nbhkdz.com冰点文库

河南省六市2015届高考数学二模试卷(理科)


河南省六市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x +2x﹣3<0},B={x|﹣ <x<1},则 A∩B 等于() 2 A.Φ B.{x|﹣3<x<1} C.{x|﹣ <x<1} D.{x|x +2x﹣3<0

} 2. (5 分)若复数 z 满足 z(1+i)=4﹣2i(i 为虚数单位) ,则|z|=() A. B. C. D. 3. (5 分)2014-2015 学年高二年级某研究性学习小组为了了解本校 2014-2015 学年高一学生 课外阅读状况,分成了两个调查小组分别对 2014-2015 学年高一学生进行抽样调查.假设这两 组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理,则下列结论正确的是() A.两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 B. 两组同学的样本平均数一定相等 C. 两组同学的样本标准差一定相等 D.该校 2014-2015 学年高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4. (5 分)已知数列{an}为等比数列,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9 的值为() A.10 B.20 C.100 D.200 5. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为 2 的正三角 形,则这个几何体的体积是()
2

A.2cm

2

B.
2

cm

3

C. 3

cm

3

D.3cm

3

6. (5 分)从抛物线 y =4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=3,设抛物 线焦点为 F,则△ MPF 周长为() A.6+3 B.5+2 C. 8 D.6+2 7. (5 分)有一个 7 人学习合作小组,从中选取 4 人发言,要求其中组长和副组长至少有一人 参加,若组长和副组长同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序有() A.720 种 B.600 种 C.360 种 D.300 种

8. (5 分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则()

A.a=3

B.a=4

C.a=5
m n

D.a=6

9. (5 分)设 m,n 是正整数,多项式(1﹣2x) +(1﹣5x) 中含 x 一次项的系数为﹣16, 2 则含 x 项的系数是() A.﹣13 B. 6 C.79 D.37 10. (5 分)为得到函数 y=sin(x+ )的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左平移 m 个单位长

度,或向右平移 n 个单位长度(m,n 均为正数,则|m﹣n|的最小值是() A. B. C. π D.2π

11. (5 分)如图,已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,

以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 C 的离心率为()

=3

,则双曲线

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)若方程(x﹣1) +mx﹣m﹣2=0 各个实根 x1,x2,…,xk(k≤4,k∈N )所对应的 点 , (i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 m 的取值范围是() C. (﹣7,1) D.

4

*

A.(﹣1,7) B.(﹣∞,﹣7)∪(﹣1,+∞) (﹣∞,1)∪(7,+∞)

二.填空题:本大题共四个小题,每小题 5 分,满分 20 分.把正确答案填在题中横线上. 13. (5 分)在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AB=2,AC=1,若 ,则 =.

14. (5 分)曲线 C1:



=1 与曲线 C2:

+

=1 所围成图形的面积为.
n

15. (5 分)已知数列{an}的首项为 a1=1,a2=3,且满足对任意的 n∈N ,都有 an+1﹣an≤2 ,an+2 n ﹣an≥3×2 成立,则 a2015=. 16. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 内接于球 O,球 O 的表面积是 24π,∠BAC= 锥 P﹣ABC 的最大体积是. ,BC=4,则三棱

?

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 f(x)=cosxcosx(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(c)=﹣ ,a=2,且△ ABC 的面积为 2 ,求边长 c 的值. ) .

18. (12 分)某公司举办一次募捐爱心演出,有 1000 人参加,每人一张门票,每张 100 元.在 演出过程中穿插抽奖活动,第一轮抽奖从这 1000 张票根中随机抽取 10 张,其持有者获得价 值 1000 元的奖品,并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑 随机产生两个实数 x,y(x,y∈[0,4]) ,若满足 y≥ x,电脑显示“中奖”,则抽奖者再次获得 特等奖奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中特等奖奖金. (Ⅰ)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率; (Ⅱ)设特等奖奖金为 a 元,求小李参加此次活动收益的期望,若该公司在此次活动中收益的 期望值是至少获利 70000 元,求 a 的最大值. 19. (12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60°, AB=2CB=2.在梯形 ACEF 中,EF∥AC,且 AC=2EF,EC⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:BC⊥AF;

(Ⅱ)若二面角 D﹣AF﹣C 为 45°,求 CE 的长.

20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,动点 C 满足条件: △ ABC 的周长为 2+2 .记动点 C 的轨迹为曲线了. (Ⅰ)求曲线 T 的方程; (Ⅱ)已知点 M( ,0) ,N(0,1) ,是否存在经过点(0, )且斜率为 k 的直线 l 与 曲线 T 有两个不同的交点 P 和 Q,使得向量 不存在,请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)= (其中 k∈R,e=2.71828…是自然数的底数) ,f′(x)为 f + 与 共线?如果存在,求出 k 的值;如果

(x)的导函数. (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 x∈(0,1]时,f′(x)=0 都有解,求 k 的取值范围; (3)若 f′(1)=0,试证明:对任意 x>0,f′(x)< 恒成立.

四.选做题.【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的延长 线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:AB =DE?BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.
2

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 x 轴的非负半轴为为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程式 2ρsin(θ+ )=3

(φ 为参数) ,以 O 为极点,

,射线 OM:θ=

与圆心 C 的交点为 O、

P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m +n =a,求 + 的最小值.
2 2

河南省六市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x +2x﹣3<0},B={x|﹣ <x<1},则 A∩B 等于() 2 A.Φ B.{x|﹣3<x<1} C.{x|﹣ <x<1} D.{x|x +2x﹣3<0} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 通过化简 A,利用交集的定义计算即可. 解答: 解:∵x +2x﹣3=(x﹣1) (x+3)<0, ∴﹣3<x<1, 又∵B={x|﹣ <x<1}, ∴A∩B={x|﹣ <x<1}, 故选:C. 点评: 本题考查集合的交集运算,注意解题方法的积累,属于基础题. 2. (5 分)若复数 z 满足 z(1+i)=4﹣2i(i 为虚数单位) ,则|z|=() A. B. C. D. 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式计 算.
2 2

解答: 解:由 z(1+i)=4﹣2i,得 , ∴ .

故选:D. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题. 3. (5 分)2014-2015 学年高二年级某研究性学习小组为了了解本校 2014-2015 学年高一学生 课外阅读状况,分成了两个调查小组分别对 2014-2015 学年高一学生进行抽样调查.假设这两 组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理,则下列结论正确的是() A.两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 B. 两组同学的样本平均数一定相等 C. 两组同学的样本标准差一定相等 D.该校 2014-2015 学年高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据每一个个体被抽到的概率都为 ,可得每个个体被抽到可能性相同.

解答: 解:∵两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理, ∴每一个个体被抽到的概率都为 ,

∴该校 2014-2015 学年高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同, 故选 D. 点评: 本题考查了抽样方法,在抽样方法中,每个个体被抽到的概率相等. 4. (5 分)已知数列{an}为等比数列,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9 的值为() A.10 B.20 C.100 D.200 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 利用等比数列的性质即可得出. 解:∵数列{an}为等比数列, = =10 =100,
2

∴a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9= 故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的性质,属于基础题.

5. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为 2 的正三角 形,则这个几何体的体积是()

A.2cm

2

B.

cm

3

C. 3

cm

3

D.3cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高,进而得到该几何体的体积. 解答: 解:由几何体的三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,高为 的四棱锥, 其中直角梯形两底长分别为 1 和 2,高是 2. 故这个几何体的体积是 ×[ (1+2)×2]× = (cm ) .
3

故选:B. 点评: 本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题,属于基础题. 6. (5 分)从抛物线 y =4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=3,设抛物 线焦点为 F,则△ MPF 周长为() A.6+3 B.5+2 C. 8 D.6+2 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先设处 P 点坐标,进而求得抛物线的准线方程,运用定义,进而求得 P 点横坐标, 代入抛物线方程求得 P 的纵坐标,进而得到三角形周长. 解答: 解:设 P(x0,y0) , 依题意可知抛物线准线 x=﹣1,焦点 F 为(1,0) , 由抛物线的定义可得,|PM|=|PF|=3, 即 x0=3﹣1=2, ∴|y0|=2 ,即有 M(﹣2,±2 ) , ∴△MPF 的周长为|PF|+|PM|+|FM|=6+ =6+2 . 故选 D. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义. 7. (5 分)有一个 7 人学习合作小组,从中选取 4 人发言,要求其中组长和副组长至少有一人 参加,若组长和副组长同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序有() A.720 种 B.600 种 C.360 种 D.300 种 考点: 排列、组合的实际应用.
2

专题: 计算题;排列组合. 分析: 根据题意,分 2 种情况讨论,①只有甲乙其中一人参加,②甲乙两人都参加,分别 求出每一种情况下的情况数目,再由加法原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 2 种情况讨论, ①、若甲乙其中一人参加,需要从剩余 5 人中选取 3 人, 从甲乙中任取 1 人,有 2 种情况, 在剩余 5 人中任取 3 人,有 C5 =10 种情况, 4 将选取的 4 人,进行全排列,有 A4 =24 种情况, 则此时有 2×10×24=480 种情况; ②、若甲乙两人都参加, 2 需要从剩余 5 人中选取 2 人,有 C5 =10 种选法, 4 将甲乙和选出的 2 人,进行全排列,有 A4 =24 种情况, 则甲乙都参加有 10×24=240 种情况, 2 4 2 3 其中甲乙相邻的有 C5 A4 A2 A3 =120 种情况; 则甲乙两人都参加且不相邻的情况有 240﹣120=120 种; 则不同的发言顺序种数 480+120=600 种, 故选:B. 点评: 本题考查排列、组合知识,此类问题需要注意常见问题的处理方法,如相邻问题用 捆绑法等,本题的关键是根据题意正确进行分类讨论.
3

8. (5 分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则()

A.a=3

B.a=4

C.a=5

D.a=6

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S= ,k=4 时,由题意此时 满足条件 4>a,退出循环,输出 S 的值为 ,结合选项即可得解. 解答: 解:模拟执行程序,可得 S=1,k=1

不满足条件 k>a,S= ,k=2 不满足条件 k>a,S= ,k=3 不满足条件 k>a,S= ,k=4 由题意,此时满足条件 4>a,退出循环,输出 S 的值为 , 故选:A. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法, 依次写出每次循环得到的 S, k 的值是解题的关键, 属于基本知识的考查. 9. (5 分)设 m,n 是正整数,多项式(1﹣2x) +(1﹣5x) 中含 x 一次项的系数为﹣16, 2 则含 x 项的系数是() A.﹣13 B. 6 C.79 D.37 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由含 x 一次项的系数为﹣16 利用二项展开式的通项公式求得 2m+5n=16 ①. , 再根据 2 m、n 为正整数,可得 m=3、n=2,从而求得含 x 项的系数. 解答: 解:由于多项式(1﹣2x) +(1﹣5x) 中含 x 一次项的系数为 5)=﹣16, 可得 2m+5n=16 ①. 再根据 m、n 为正整数,可得 m=3、n=2, 故含 x 项的系数是
2 m n m n

?(﹣2)+

?(﹣

?(﹣2) +

2

?(﹣5) =37,

2

故选:D. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属 于基础题.

10. (5 分)为得到函数 y=sin(x+

)的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左平移 m 个单位长

度,或向右平移 n 个单位长度(m,n 均为正数,则|m﹣n|的最小值是() A. B. C. π D.2π

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数左右平移关系, 求出 m, n 的表达式, 然后根据绝对值的意义进行求解即可. 解答: 解:y=sinx 的图象向左平移 象,此时 m= +2kπ,k∈Z, +2kπ 个单位长度,即可得到函数 y=sin(x+ )的图

y=sinx 的图象向右平移 n= +2mπ,m∈Z, +2kπ﹣

+2mπ 个单位长度,即可得到函数 y=sin(x+

)的图象,此时

即|m﹣n|=|

﹣2mπ|=|2(k﹣m)π﹣ =

|, ,

∴当 k﹣m=1 时,|m﹣n|取得最小值为 2π﹣

故选:A 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,利用函数平移关系是解决本题的关键.

11. (5 分)如图,已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,

以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 C 的离心率为()

=3

,则双曲线

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定△ QAP 为等边三角形,设 AQ=2R,则 OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理, 即可得出结论. 解答: 解:因为∠PAQ=60°且 所以△ QAP 为等边三角形, 设 AQ=2R,则 OP=R, 渐近线方程为 y= x,A(a,0) ,取 PQ 的中点 M,则 AM= =3 ,

由勾股定理可得(2R) ﹣R =( 所以(ab) =3R (a +b )①
2 2 2 2

2

2

),

2

在△ OQA 中, ①②结合 c =a +b ,可得
2 2 2

= ,所以 7R =a ② = .

2

2

故选:B. 点评: 本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中 档题. 12. (5 分)若方程(x﹣1) +mx﹣m﹣2=0 各个实根 x1,x2,…,xk(k≤4,k∈N )所对应的 点 , (i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 m 的取值范围是() C. (﹣7,1) D.
4 *

A.(﹣1,7) B.(﹣∞,﹣7)∪(﹣1,+∞) (﹣∞,1)∪(7,+∞) 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 原方程等价于 (x﹣1)+m=
3

, 原方程的实根是曲线 y= (x﹣1)+m 与曲线 y=

3

的交点的横坐标,分别作出左右两边函数的图象:分 m>0 与 m<0 讨论,可得答案. 解答: 解:方程的根显然 x≠1,原方程等价于(x﹣1) +m= 原方程的实根是曲线 y=(x﹣1) +m 与曲线 y=
3 3 3 3



的交点的横坐标,

而曲线 y=(x﹣1) +m 是由曲线 y=(x﹣1) 向上或向下平移|m|个单位而得到的, 若交点(xi, ) (i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,

因直线 y=x 与 y= 所以结合图象可得,

交点为: (﹣1,﹣1) , (2,2) ;

由(2﹣1) +m=2,解得:m=1,

3

由(﹣1﹣1) +m=﹣1,解得:m=7 ∴m<1 或 m>7, 故选:D. 点评: 本题综合考查了反比例函数,反比例函数与一次函数图象的交点问题,数形结合是 数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质 二.填空题:本大题共四个小题,每小题 5 分,满分 20 分.把正确答案填在题中横线上. 13. (5 分)在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AB=2,AC=1,若 ,则 = .

3

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则和数量积的定义即可得出. 解答: 解:如图所示. 在直角三角形 ABC 中,∵∠C=90°,AB=2,AC=1. ∴CB= ∵ ∴ = =0+ = = = = = . 故答案为: . = , = . , =0

点评: 本题考查了向量的三角形法则和数量积的定义、勾股定理,属于基础题.

14. (5 分)曲线 C1:



=1 与曲线 C2:

+

=1 所围成图形的面积为



考点: 直线的截距式方程. 专题: 分类讨论;数形结合法;直线与圆. 分析: 根据题意,在同一坐标系中画出 C1、C2 所围成的图形,根据图形的对称性求出它的 面积即可. 解答: 解:对于曲线 C1: 当 x>0,y>0 时, ﹣ =1, 当 x>0,y<0 时, + =1, 当 x<0,y<0 时, ﹣ =﹣1, 当 x<0,y>0 时, + =﹣1; 对于曲线 C2: + =1, ﹣ =1,

当 x>0,y>0 时, + =1, 当 x>0,y<0 时, ﹣ =1, 当 x<0,y<0 时, + =﹣1, 当 x<0,y>0 时, ﹣ =﹣1; 在同一坐标系中画出这 8 条线段,它们所围成的图形是四边形 ABCD 和四边形 EFGH, 如图所示;



,得点 A(

, ) ;

∴△ABC 的面积为:S△ ABD= BD?yA= ×4× = ; ∴四边形 ABCD 的面积为:S 四边形 ABCD=2S△ ABD=2S△ ABD=2× = ; 由 C1、C2 所围成的图形的面积为: S=S 四边形 ABCD+S 四边形 EFGH=2× = 故答案为: . .

点评: 本题考查了直线方程的应用问题,也考查了分类讨论的应用问题,考查了数形结合 的应用问题,是综合性题目. 15. (5 分)已知数列{an}的首项为 a1=1,a2=3,且满足对任意的 n∈N ,都有 an+1﹣an≤2 ,an+2 n 2015 ﹣an≥3×2 成立,则 a2015=2 ﹣1. 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过对 an+1﹣an≤2 变形可得 an+1﹣an≥2 ,利用 an+1﹣an≤2 ,可得 an+1﹣an=2 ,并项 相加即得结论. n n 解答: 解:∵an+1﹣an≤2 ,∴﹣an+1+an≥﹣2 , n 又∵an+2﹣an≥3×2 , n n n+1 ∴an+2﹣an+1=an+2﹣an﹣an+1+an≥3×2 ﹣2 =2 , n ∴an+1﹣an≥2 , n n 又∵an+1﹣an≤2 ,∴an+1﹣an=2 , ∴a2015=a2015﹣a2014+a2014﹣a2013+…+a3﹣a2+a2﹣a1+a1 2014 2013 2 =2 +2 +…+2 +2+1 = =2 ﹣1, 2015 故答案为:2 ﹣1. 点评: 本题考查求数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.
2015 n n n n ? n

16. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 内接于球 O,球 O 的表面积是 24π,∠BAC= 锥 P﹣ABC 的最大体积是 .

,BC=4,则三棱

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 2 分析: 设球的半径为 R,球心为 O,如图所示,由球 O 的表面积是 24π,可得 4πR =24π, 解得 R.设△ ABC 的外心为 O1,外接圆的半径为 r,则 O1B=r= ,可得

.可得 O1P=

.在△ ABC 中,由余弦定理可得:

,利用基本不等式的性质可得 bc≤16,利用三棱锥 P﹣ABC 的体积 V= ,即可得出.

解答: 解:设球的半径为 R,球心为 O,如图所示, ∵球 O 的表面积是 24π,∴4πR =24π,解得
2

. = ,

设△ ABC 的外心为 O1,外接圆的半径为 r,则 O1B=r=

∴ ∴O1P= =

= .



在△ ABC 中,由余弦定理可得:
2 2



化为 b +c =bc+16≥2bc,∴bc≤16,当且仅当 b=c=4 时取等号. ∴三棱锥 P﹣ABC 的体积 V= 故答案为: . = × ≤ = ,

点评: 本题考查了三棱锥外接球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、正弦定理余 弦定理、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三.解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 f(x)=cosxcosx(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(c)=﹣ ,a=2,且△ ABC 的面积为 2 ,求边长 c 的值. ) .

考点: 余弦定理;三角函数的周期性及其求法.

专题: 解三角形. 分析: (1)由三角函数公式化简可得 f(x)= cos(2x+ (2)结合(1)可得 C= )+ ,由周期公式可得;

,由题意和面积公式可得 ab 的值,进而由余弦定理可得 c 值. )

解答: 解: (1)化简可得 f(x)=cosxcosx(x+ =cosx( cosx﹣ = ﹣ sinx)= cos x﹣ sin2x= cos(2x+ =π;
2

sinxcosx )+ ,

∴f(x)的最小正周期 T=

(2)由题意可得 f(C)= cos(2C+ ∴cos(2C+ )=﹣1,∴C= , ab=2

)+ =﹣ ,

又∵△ABC 的面积 S= absinC= ∴ab=8,∴b= = =4,



由余弦定理可得 c =a +b ﹣2abcosC=12, ∴c=2 点评: 本题考查余弦定理,涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式,属中档题. 18. (12 分)某公司举办一次募捐爱心演出,有 1000 人参加,每人一张门票,每张 100 元.在 演出过程中穿插抽奖活动,第一轮抽奖从这 1000 张票根中随机抽取 10 张,其持有者获得价 值 1000 元的奖品,并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑 随机产生两个实数 x,y(x,y∈[0,4]) ,若满足 y≥ x,电脑显示“中奖”,则抽奖者再次获得 特等奖奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中特等奖奖金. (Ⅰ)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率; (Ⅱ)设特等奖奖金为 a 元,求小李参加此次活动收益的期望,若该公司在此次活动中收益的 期望值是至少获利 70000 元,求 a 的最大值. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意知符合几何概型,从而求面积比即可; (Ⅱ)特等奖奖金为 a 元,设小李参加此次活动的收益为 ξ,则 ξ 的可能取值为﹣100,900, a+900.从而列分布列,再求数学期望,再令 ﹣ ≥70000 即可.

2

2

2

解答: 解: (Ⅰ)设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件 A, 所有基本事件构成区域的面积为 16, 事件 A 所包含的基本事件的区域的面积为 5,

∴P(A)=



(Ⅱ)特等奖奖金为 a 元, 设小李参加此次活动的收益为 ξ,则 ξ 的可能取值为﹣100,900,a+900. P(ξ=﹣100)= P(ξ=900)= P(ξ=a+900)= ? = = = . , ,

∴ξ 的分布列为 ξ ﹣100 P ∴Eξ=﹣100× +900×

900

a+900

+(a+900)

=﹣ ﹣

+

. ,

∴该集团公司收益的期望为﹣1000Eξ= 由题意 ﹣ ≥70000,

解得 a≤6400. 故特等奖奖金最高可设置成 6400 元. 点评: 本题考查了几何概型的应用及分布列与数学期望的求法,属于基础题. 19. (12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60°, AB=2CB=2.在梯形 ACEF 中,EF∥AC,且 AC=2EF,EC⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:BC⊥AF; (Ⅱ)若二面角 D﹣AF﹣C 为 45°,求 CE 的长.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 BC⊥AC,BC⊥EC,AC∩EC=C,可得 BC⊥平面 ACEF,从而 BC⊥AF; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 DAF 的法向量,平面 AFC 的法向量,根据二面角 D ﹣AF﹣C 为 45°,利用向量的夹角公式,即可求 CE 的长. 2 2 2 解答: (Ⅰ)证明:在△ ABC 中,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcos60°=3 2 2 2 所以 AB =AC +BC , 由勾股定理知∠ACB=90°所以 BC⊥AC. …(2 分)

又因为 EC⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD 所以 BC⊥EC. …(4 分) 又因为 AC∩EC=C, 所以 BC⊥平面 ACEF, 又 AF?平面 ACEF 所以 BC⊥AF. …(6 分) (Ⅱ)解:因为 EC⊥平面 ABCD,又由(Ⅰ)知 BC⊥AC,以 C 为原点,建立如图所示的空 间直角坐标系 C﹣xyz. 设 CE=h,则 C(0,0,0) , 所以 , , , .…(8 分) ,

设平面 DAF 的法向量为

=(x,y,z) ,则



.所以

=(

,﹣3,

) .…(9 分)

又平面 AFC 的法向量

=(0,1,0)…(10 分)

所以 cos45°=

=

,解得

. …(11 分)

所以 CE 的长为



…(12 分)

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质,考查面面角,考查向量知识的运用,正确求出平 面的法向量是关键. 20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,动点 C 满足条件: △ ABC 的周长为 2+2 .记动点 C 的轨迹为曲线了. (Ⅰ)求曲线 T 的方程;

(Ⅱ)已知点 M(

,0) ,N(0,1) ,是否存在经过点(0, + 与

)且斜率为 k 的直线 l 与

曲线 T 有两个不同的交点 P 和 Q,使得向量 不存在,请说明理由.

共线?如果存在,求出 k 的值;如果

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)设 C(x,y) ,由|AC|+|BC|+|AB|=2+2 ,|AB|=2,可得|AC|+|BC||=2 >2,利 用椭圆的定义可知:动点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆,除去与 x 轴的 两个交点. (II)设直线 l 的方程为:y=kx+ ,代入椭圆方程可得: +2 kx+1=0,由于

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,可得△ >0,解得 k 的取值范围.设 P(x1,y1) ,Q (x2,y2) ,向量 + 与 共线,∴ ,把根与系数的关系代入

解出即可判断出. 解答: 解: (I)设 C(x,y) ,∵|AC|+|BC|+|AB|=2+2 ,|AB|=2, ∴|AC|+|BC||=2 >2, ∴椭圆的定义可知:动点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆,除去与 x 轴的 两个交点, ∴a= ,c=1,∴b =a ﹣c =1. +y =1(y≠0) . ,代入椭圆方程可得: +2 kx+1=0,
2 2 2 2

∴曲线 T 的方程为:

(II)设直线 l 的方程为:y=kx+

∵直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q, ∴△=8k ﹣4
2

>0,解得

或k ∪ +

. .

∴满足条件的 k 的取值范围是 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,∴ 又 x1+x2=

=(x1+x2,y1+y2) , , = .

,y1+y2=k(x1+x2)+2

∵向量

+



共线,∴





,解得 k=





? +

∪ 与 共线.



∴不存在 k 使得向量

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△ >0 及其根与系数的关系、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (12 分)已知函数 f(x)= (其中 k∈R,e=2.71828…是自然数的底数) ,f′(x)为 f

(x)的导函数. (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 x∈(0,1]时,f′(x)=0 都有解,求 k 的取值范围; (3)若 f′(1)=0,试证明:对任意 x>0,f′(x)< 恒成立.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出当 k=2 时,f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得 到切线方程; (2)由 f′(x)=0 可得 k= ,运用导数求得右边函数的最大值,即可得到 k 的范围;
﹣2

(3)由 f′(1)=0,可得 k=1,对任意 x>0,g(x)<e +1 等价为 1﹣x﹣xlnx< 先证 1﹣x﹣xlnx≤e +1, 可由导数求得, 再证 恒成立. 解答: 解: (1)当 k=2 时,f(x)= 的导数为 f′(x)=
﹣2

(e +1) ,

﹣2

>1. 即可证得对任意 x>0, f( ′ x) <

(x>0) ,

f′(1)=﹣ ,f(1)= ,在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣ =﹣ (x﹣1) , 即为 y=﹣ x+ ;

(2)f′(x)=0,即

=0,即有 k=



令 F(x)=

,由 0<x≤1,F′(x)=﹣

<0,

F(x)在(0,1)递减,x→0,F(x)→+∞,F(x)≤1, 即 k≤1; (3)证明:由 f′(1)=0,可得 k=1,g(x)=(x +x)f′(x) ,即 g(x)= 对任意 x>0,g(x)<e +1 等价为 1﹣x﹣xlnx< 由 h(x)=1﹣x﹣xlnx 得 h′(x)=﹣2﹣lnx,
﹣2

2

(1﹣x﹣xlnx) ,

(e +1) ,

﹣2

当 0<x<e 时,h′(x)>0,h(x)递增,当 x>e 时,h′(x)<0,h(x)递减, ﹣2 ﹣2 ﹣2 则 h(x)的最大值为 h(e )=1+e ,故 1﹣x﹣xlnx≤e +1, x x 设 φ(x)=e ﹣(x+1) ,φ′(x)=e ﹣1,x>0 时,φ′(x)>0,φ(x)>0, φ(x)>φ(0)=0,则 x>0 时,φ(x)=e ﹣(x+1)>0 即 即 1﹣x﹣xlnx≤e +1<
﹣2

﹣2

﹣2

x

>1.

(e +1) ,

﹣2

故有对任意 x>0,f′(x)<

恒成立.

点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间及极值、最值,运用分离参数和不等 式恒成立问题转化为不等式的传递性是解题的关键. 四.选做题.【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的延长 线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:AB =DE?BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.
2

考点: 相似三角形的判定;相似三角形的性质;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;证明题. 2 分析: 对于(1)求证:AB =DE?BC,根据题目可以判断出梯形为等腰梯形,故 AB=CD, 然后根据角的相等证△ CDE 相似于△ BCD,根据相似的性质即可得到答案. 对于(2)由 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.根据弦切公式可得 PC =PD?PB,然后 根据相似三角形边成比例的性质求出 PD 和 PB 代入即可求得答案. 解答: 解: (1)∵AD∥BC ∴AB=DC,∠EDC=∠BCD, 又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC, ∴△CDE∽△BCD,∴
2 2 2



∴CD =DE?BC,即 AB =DE?BC. (2)由(1)知, ∵△PDE∽△PBC, ∴ . ,

又∵PB﹣PD=9,













点评: 此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题,其中应用到弦切公式, 题目属于平面几何的问题,涵盖的知识点比较多,有一定的技巧性,属于中档题目. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 x 轴的非负半轴为为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程式 2ρsin(θ+ )=3 ,射线 OM:θ= 与圆心 C 的交点为 O、 (φ 为参数) ,以 O 为极点,

P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I)把 cos φ+sin φ=1 代入圆 C 的参数方程为 数化为普通方程,把 代入可得圆 C 的极坐标方程.
2 2

(φ 为参数) ,消去参

(II)设 P(ρ1,θ1) ,联立

,解得 ρ1,θ1;设 Q(ρ2,θ2) ,联立

,解得 ρ2,θ2,可得|PQ|. 解答: 解: (I)圆 C 的参数方程为 ﹣1) +y =1, 把 代入可得圆 C 的极坐标方程:ρ=2cosθ.
2 2

(φ 为参数) ,消去参数化为普通方程: (x

(II)设 P(ρ1,θ1) ,则

,解得 ρ1=1,θ1=



设 Q(ρ2,θ2) ,则 ∴|PQ|=2.

,解得 ρ2=3,θ2=



点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、弦长问题,考 查了计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m +n =a,求 + 的最小值.
2 2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (I)f(x)=

,利用一次函数的单调性即可得出 a.

(II)由(I)可知:m +n =1,利用基本不等式的性质可得:1≥2mn,由于 m,n>0,再利用 基本不等式的性质即可得出 + 的最小值.

2

2

解答: 解: (I)f(x)=



∴当 x<﹣2 时,f(x)>f(﹣2)=2; 当﹣2≤x≤0 时,f(x)>f(0)=1; 当 x>0 时,f(x)>f(0)=1. 综上可得:函数 f(x)的最小值为 1,∴a=1. 2 2 (II)由(I)可知:m +n =1, ∴1≥2mn,∴ . ≥2 . ,当且仅当 m=n= 时取等号.

∵m,n>0,∴ + ≥2 ∴ + 的最小值为 2

点评: 本题考查了分段函数与一次函数的性质、基本不等式的性质,考查了数形结合的思 想方法与推理能力,属于中档题.


河南省六市2015届高考数学二模试卷(理科)

河南省六市2015届高考数学二模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。河南省六市 2015 届高考数学二模试卷(理科)一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,...

河南省六市2015届高考数学二模试卷(理科)

河南省六市2015届高考数学二模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。河南省六市 2015 届高考数学二模试卷(理科)一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,...

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。详细解析 2015 年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小...

河南省洛阳市2015届高考数学二模试卷(理科)(Word版含解析)

河南省洛阳市2015届高考数学二模试卷(理科)(Word版含解析)_数学_高中教育_教育专区。河南省洛阳市 2015 届高考数学二模试卷(理科)一、选择题(共 12 小题,每小...

河南省六市联考2015届高考数学一模试卷(理科)

河南省六市联考 2015 届高考数学一模试卷(理科)一.选择题: 2 1.已知集合 A={x|x >1},B={x|log2x>0},则 A∩B=( A.{x|x<﹣1} B.{x|>0} ...

河南省六市2015届高考数学二模试卷(文科)

河南省六市2015届高考数学二模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。河南省六市 2015 届高考数学二模试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60...

河南省郑州市2015届高考数学二模试卷(理科)

河南省郑州市2015届高考数学二模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。河南省郑州市 2015 届高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分...

2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016 年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)答案与解析 一、选择题 1.集合 A={x|x2+x≥0},B={x|5x≥5},则 A∩B=( ) A.{x|x≥0 或 x≤﹣1...

河南省郑州市2015届高考数学二模试卷(理科)

河南省郑州市2015届高考数学二模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。河南省郑州市 2015 届高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分...