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1.1集合2


1.1.1 集合的含义与表示

新课导入
(1)方峰,张怡灿,方浩鑫,黄志豪。

普宁二中高一(2)某些男同学的集合
(2)到直线l的距离等于定长d的所有的点;

到直线l的距离等于定长d的点的集合
(3)你进入高中时,领取各种新课本,有语文、数学、英语、物 理、艺术等教科书; 教科书的集



像以上这些例子,都是把某些具有共同属性的对象放在 一起,我们把具有某种(或某些)属性的一些对象的全体称 为一个集合(set)

课堂练习
练习1. 下面的各组对象是否构成一个集合? (1)正三角形的全体。 √ (2)2010年度诺贝尔经济学奖获得者。√ (3)普宁二中高一(2)班较帅的男生。 (4)我国的小河流。 × (5)大于3小于11的偶数。√ ×

新课
1.给定的集合,它的元素必须是确定的.如果研究的对 象不能确定,则它们不能组成集合. “成绩好的学生”“学校的大树”“普宁二中的漂亮 女生”就不能构成集合,常常无法确定,而是因个人的 理解而不同. 2.给定的集合,它的元素是互不相同的.在集合里没有

相同的元素,如果构成两个集合的元素是一样的,我们
就称这两个集合是相等的.

高一(2)的全体女生

新课
3.给定的集合,集合中的元素是杂乱无章堆在一起的,

没有绝对的顺序。
综上所述,可以得到集合的元素有以下三个特征,

我们习惯上称为: (1)确定性;
(2)互异性;

(3)无序性。

集合及与元素表示
通常用大写拉丁字母A,B,C,?表示集合, 用小写拉丁字母a,b,c?表示集合中的元素. 元素与集合的关系 若元素a属于某个集合A,就记作

a? A

;

若元素a不属于某个集合A,就记作 a ? A .

数学中常用数集及其记法:
数集 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 集合的分类 按集合中所含元素的个数,集合可分为两类:有限集和无 限集 记号 N N*或N+ Z Q R

2.集合的表示法 (1)列举法 当集合中的元素的个数较少或者元素之间规律性较 强的无限集时,在表示集合时,可以把集合中的元素一 一列举出来,并用花括号“{ }”把元素括起来.这种 表示集合的方法叫做列举法.
例如, 不大于10的正偶数的集合可以用{2,4,6,8,10} 表示.

课堂例题
例1 用列举法表示下列集合 (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合;

(3)由1-20以内所有素数组成的集合.
使用列举法的3不1无:

元素间逗号不可无,元素不遗漏,元素不重复,元素无 顺序。

(2)描述法 我们不能用列举法表示不等式x-7<3的解集,因为 这个集合中的元素是列举不完的.但是这个集合中的元 素的共同特征是可以描述的: x∈R ,且x-7<3 ,即 x∈R ,且x<10. 所以,我们可以把这个集合表示为 D={x∈R |x<10 } .

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描 述法.

用符号语言表示集合的一般方法是这样的: 上面的花括号内有一条竖线,竖线的左侧表示集合A中 的元素x及取值范围,竖线的右侧表示元素x所具有的共 同特征. 由具有某种共同特征的元素x组成的集合可表示为 {x∈A|A中元素的共同特征}. 在元素所属的集合比较明确的情况下,也可记作 {x|A中元素的共同特征}.

例如 一元二次方程x2-3x+2=0的根的集合可记作 {x|x2-3x+2=0}
锐角三角形的集合可记作

{x|x是锐角三角形}.
用描述法表示集合有三种语言:自然语言(即文字语言), 符号语言和图形语言. 图形语言:用一条封闭曲线表示一个集合,元素 放在封闭曲线内.

例如,不大于6的正整数的集合的三种表示法. 自然语言: 不大于6的正整数的集合; 符号语言:

{ x | 1 ? x ? 6, x是整数 };
图形语言:
1 4 2 3 6

5

课堂练习
习题1、已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三条边,那么 △ABC一定不是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三 角形

习题2、已知2 ?{1,2a, a 2 ? 1}, 求a的值。

6 习题3、设集合B ? {x ? N , ? N }. 2? x ( 1 )试判断元素 1和2与集合B的关系; (2)用列举法表示集合 B.

6 变式3、设集合B ? { ? N x ? N} 2?x ( 1 )试判断元素 1和2与集合B的关系; (2)用列举法表示集合 B.

课后强化
2 3 3

(1)由实数x,? x, x ,? x 所组成的集合里最多含 有多少个元素?

x y z xyz (2)设x, y, z是非零实数,若 a? ? ? ? , 求a的值构成的集合。 x y z xyz

课堂小结

本节通过实例,我们初步理解了集合的含义,集

合元素的三个特征,知道了集合与元素之间的关系,
学会了用不同的方法来表示集合.

1.1.2 集合间的基本关系

复习导入
集合就是(set)具有某种(或某些)属性的一些对象的全体, 而我们研究的对象统称为元素。 问1:对于给定的集合,它的元素具有哪些特征?

答:确定性,互异性,无序性。
问2:集合和元素之间的关系? 答:元素和元素之间是从属关系,对任一元素 x与集合A,要么x∈A,要么x∈A

复习导入
问3:常见的表示集合的方法有哪些?

答:表示集合的方法有列举法和描述法.
问4:集合的常见分类? 答:根据元素的个数可分为有限集和无限集。

有没有一个集合里面是没有元素的?

集合 A ? {x x ? 1 ? 0}
2

能否用列举法表示集合 A ? {x x ? 1 ? 0}?
2

规定:不含任何元素的集合叫做空集,对空集,我们用 一个特殊的符号? 表示.

问4:实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3, 等等.类比实数之间的关系,你会想到集合之间的什么 关系?

新课
请同学们讨论下列几组集合,你能发现两个集合间的 关系吗? (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4} (2)A={1,2,3},B={2,3,1} (3)设A为我们班级全体女生组成的集合,B为我们 班级全体学生组成的集合; (4)设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是有两条边相 等的三角形},

通过讨论可以发现(1),(3),(4)具有性质:集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素,这时我们说集合 A和集合B有包含关系.称集合A为集合B的子集.记作

A ? B(或B ? A),
读作“A包含于B”(或“B包含A”).

规定:空集是任何集合的子集,记为 ?

?A

由集合中元素的无序性可知:(2)中集合A和B是 同一个集合,这时我们也可以说集合A和集合B相等.

在数学中经常用图形表示集合,通常使用韦恩 (Venn)图,用一条封闭曲线的内部来表示集合,这 种图就叫做维恩图,例如上述两个集合A和B的关系可 以用下面作图表示.

A

B

问:你能举出具有包含关系的两个集合吗?

子集与集合相等

(2)集合的相等关系

类比实数中的大小关系:“若a≥b,且b≥a, 则a=b”得到: 若A ? B, 且B ? A,则A ? B.

类比于实数大小的性质关系1、a≤a; 2、a<b,b < c,则a < c. 你能的出集合关于子集的性质吗?

1. A ? A.

2.A ? B, B ? C, 则A ? C.

(3)真子集
在集合A是集合B的子集,即 A ? B 的情况下, 这两个集合的关系有两种情况出现: 1、A=B 2、A≠B

在 A ? B 且A≠B的情形下,即: A ? B,但存在元 素x∈B,且x ?A,我们称集合A是集合B的真子集 (prope subset),记作

规定:空集是任何非空集合的真子集.

课堂练习
练习1.用最适当的符号填空:

(1)a ________{ a, b, c}; (2)0 ________{ x | x ? 0};
2

(3)? ________{ 0}; (4)? ________{ ?}; (5){0} ________{ x | x 2 ? x}; (6){2,1} ________{ x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}.

课堂练习
练习2.写出集合{a,b,c,}的所有子集,并指出那些是它 的真子集。

课后加强训练:写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出那 些是它的真子集。

课堂练习
练习3:已知 {1, 2} ? M ? {1, 2, 3, 4, 5},则这样的集合 M有多少个?

练习4:已知集合 A ? {x ? 3 ? x ? 4}, B ? {2m ? 1 ? x ? m ? 1}, 且B ? A,求实数m的取值范围。

变式4:已知集合A ? {x ? 3 ? x ? 4}, B ? {2m ? 1 ? x ? m ? 1}, 且A ? B,求实数m的取值范围.

课后强化
1. 已知集合 A ? {x x 2 ?3 x ? 2 ? 0}, B ? {x ax ? 2 ? 0}, 且B ? A,求实数a组成的集合。
1 2. 已知集合A ? {x x ? (2k ? 1), k ? Z }, 9 4 1 B ? {x x ? k ? , k ? Z },判断集合A、B之间的关系 9 9
3.集合S ? {0,1,2,3,4,5}, A是S的一个子集,当 x ? A时,若 x ? 1? A且x ? 1? A, 则称x为A的一个“孤立元素”, 那么 S中无“孤立元素”的含 有4个元素的子集个数是( )

课堂小结
1.知识:本节课我们学习了集合之间的包含与 相等关系,学习了子集、真子集与空集等概念,学 习了表示这些关系与概念的符号,以及集合的Venn 图表示. 2.思想:本节开篇通过实数相等关系、大小关 系类比联想集合之间的基本关系,并归纳得出子集 的基本性质.

课后作业
1.课本第12页习题1.1A组第5题;

2.已知集合M ? {x | x 2 ? 1 ? 0}, T ? {x | ax ? 1 ? 0}, 若 , 求a的值.

1.1.3
集合的基本运算(1)

复习知识
问题1:什么叫集合A是集合B的子集,真子集?
问题2:关于集合相等、子集和空集,有哪些性质?

1.若A ? B,且B ? A,则A ? B;

2. A ? A;
3. A ? B, B ? C, 则A ? C;
4.? ? A.

新课导入
探究:考察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗?

(1) A ? ? 1,3,4,5?, B ? ?2,4,6?, C ? ? 1,2,3,4,5,6?
( 2) A ? x x是 有 理 数, B ? x x是 无 理 数, C ? x x是 实 数

?

?

?

?

?

?

新课
上述的(1),(2)都具有这样的特点:集合C是由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成的.

一、并集
定义:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集 合,称为集合A与B的并集. 记作:A ? B 读作:“A并B”

符号表示:A∪B={x x∈A或x∈B}

例 1.

课堂例题 设A ? ?4,5,6,8?, B ? ?3,5,7,8,?,求A ? B.
解:

A ? B ? ?4,5,6,8?? ?3,5,7,8? ? ?3,4,5,6,7,8?

讨论:为什么集合A和B中都有元素5和8,而在并集中

它们都各出现一次?

二、正确理解概念中的“所有”二字

(1)对概念中的所有,并非简单的认为A∪B是由集合A中 的所有元素和集合B中的所有元素合并在一起,而是应 该满足集合中元素的互异性,相同的元素即A与B的公 共元素只能算作并集中的一个元素

三、用韦恩图表示A∪B的示例

B
A (1)

A

B

A

B

(2)

(3)

四、并集的性质

(1) A ? A ? A; (2) A ? ? ? A; (3) A ? B ? B ? A; (4) A ? A ? B, B ? A ? B; (5) A ? B则A ? B ? B.

A

B
A∪B

A
B

例1. 设A ? {x | 0 ? x ? 3},B ? {x | x ? 1或x ? 2}, 求A ? B.
解:画出数轴可以帮助我们思考, (见图1-3-4)

A B ? R.

0

1

2

3

x

图 1-3-4

课堂例题
例2.(2009.山东高考)集合A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B ={0,1,2,4,16},则a的值为() A.0 B.1 C.2 D.4

例3.若集合A={1,3,x},B={1,x2},若A∪B ={1,3,x},则满足 条件的实数x有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

例3.集合A ? {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0},若 A ? B ? A, 求实数a的取值范围 .

思考:

求集合的并集是集合间的一种运算,那么, 集合间还有其他运算吗?

考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
(1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12},

C={8}. (2)A={x|x是2011年普宁二中高一(2)学生},
B={x|x是普宁二中2011年9月入学的高一年级女同学}, C={x|x是普宁二中2011年9月高一(2)女同学}.

一、并集
定义:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集 合,称为集合A与B的并集. 记作: A ? B 读作:“A并B”

符号表示:A∪B={x x∈A或x∈B}

二、交集
定义:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的 集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交

B”.

符号表示: A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}.

二、韦恩图表示:
A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

说明:集合A与B的交集是由具备这两个集合的共 同性质的元素所组成,因此若两个集合没有共同 特征的元素,则其交集为空集○

三、交集的性质

A∩B

(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A (6) A ? B ? A, 则A ? B.
A
A∩B

B

课堂练习
1. 已 知 集 合 T1 ? {2n | n ? N * }, T2 ? {3n | n ? N * }, 则T1 ? T2是( ( A) {5n | n ? N }
*

) ( B ) {6n | n ? N }
* *

(C ) { 2n | n ? N }

( D ) {3n | n ? N },
*

2. A ? {x ? 1 ? x ? 4}, B ? {x 2 ? x ? 5}, 求A ? B.
3.(2008.山东高考)满足M ?{1,2,3,4,5},且M∩{1,2,3}= {1,2}的集合M的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4

(A ? B) 3.集合A ? {1 , 2, 3, 4}, B ? A, 且1? ( A ? B),4 ?
则满足上述条件的集合B的个数是() A.1 B.2 C.4 D.8

4.(2010.江苏高考)设集合A={- 1,1,3}, B={a+2,a2+4}, A∩B={3},则实数a的值为()

5.设集合A={ a ? 1 ,3,5}, B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当 A∩B={2,3} 则实数a的值为()

6.设A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0}.
2

2

(1)若A ? B ? B, 求a的值; (2)若A ? B ? B, 求a的值.

课堂小结

1.两个概念:并集、交集 2.类比数的加法,学习集合的并运算.区分 集合的交集与并集的不同之处.

课后作业
1.课本第12页习题1.1A组第6、7、10题;

2. 已 知 集 合 M ? { x | ?3 ? x ? 5}, L ? { x | x ? 0或x ? 5}, 则M ? L ? ( ) ( A) R ( B ) { x | x ? ?3} (C ) { x | ?3 ? x ? 0或x ? 5} ( D ) { x | x ? R且x ? 5}

课后作业
3.用适当的符号填空,并从中总结出常用的 集合运算的性质:

(1) A ? B ________ A ________ A ? B; ( 2)若A ? B ? A, 则A ________ B; 若A ? B ? A, 则A ________ B.

1.1.3
集合的基本运算(2)

新课
1.问题:分别在有理数范围和实数范围内解 方程:

( x ? 2)( x ? 3) ? 0
2

解:在有理数范围内方程的解是:

x?2
在实数范围内方程的解是:

x ? 2, x ? ? 3 , x ? 3 .

2.问题讨论:不同的研究对象的范围对 问题结果有什么影响? 结论:在研究和解决问题时,我们经常需 要确定研究对象的范围.

一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常 记作U. 有时研究对象的范围是给定的集合,这时,我 们也把给定的集合作为全集.

定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集, 简称为集合A的补集, 记作 . 读作“集合A的补集” 即

可用Venn图1-1-5表示如下:

图1-1-5

课堂例题
例1. 设U ? x x是 小 于 9的 正 整 数, A ? ?1,2,3?, B ? ?3,4,5,6? ,求 , .

?

?

由于全集本身的元素个数较少(8个元素),试 画出Venn图表示集合以及讨论集合之间的关系.

发现: (1)集合都是全集的子集; (2)集合不同,其补集也是不同的; (3)一个集合和它的补集的并集是全集, 一个集合和它的补集的交集是空集.

例2. 设 全 集 U ? x x是 三 角 形, A ? x x是 锐 角 三 角 形 , B ? x x是 钝 角 三 角 形 , 求A ? B,

?

?

?

?

?

?

( A ? B ).

思考:求

A,

B并讨论与

( A ? B)的关系 .

课堂练习
1. 已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7}, A ? {2,4,5}, B ? {1,3,5,7}, 求A ? ( B), ( A) ? ( B).

2.已知集合 A ? {x x ? 3}, B ?{x ? 1 ? x ? 4}, 求C R ( A ? B) ,

CR ( A ? B), A ? CR B.

3.已知全集U ? {不大于10的非负偶数 },A ? {0,2,4,6}, B ? {x x ? A且x ? 4}, 求CU A及A ? (CU B) .

(CU B) ? A ? {1,2,3}, (CU A) ? (CU B) ? {6,7,8}, 求集合

4.设全集U ? {x ? N ? x ? 10}, A? U , B ? U , 且A ? B ? {4, 5},

A和B.

5.设全集U ? {1,2, x2 ? 2}, A ? {1, x}, 求CU A.

2.用适当的符号或字母填空,并从中总结出 A?U . 补集的性质.其中为全集U,

(1) A ? A ? ________; ( 2) A ? A ? ________; ( 3) A ________ U ; (4) ( A) ? ________ .

讨论:集合的并、交、补有哪些运算规律?

集合运算的一些规律:

(1) A ? A ? A, A ? ? ? ?,
( 2) A ? B ? B ? A, A ? B ? B ? A, A ? B ? A ? B; ( 3) A ? B ? A, A ? B ? B,

A ? A ? A, A ? ? ? A;

A ? B ? A, A ? B ? B; ( 4) A ? A ? U , A ? A ? ? ,

A ? U,

(

A) ? A;

(5) A ? B ? A ? A ? B;
(6)若A ? B ? A, 则A ? B; 若A ? B ? A, 则A ? B;
(7) ( A ? B) ? ( ( A ? B) ? ( A) ? ( A) ? ( B ); B ).


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