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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第2章 双曲线 第二课时参考教案


双曲线的简单几何性质
一、教材分析

教 材 的 地 位 和 作 用

本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双曲线的定义、方程”后进行的,课程标准要 求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后 续的抛物线比较,本节课的要求相对较低。 但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。一方面,本节课是利用双曲线

的方程研 究其几何性质。这是解析几何研究的两个主要问题之一,通过本节课的学习有利于进一 步深化坐标法和数形结合的思想;另一方面,通过类比椭圆学习双曲线的几何性质,有 利于培养学生科学的思维方法。

教 学 目 标

知识与技能目标 过程与方法目标 情感态度与价值 观目标

理解双曲线的几何性质并会简单应用。 进一步理解坐标法和数形结合的思想。 培养学生科学的思维方法和思维习惯。 双曲线的简单几何性质。 双曲线的渐近线。

点 难 点

教 学 重

教学重点 教学难点

二、教法学法

教 法 学 法

采用问题式教学,通过问题引导学生类比探究、交流归纳、总结提升,并 充分利用多媒体辅助教学。 通过教师点拨,启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达 到对知识的发现和内化。

三、教学程序 教学环节 教学程序设计 1、复习 (1)双曲线的定义和标准方程? (2)椭圆有哪些简单几何性质? 2、引入 设计意图 唤起旧知识的记忆, 为后 续类比探究做好知识准 备。 设问激疑, 为学生探究新

复 习 旧 知 设 疑 引 路

类比椭圆的简单几何性质,猜想双曲线有哪些简单几 知引路。 何性质?

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x2 y2 以方程 2 ? 2 ? 1 为例研究 a b

双曲线的简单几何性质 1、范围: | x |? a , y ? R 提问: (1)看图可知其范围是什么? (2)类比椭圆如何研究其范围? 2、对称性:对称轴为 x, y 轴,对称中心为坐标原点 引导学生用类比的思维 方法和数形结合的数学 方法, 先直观感知双曲线 的范围、对称性和顶点, 然后利用方程进行严格 推理证明, 这有助于进一 步让学生理解坐标法, 进 一步认识数与形的辩证 统一。

类 比 探 究

提问: (1)看图可知其有怎样的对称性? (2)类比椭圆如何研究其对称性? 3、顶点:双曲线与对称轴的 交点顶点坐标

A1 (?a,0), A2 (a,0)
研 究 性 质
双曲线的实轴:A1 A2 , 长为 2a , 半实轴长 a 双曲线的虚轴: B1B2 ,长为 2b ,半虚轴长 b 提问: 与椭圆比较, 为什么 B1 (0,?b), B2 (0, b) 不叫双曲 线的顶点?椭圆的短轴与虚轴有什么不同? 4、渐近线: y ? ?
b x a

类比推理是抓住了椭圆 与双曲线的相似之处, 而

对于不同之处自然会受 1 提问(1)反比例函数 y ? 与正切函数 y ? tan x 的图 到负面理解, 为了理解双 x 像都有什么共同的显著特点?你对双曲线的图像有 什么发现? 《几何画板》验证 曲线的虚轴端点、 虚轴与 椭圆短轴端点(顶点) 、 短轴的不同, 设置这两个

(2)渐近线方程如何求解?利用特征三角形;换“1” 问题引导学生理解, 防止 为“0” (3)求出焦点在 y 轴的双曲线渐近线方程并比较焦 点位置不同的双曲线渐近线异同? y ? ?
a x b

知识的负迁移。

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渐近线是双曲线的特有 性质,也是教学的难点, 但课程标准要求相对较

(4)等轴双曲线: x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) ,其渐近 线方程: y ? ? x (5)类比椭圆草图画法,思考双曲线草图的画法? 5、离心率: e ?
c a

问题(5)揭示了渐近线 对画双曲线草图的重要 作用。

引导学生发现离心率对 双曲线“张口”大小的影

提问: (1)双曲线的离心率范围?

(2)椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性, 响, 通过多媒体进一步增 双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性?(适 强学生的这种认识。 当点拨学生发现 e ? 《几何画板》演示 请总结两种标准方程的双曲线的几何性质,并填表 图形 标准 方程 范围 对称 性 顶点 渐近 线 离心 率 回顾总结, 进一步加强认 识,使知识系统化。
c b , k ? 的联系) a a

请比较双曲线与椭圆的几何性质的异同

例 题 研 究

例 1、 求双曲线 9 y 2 ? 16x 2 ? 1 的半实轴长和半虚轴长、 通过由方程求性质和性 焦点坐标、离心率、渐近方程。 质求方程的例习题, 来反 馈学生对双曲线性质的 例 2、求符合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 顶点在 x 轴上,两顶点间的距离是 8, e ? (2) 焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ?
4 3 5 4

掌握程度和简单应用的 能力。

运 用 性 质

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小 结 归 纳

引导学生自主总结: 1、知识技能:

培养学生的抽象概括能 力,使所学知识、方法在

(1) 学习了双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离 学生的认知结构中内化 心率等概念及其几何意义; (2)渐近线是双曲线特有的性质,必须引起我们的 重视; 2、数学思想方法: 数与形的结合,用代数的方法解决几何问题。 3、思维方法:类比推理 升华。

拓 展 深 化

作 业 布 置 巩 固 提 高

1、必做题 课本 A 组:3 题、4 题; B 组:1 题。 2、选做题 求与双曲线

作业是学生学习信息的 反馈, 必做题能巩固本节 所学知识, 发现和弥补教 学中的不足; 选做题能让 x2 ? y 2 ? 1 有共同渐近线且实轴长为 8 的 4 学有余力的学生有进一 步发挥的空间。

双曲线的标准方程。

板 书 设 计

标准方程 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 几何图示区

例1

例2

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