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河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷(文科)(Word版含解析)


河南省顶级名校 2015 届高三上学期月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 2 x 1. (5 分)已知集合 M={x|x≥x },N={y|y=2 ,x∈R},则 M∩N=() A.(0,1) B. C.

2. (5 分)已知复数 z= A.

,则 z 的虚部是() C. ﹣

i D.﹣

B. ﹣

3. (5 分)某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功 课考试分数的极差与中位数之和为()

A.117

B.118

C.118.5

D.119.5

4. (5 分)已知双曲线 my ﹣x =1(m∈R)与椭圆 近线方程为() A.y=± x B.y=± x

2

2

+x =1 有相同的焦点,则该双曲线的渐

2

C.y=± x

D.y=±3x

5. (5 分)平面向量 与 的夹角为 A. B.

, =(3,0) ,| |=2,则| +2 |═() C. 7 D.3

6. (5 分)下列有关命题的叙述,错误的个数为() ①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 2 ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 2 2 ③命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R,使得 x +x﹣1≥0 2 2 ④命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0” A.1 B. 2 C. 3 D.4 7. (5 分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 am+1?am﹣1=2am(m≥2) ,数列{an}的前 n 项积为 Tn,若 T2m﹣1=512,则 m 的值为() A.4 B. 5 C. 6 D.7
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8. (5 分)设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f( )的值为()

A.﹣

B. ﹣

C.

D.

9. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 21,则判断框中应填()

A.i<5

B.i<6

C.i<7

D.i<8

10. (5 分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是()

A.54
2

B.27

C.18

D.9

11. (5 分)抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且∠AFB=120°,弦 AB 中点 M 在其准线上的射影为 N,则 A. B. 的最大值为() C. D.

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12. (5 分)己知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)单调递减,设 a=f (﹣ ) ,b=f(3) ,c=f(0) ,则 a,b,c 的大小关系为() A.b<a<c B.c<b<d C.b<c<a D.a<b<c

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)若点 P(x,y)满足线性约束条件

,则 z=x﹣y 的取值范围是.

14. (5 分)已知直线

ax+by=1(其中 a,b 为非零实数)与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点, + 的最小值为.

2

2

O 为坐标原点,且△ AOB 为直角三角形,则

15. (5 分)设 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,已 知 b ﹣2b+c =0,则
2 2

?

的范围是.

16. (5 分)已知有限集 A={a1,a2,a3…,an}(n≥2) .如果 A 中元素 ai(i=1,2,3,…,n) 满足 a1a2…an=a1+a2+…+an,就称 A 为“复活集”,给出下列结论: ①集合{ , }是“复活集”;

②若 a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则 a1a2>4; * ③若 a1,a2∈N 则{a1,a2}不可能是“复活集”; * ④若 ai∈N ,则“复合集”A 有且只有一个,且 n=3. 其中正确的结论是. (填上你认为所有正确的结论序号)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对的边分别为 a,b,c,已知 a=2. (1)若 A= (2)若 ? ,求 b+c 的取值范围; =1,求△ ABC 面积的最大值.

18. (12 分) 如图, 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥ 平面 ABCD,AB=AA1= . (Ⅰ) 证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积.

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19. (12 分)某校从 2014-2015 学年高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们 的期 2015 届中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组:两个 分数段内的学生中随机选取两名学生, 试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不 大于 10 的概率.

20. (12 分)椭圆 C:

+

=1 过点 A(1, ) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1、F2.过

点 F1 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程. (2)当△ F2AB 的面积为 时,求 l 的方程.
2

21. (12 分)已知函数 f(x)=a(x﹣1) +lnx+1. (Ⅰ)当 时,求函数 f(x)的极值;

(Ⅱ)若函数 f(x)在区间上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 x∈ C. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,求出 N 中 y 的范围确定出 N,求出两集合的交 集即可. 解答: 解:由 M 中的不等式变形得:x(x﹣1)≤0, 解得:0≤x≤1,即 M=; x 由 N 中的 y=2 >0,得到 N=(0,+∞) , 则 M∩N=(0,1]. 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)已知复数 z= A.

,则 z 的虚部是() C. ﹣ i D.﹣

B. ﹣

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数.
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分析: 由复数代数形式的除法运算化简复数 z,从而求得复数 z 的虚部. 解答: 解:由 = ,

则复数 z 的虚部是



故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数 z 的虚部的求法,是基础题. 3. (5 分)某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功 课考试分数的极差与中位数之和为()

A.117

B.118

C.118.5

D.119.5

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 求出 22 次考试分数最大为 98,最小 56,可求极差,从小到大排列,找出中间两数 为 76,76,可求中位数,从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和. 解答: 解:22 次考试分数最大为 98,最小为 56,所以极差为 98﹣56=42, 从小到大排列,中间两数为 76,76,所以中位数为 76. 所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 42+76=118. 故选 B. 点评: 本题考查茎叶图,考查学生分析解决问题的能力,确定极差与中位数是关键.

4. (5 分)已知双曲线 my ﹣x =1(m∈R)与椭圆 近线方程为() A.y=± x B.y=± x

2

2

+x =1 有相同的焦点,则该双曲线的渐

2

C.y=± x

D.y=±3x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定椭圆、双曲线的焦点坐标,求出 m 的值,即可求出双曲线的渐近线方程. 解答: 解:椭圆
2 2

+x =1 的焦点坐标为(0,±2) . ) ,

2

双曲线 my ﹣x =1(m∈R)的焦点坐标为(0,±

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∵双曲线 my ﹣x =1(m∈R)与椭圆 ∴ =2,∴m= ,

2

2

+x =1 有相同的焦点,

2

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x. 故选:A. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

5. (5 分)平面向量 与 的夹角为 A. B.

, =(3,0) ,| |=2,则| +2 |═() C. 7 D.3

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由向量的数量积定义求得向量 a,b 的数量积,再运用| +2 |= 得到答案. 解答: 解:∵平面向量 与 的夹角为 ∴ =| |?| |?cos , =(3,0) ,| |=2, 即可

=3×2×(﹣ )=﹣3. = = = .

∴| +2 |=

故选:A. 点评: 本题考查向量的数量积的定义以及性质, 向量的平方等于模的平方, 考查运算能力. 6. (5 分)下列有关命题的叙述,错误的个数为() ①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 2 ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 2 2 ③命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R,使得 x +x﹣1≥0 2 2 ④命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0” A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 特称命题;全称命题. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 直接利用复合命题的真假判断①的正误;利用充要条件判断②的正误;特称命题 的否定判断③的正误;四种命题的逆否关系判断④的正误. 解答: 解:①若 p∨q 为真命题,p 或 q 一真命题就真,而 P∧Q 为真命题,必须两个命题 都是真命题,所以①不正确. 2 ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件,满足前者推出后者,对数后者推不出前者, 所以②正确. 2 2 ③命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则﹣p:?x∈R,使得 x +x﹣1≥0;满足特称命题的否 定形式,所以③正确.
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④命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0”不满 2 足逆否命题的形式,正确应为“若 x≠1 且 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0”. 所以只有②③正确. 故选 B. 点评: 本题考查命题真假的判断,充要条件关系的判断,命题的否定等知识,考查基本知 识的应用. 7. (5 分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 am+1?am﹣1=2am(m≥2) ,数列{an}的前 n 项积为 Tn,若 T2m﹣1=512,则 m 的值为() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件推导出 am=2,从而 Tn=2 ,由 T2m﹣1=512,得 2 求出结果. 解答: 解:设数列{an}公比为 q am﹣1= ,am+1=am?q,
n 2m﹣1

2

2

=512=2 ,由此能

9

∵am+1?am﹣1=2am,∴ ∴ ,



解得 am=2,或 am=0(舍) , n ∴Tn=2 , 2m﹣1 9 ∵T2m﹣1=512,∴2 =512=2 , ∴2m﹣1=9,解得 m=5. 故选:B. 点评: 本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合 理运用. 8. (5 分)设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f( )的值为()

A.﹣

B. ﹣

C.

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
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专题: 计算题. 分析: 通过函数的图象, 利用 KL 以及∠KML=90°求出求出 A, 然后函数的周期, 确定 ω, 利用函数是偶函数求出 ?,即可求解 f( )的值. 解答: 解:因为 f(x)=Asin(ωx+?) (A>0,ω>0,0<?<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1, 所以 A= ,T=2,因为 T= ,所以 ω=π, , ) , .

函数是偶函数,0<?<π,所以 ?=

∴函数的解析式为:f(x)= sin(πx+ 所以 f( )= sin( + )= cos =

故选:D. 点评: 本题考查函数的解析式的求法, 函数奇偶性的应用, 考查学生识图能力、 计算能力. 9. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 21,则判断框中应填()

A.i<5

B.i<6

C.i<7

D.i<8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据题意,模拟程序框图的执行过程,计算输出结果即可. 解答: 解:模拟程序框图执行过程,如下; 2 开始,i=1,s=0,不输出,进入循环,1 是奇数?是,s=0﹣1 =﹣1,i=1+1=2, 2 不输出,进入循环,2 是奇数?否,s=﹣1+2 =3,i=2+1=3,不输出,进入循环, 2 3 是奇数?是,s=3﹣3 =﹣6,i=3+1=4,不输出,进入循环, 2 4 是奇数?否 s=﹣6+4 =10,i=4+1=5,不输出,进入循环, 2 5 是奇数?是,s=10﹣5 =﹣15,i=5+1=6,不输出,进入循环, 2 6 是奇数?否,s=﹣15+6 =21,i=6+1=7,退出循环,输出 21, ∴判断框中的条件是:i<7? 故选 C. 点评: 本题考查了程序框图的执行结果的问题, 解题时应模拟程序的执行过程, 是基础题.

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10. (5 分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是()

A.54

B.27

C.18

D.9

考点: 由三视图求面积、体积. 分析: 由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥,由体积公式可求. 解答: 解:由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥, 且底面为矩形,长 6,宽 3;体高为 3. 则 =18.

故选:C. 点评: 做三视图相关的题时,先要形成直观图,后要注意量的关系.属于基础题. 11. (5 分)抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且∠AFB=120°,弦 AB 中点 M 在其准线上的射影为 N,则 A. B. 的最大值为() C. D.
2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: 设 AF=a,BF=b,由抛物线定义,2MN=a+b.再由余弦定理可得|AB| =a +b ﹣ 2abcos120°,进而根据 a+b≥2 ,求得|AB|的范围,进而可得答案. 解答: 解:设 AF=a,BF=b,由抛物线定义,2MN=a+b. 2 2 2 2 而余弦定理,|AB| =a +b ﹣2abcos120°=(a+b) ﹣ab, 再由 a+b≥2 所以 ,得到|AB|≥ . (a+b) .

的最大值为

故选:A. 点评: 本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用. 考查了学生综合分析问题和解决问 题的能力.

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12. (5 分)己知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)单调递减,设 a=f (﹣ ) ,b=f(3) ,c=f(0) ,则 a,b,c 的大小关系为() A.b<a<c B.c<b<d C.b<c<a D.a<b<c

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)单调递减,确定 当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递增,再结合函数的单调性,即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)单调递减, ∴当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递增, ∵b=f(3)=f(﹣1) ,﹣1<﹣ <0<1 ∴f(﹣1)<f( ∴f(3)<f( )<f(0) )<f(0)

∴b<a<c 故选 A. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生分析解决问题的能力,确定当 x∈ (﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递增,是解题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)若点 P(x,y)满足线性约束条件

,则 z=x﹣y 的取值范围是,

(2)∵

?

=1,

∴bccosA=1. ∴ ,


2 2 2

=



∵a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 2 ∴4=b +c ﹣2,6=b +c ≥2bc, 2 2 ∴bc≤3,∴b c ≤9. ∴ 当且仅当 = = ≤ . = .

时,△ ABC 的面积取到最大值为

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点评: 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同 角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本 技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 18. (12 分) 如图, 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥ 平面 ABCD,AB=AA1= . (Ⅰ) 证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积.

考点: 平面与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由四棱柱的性质可得四边形 BB1D1D 为平行四边形,故有 BD 和 B1D1 平行 且相等, 可得 BD∥平面 CB1D1. 同理可证, A1B∥平面 CB1D1. 而 BD 和 A1B 是平面 A1BD 内的两条相交直线,利用两个平面平行的判定定理可得平面 A1BD∥平面 CD1B1 . (Ⅱ)由题意可得 A1O 为三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的高, 由勾股定理可得 A1O= 的值,再根据三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积 V=S△ ABD?A1O,运算求得结果. 解答: 解: (Ⅰ)∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,AB=AA1= , 由棱柱的性质可得 BB1 和 DD1 平行且相等,故四边形 BB1D1D 为平行四边形,故有 BD 和 B1D1 平行且相等. 而 BD 不在平面 CB1D1 内,而 B1D1 在平面 CB1D1 内,∴BD∥平面 CB1D1. 同理可证,A1BCD1 为平行四边形,A1B∥平面 CB1D1. 而 BD 和 A1B 是平面 A1BD 内的两条相交直线,故有平面 A1BD∥平面 CD1B1 . (Ⅱ) 由题意可得 A1O 为三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的高.三角形 A1AO 中,由勾股定理可得 A1O= = =1, ?A1O= ×1=1.

∴三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积 V=S△ ABD?A1O=

点评: 本题主要考查棱柱的性质,两个平面平行的判定定理的应用,求三棱柱的体积,属 于中档题. 19. (12 分)某校从 2014-2015 学年高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们 的期 2015 届中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组: (Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校 2014-2015 学年高一年级共有学生 500 人,试估计该校 2014-2015 学年高一年 级在考试中成绩不低于 60 分的人数;

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(Ⅲ) 若从样本中数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 试用列举法求这两 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 考点: 频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 专题: 图表型;概率与统计. 分析: (I)根据频率=小矩形的高×组距,利用数据的频率之和为 1 求得 a 值; (II)由频率分布直方图求得数学成绩不低于 60 分的概率,利用频数=样本容量×频率计算; (III) 用列举法写出从第一组和第六组 6 名学生中选两名学生的所有结果, 从中找出数学成 绩之差的绝对值不大于 10 的结果,利用个数之比求概率. 解答: 解: (Ⅰ)根据数据的频率之和为 1,得 0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1, ∴a=0.03;

(Ⅱ)数学成绩不低于 60 分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85, ∴数学成绩不低于 60 分的人数为 500×0.85=425 人 (Ⅲ)数学成绩在 21. (12 分)已知函数 f(x)=a(x﹣1) +lnx+1. (Ⅰ)当 时,求函数 f(x)的极值;
2

(Ⅱ)若函数 f(x)在区间上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 x∈ 分析: (Ⅰ)把 代入可得函数解析式,求导后由极值的定义可得; 在区间

(Ⅱ)函数 f(x)在区间上单调递减等价于其导数 上恒成立,只需求 在上的最小值即可,下面可由基本不等式求解;

(Ⅲ)题意可化为当 x∈上单调递减, ∴导数 在区间上恒成立,



在上恒成立,只需 2a 不大于

在上的最小值即可. (6 分)

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(2≤x≤4) ,则当 2≤x≤4 时,





,即

,故实数 a 的取值范围是

. (8 分)

(Ⅲ)因 f(x)图象上的点在

所表示的平面区域内,

即当 x∈. (14 分) 点评: 本题为函数与导数的综合应用,涉及极值,基本不等式,和分类讨论的思想,属中 档题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)已知,在△ ABC 中,D 是 AB 上一点,△ ACD 的外接圆交 BC 于 E,AB=2BE. (Ⅰ)求证:BC=2BD; (Ⅱ)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;立体几何. 分析: (Ⅰ)连接 DE,证明△ DBE∽△CBA,即可证明 BC=2BD; (Ⅱ)先求 DE,利用 CD 是∠ACB 的平分线,可得 DA=1,根据割线定理求出 BD. 解答: (Ⅰ)证明:连接 DE,∵四边形 ABCD 是圆的内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA, ∴ = , …(5 分) = ,

又 AB=2BE,∴BC=2BD

(Ⅱ)由(Ⅰ)△ DBE∽△CBA,知

又 AB=2BE,∴AC=2DE, ∵AC=2,∴DE=1,而 CD 是∠ACB 的平分线,∴DA=1, 设 BD=x,根据割线定理得 BD?BA=BE?BC 即 x(x+1)= (x+1) , 解得 x=1,即 BD=1 …(10 分) 点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查割线定理,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

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【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C:
2

ρsin θ=2acosθ(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为:



直线 L 与曲线 C 分别交于 M,N. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 考点: 参数方程化成普通方程;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)消去参数可得直线 l 的普通方程,曲线 C 的方程可化为 ρ sin θ=2aρcosθ,从 2 而得到 y =2ax.
2 2 2

(II)写出直线 l 的参数方程为

,代入 y =2ax 得到

,则有
2



由|BC| =|AB|,|AC|,代入可求 a 的值. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C: ρsin θ=2acosθ?ρ sin θ=2aρcosθ, 2 即 y =2ax,

直线 L 的参数方程为:

,消去参数 t 得:直线 L 的方程为 y+4=x+2 即 y=x﹣2

(3 分)

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

代入 y =2ax 得到 则有 因为|MN| =|PM|?|PN|,所以
2

2

, …(8 分)

即: ﹣4×8(4+a)=8(4+a) 解得 a=1…(10 分) 点评: 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 直线的参数方程中参数的几何意 义,是一道基础题.

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【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x﹣1)≤2; (Ⅱ)当 a>0 时,不等式 2a﹣3≥f(ax)﹣af(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ) 分当 x≤1 时、 当 1<x≤2 时、 当 x>2 时三种情况, 分别求得原不等式的解集, 再取并集,即得所求. (Ⅱ)当 a>0 时,利用绝对值三角不等式可得 f(ax)﹣af(x)≤|a﹣1|,结合题意可得 2a ﹣3≥|a﹣1|,由此解得 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)原不等式等价于:当 x≤1 时,﹣2x+3≤2,即 当 1<x≤2 时,1≤2,即 1<x≤2. 当 x>2 时,2x﹣3≤2,即 2<x≤ . 综上所述,原不等式的解集为{x| ≤x≤ }. (Ⅱ)当 a>0 时,f(ax)﹣af(x)=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|, 所以,2a﹣3≥|a﹣1|,解得 a≥2. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法, 体现了等价转化以及分类讨论的数学思想, 属 于中档题. ≤x≤1.

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