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第7部分 第5讲


第七部分

第五讲

时间:40 分钟,满分:55 分

一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将唯一正确答案的代号填在 题后的括号中. 1 1.计算机的成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 ,现在价格为 8100 元的计算 3 机 9 年后的价格可降为( A.3600 元 C.2400

元 1 解析 选 C.由 8100×(1- )3=2400. 3 2.“嫦娥奔月,举国欢庆”,根据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭, 在点火第一秒钟通过的路程为 2 km, 以后每秒钟通过的路程都增加 2 km, 在达到离地面 240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是( A.10 秒钟 C.15 秒钟 B.13 秒钟 D.20 秒钟 ) ) B.2700 元 D.2100 元

解析 选 C.易知每秒钟的路程构成以首项为 a1=2,公差为 2 的等差数列,设这一过程 需要 n 秒钟,则 240=2n+ n?n-1? ×2,解得 n=15. 2

5 3. 已知{an}为等比数列,Sn 是其前 n 项和.若 a2· a3=2a1, 且 a4 与 2a7 的等差中项为 , 4 则 S5=( A. 35 C. 31 ) B. 33 D.29

1 1 解析 选 C. 由 a2· a3=2a1,得 a193=a4=2,所以 a7= ,从而 a1=16,9= ,于是 S5= 4 2 1 1-? ?5 2 ×16=31. 1 1- 2 1 1 4.已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy( 4 4 A.有最大值 e C.有最小值 e B.有最大值 e D.有最小值 e )

1?2 1 解析 选 C.由条件有 lnxlny=? ?4? ,又 x>1,y>1, 4 1 所以 lnx· lny= , 4 又 lnx+lny 1 ≥ lnx· lny= , 2 2

1 所以 lnx+lny≥1,即 xy≥e,x=y=e 时,取等号, 2 故 xy 有最小值 e. 二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,请将答案填写在题中的横线上. 5.(2011· 福建卷)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最 低销售限价 a, 最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a). 这 里,x 被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比 中项.据此乐观系数 x 的值等于________. - 1+ 5 解析 填 . 2 因为(c-a)2=(b-c)(b-a),c=a+x(b-a), 所以 x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a), 整理得 x2+x-1=0, -1+ 5 -1- 5 解得 x= 或 x= (舍去), 2 2 -1+ 5 所以 x= . 2 6. (2013· 江西卷)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的 棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________. 2?1-2n? 解析 填 6.使不等式 ≥100 成立的最小值是 6. 1-2 三、解答题:本大题共 2 小题,第 7、8 题分别为 12 分、13 分,共 25 分,解答应写出 文字说明和推演步骤. 7.(2012· 湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有 资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与 第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部 投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示). 解析 (1)由题意得 a1=2000(1+50%)-d=3000-d,

3 a2=a1(1+50%)-d= a1-d, 2 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2 3 (2)由(1)得 an= an-1-d 2 3 3 =( )2an-2- d-d 2 2 33 = ( an-2-d)-d 22 =? 3 32 3 n-2? 3 - =( )n 1a1-d? ?1+2+?2? +?+?2? ?. 2 3 n-1 ? 3 n-1 3 - 整理得 an=( )n 1(3000-d)-2d? ??2? -1?=(2) (3000-3d)+2d. 2 3 - 由题意 an=4000,所以( )n 1(3000-3d)+2d=4000, 2

解得 d=

??3?n-2?×1000 + ?2 ? 1000?3n-2n 1?
3 ? ?n-1 2 = 3n-2n

.

1000?3n-2n 1? 故该企业每年上缴资金 d 的值为缴 时, 经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 3n-2n


4000 元. an 8.(2012· 四川卷)已知 a 为正实数,n 为自然数,抛物线 y=-x2+ 与 x 轴正半轴相交 2 于点 A,设 f(n)为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (1)用 a 和 n 表示 f(n); f?1?-f?n+1? 1 1 1 (2)当 0<a<1 时,比较 + +?+ 与 6· 的大小,并 f?1?-f?2? f?2?-f?4? f?n?-f?2n? f?0?-f?1? 说明理由. 解析 (1)由已知得交点 A 的坐标为?

?

1 an ? ,0 ,对 y=-x2+2an 求导,得 y′=-2x, 2 ?

则抛物线在点 A 处的切线方程为 y=- 2an(x- 则 f(n)=an. (2)由(1)知 f(k)=ak. 下面证明: f?1?-f?n+1? 1 1 1 + +?+ >6· , f?1?-f?2? f?2?-f?4? f?n?-f?2n? f?0?-f?1? an ),即 y=- 2anx+an. 2

1 首先证明 0<x<1 时, >6x, x-x2 2 设函数 g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1,则 g′(x)=18x(x- ); 3 2 2 当 0<x< 时,g′(x)<0;当 <x<1 时,g′(x)>0. 3 3 2 1 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min=g( )= >0, 3 9 1 所以当 0<x<1 时,g(x)>0,即得 >6x, x-x2 由 0<a<1,知 0<ak<1(k∈N*),因此 1 >6ak,从而 ak-a2k

1 1 1 1 1 1 + + ?+ = + +?+ n >6(a+a2+?+an) f?1?-f?2? f?2?-f?4? f?n?-f?2n? a-a2 a2-a4 a -a2n a-an 1 f?1?-f?n+1? =6× =6× . 1-n f?0?-f?1?



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