,E,F,G,H 分 别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状;(3)若 AB=BC=CD=DA,作 出异面直线 AC 与 BD 的公垂线段 4.完成下列证明,已知直线 a、b、c 不共面,它们相交于点 P,A?a, D?a,B?b,E?c 求证:BD 和 AE 是异面直线 证明:假设__ 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面__内 ?A?a,D?a,∴__?γ . ?P?a,∴P?__. ?P?b,B?b,P?c,E?c ∴__??,__??,这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 5 已知 E , F , G, H 分别是空间四边形四条边 AB, BC, CD, DA 的中点, ( 1 )求证四边形

EFGH 是平行四边形(2)若 AC⊥BD 时,求证: EFGH 为矩形; (3)若 BD=2,AC=6,求

EG 2 ? HF 2 ; (4)若 AC、BD 成 30?角,AC=6,BD=4,求四边形 EFGH 的面积; (5)若
AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,求 AC 与 BD 间的距离.
6 空间四边形 ABCD 中, AD ? BC ? 2 , E , F 分别是 AB, CD 的中点,

EF ? 3 ,求异面直线 AD, BC 所成的角
7. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求(1)A1B 与 B1D1 所成角;(2)AC 与 BD1 所成角. 8.在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D 中,已知 AB=a,BC=b, AA? =c(a>b),求异面直线 D ?B 与 AC 所成角的余弦值 9.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点 MN // 平面 PAD ; N ? B C ? 4, (1) 求证: (2) 若M

PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大
小 10 .如 图 , 正方形 ABCD与 ABEF 不 在同 一平面
2

内, M 、 N 分别在 AC 、 BF 上,且 AM ? FN 求证: MN // 平面 CBE

参考答案
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× 2. C 3. 证明:(1)∵ABCD 是空间四边形,∴A 点不在平面 BCD 上,而 C ? 平面 BCD, ∴AC 过平面 BCD 外一点 A 与平面 BCD 内一点 C, 又∵BD ? 平面 BCD,且 C ? BD.∴AC 与 BD 是异面直线. (2)解如图,∵E,F 分别为 AB,BC 的中点,∴EF//AC,且 EF= 同理 HG//AC,且 HG=

1 AC. 2

1 AC.∴EF 平行且相等 HG,∴EFGH 是平行四边形. 2

又∵F,G 分别为 BC,CD 的中点,∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH 是矩形. (3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求. 4. 答案:假设 BD、AE 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面 ? 内 ∵A?a,D?a,∴ a ??. ∵P?a,P? ? . ∵P?b,B?b,P?c,E?c. ∴ b ??,c ??,这与 a、b、c 不共面矛盾 ∴BD、AE 是异面直线 5. 证明(1) :连结 AC , BD ,∵ E , F 是 ?ABC 的边 AB, BC 上的中点,∴ EF // AC , 同理, HG // AC ,∴ EF // HG , 同理, EH // FG ,所以,四边形 EFGH 是平行四边形 证明(2) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵ EF // AC , EH // BD ,∴由 AC⊥BD 得, EF ? EH ,∴ EFGH 为矩形. 解(3) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵BD=2,AC=6,∴ EF ?

1 1 AC ? 3, EH ? BD ? 1 2 2

∴由平行四边形的对角线的性质 EG2 ? HF 2 ? 2( EF 2 ? EH 2 ) ? 20 . 解(4) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形

1 1 AC ? 3, EH ? BD ? 2 2 2 又∵ EF // AC , EH // BD ,AC、BD 成 30?角,∴EF、EH 成 30?角,
∵BD=4,AC=6,∴ EF ? ∴四边形 EFGH 的面积 S ? EF ? EH sin 30 ? 3 .
0

解(5) :分别取 AC 与 BD 的中点 M、N,连接 MN、MB、MD、NA、NC, ∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,∴MB=MD=NA=NC= 3 ∴ MN ? AC, MN ? BD ,∴MN 是 AC 与 BD 的公垂线段 且 MN ?

MB2 ? NB 2 ? 2 ∴AC 与 BD 间的距离为 2 .

3

6. 解:取 BD 中点 G ,连结 EG, FG, EF ,∵ E , F 分别是 AB, CD 的中点, ∴ EG // AD, FG // BC, 且 EG ?

1 1 AD ? 1, FG ? BC ? 1 , 2 2

∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角, 在 ?EGF 中, cos ?EGF ?
?

EG 2 ? FG 2 ? EF 2 1 ?? , 2 EG ? FG 2
?

∴ ?EGF ? 120 ,异面直线 AD, BC 所成的角为 60 . 7. 解(1)如图,连结 BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴DD1 平行且相等 BB1. ∴DBB1D1 为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D 是全等的正方形的对角线. o ∴A1B=BD=A1D,△A1BD 是正三角形,∴∠A1BD=60 , o ∵∠A1BD 是锐角,∴∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角.∴A1B 与 B1D1 成角为 60 . (2)连 BD 交 AC 于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC.∵O 为 BD 中点,∴OE//BD1. o ∵∠EDA=90 =∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC. o 在等腰△EAC 中,∵O 是 AC 的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90 . o 又∴∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成角,∴AC 与 BD1 成角 90 . 8. 解(1)如图,连结 BD,A1D, ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴DD1 平行且相等 BB1. ∴DBB1D1 为平行四边形,∴BD//B1D1. ∴A1B,BD,A1D 是全等的正方形的对角线. ∴A1B=BD=A1D,△A1BD 是正三角形, o ∴∠A1BD=60 , ∵∠A1BD 是锐角, ∴∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角. o ∴A1B 与 B1D1 成角为 60 . (2)连 BD 交 AC 于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC. ∵O 为 BD 中点,∴OE//BD1. o ∵∠EDA=90 =∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC. o 在等腰△EAC 中,∵O 是 AC 的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90 . o 又∴∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成角,∴AC 与 BD 成角 90 . 9. 略证(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,

? NH // DC , NH ?

1 DC 2

? NH // AM , NH ? AM ? AMNH 为平行四边形 ? MN // AH, MN ? PAD, AH ? PAD ? MN // PAD
解(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半,ON 平 行且等于 PA 的一半,所以 ?ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,由 MN ? BC ? 4 ,

PA ? 4 3 得,OM=2,ON= 2 3

4

所以 ?ONM ? 30 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30 的角
0 0

10. 略证:作 MT // AB, NH // AB 分别交 BC、BE 于 T、H 点

AM ? FN ? ?CMT ≌ BNH ? MT ? NH 从而有 MNHT 为平行四边形 ? MN // TH ? MN // CBE

5


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