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2014届高三文科数学试题


2014 届高三文科数学试题
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.

(CU A) ? B 为( ) 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1,2,3} , B ? {2, 4} ,则
A. ?1, 2, 4? B. ?2, 3, 4? C. ?0, 2, 4?

D. ?0, 2,3, 4? )

2. 若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位) ,则 z 为( A. 3 ? 5i B. 3 ? 5i C. ?3 ? 5i
? ?

D. ?3 ? 5i ) D.16

3. 在 Rt ?ABC 中, ?C =90°AC=4,则 AB . AC 等于( A. -16 B. -8 C. 8

4. 已知 a, l 是直线, ? 是平面,且 a ? ? ,则“ l ? a ”是“ l ? ? ” 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件

5. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A.15 C. 30 B.20 D.60

6. 根据如图所示的求公约数方法的程序框图,输入 m ? 2146, , n ? 1813 则输出的实数 m 的 值为( A. 36 ) B. 37 C. 38 D. 39
开始 输入 m, n 求 m 除以 n 的余数 r

7. 有四个关于三角函数的命题:

P 1 : ?x ? R,sin x ? cos x ? 2

P2 : ? x ? R , sin 2 x?

s ix n

1 ? cos 2 x P3 : ?x ? [? , ], ? cos x 2 2 2
P4 : ?x ? (0, ? ), s in x ? cos x
其中真命题是( ) A.P1,P4 B.P2,P4 C.P2,P3 D.P3,P4

? ?

m=n,n=r

r=0?
是 输出 m 结束



8. 设长方体的长、宽、高分别为 2a 、 a 、 a ,其顶点都在一个球 面上,则该球的表面积为( ) A. 3? a
2

B. 6? a

2

C. 12? a

2

D. 24? a
-1-

2

9. 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数 分别是( ) B.91.5 和 92 D.92 和 92

A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5

10. 已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 10 , 0) 、 F2 ( 10 , 0) , M 是此双曲线上的一点,且满足

???? ? ????? ???? ? ????? MF1 ? MF2 ? 0 , | MF1 | ? | MF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是(
A.

) D.

x2 ? y2 ? 1 9

B. x 2 ?

y2 ?1 9

C.

x2 y 2 ? ?1 3 7

11. 设 函 数 f ( x)? s i ? n ( x? ? ? )

c? o sx(? ? ? ) ?(

? ? 0?, 的 最 小 ) 正周期为 ? ,且
2

x2 y 2 ? ?1 7 3

f (? x)? f ( x,则 ) f ( x) 在(
A. ? ?

)

? 3? ? ? ?? ? ?? , ? 单调递减 B. ? 0, ? 单调递减 C. ? 0, ? 单调递增 ? 2? ? 2? ?4 4 ?

D. ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递增 ?

12. 已知两条直线 l1 : y ? m 和 l 2 : y ?

8 (m ? 0) , l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相 2m ? 1

交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投 影长度分别为 a, b ,当 m 变化时, A.16 B. 8

b 的最小值为( a
C. 16 2

) D. 8 2

二,填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 曲线 y ? ? x ? 3x 在点(1,2)处的切线方程为
3 2



14. 已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为
2 2 15. 设实数 x, y 满足 x ? y =4,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值为

.

16. 已知奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,给出以下命题:①函数 f ( x) 是周期为 2 的周 期函数;②函数 f ( x) 的图象关于直线 x=1 对称;③函数 f ( x) 的图象关于点(k,0) (k∈Z) 对称;④若函数 f ( x) 是(0,1)上的增函数,则 f ( x) 是(3,5)上的增函数,其中正确命 题有_______.

-2-

三、解答题(本大题有 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 an ? 1
2

18. 如图,正方形 ABED 、直角梯形 EFGD 、直角梯形 ADGC 所在平面两两垂直 ,

AC ? DG ? EF .且 DA ? DE ? DG ? 2 , AC ? EF ? 1 .
(Ⅰ)求证: BF // CG ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABF 的高。 D E B

A

C

G F

19. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 。
2

(Ⅰ)设集合 P ? ?1, 2,3? 和 Q ? ??1,1, 2,3, 4? ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和

b ,求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;
?x ? y ? 8 ? 0 ? (Ⅱ)设点 (a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函 ?y ? 0 ?
数的概率。

20. (本小题满分 12 分)已知 f ( x ) ? x ln x, g ( x ) ? ? x ? ax ? 3.
2

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的最小值; (Ⅱ)对一切 x ? (0, ??),2 f ( x)≥g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

-3-

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 右焦点为 F1、F2 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 PF1 ? PF2 ?

x2 y 2 a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 P (b, ) 在椭圆上,其左、 2 a b 2

???? ???? ?

1? 1 ? ,过点 S ? 0,? ? 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,请问在 y 轴上 3? 2 ?

是否存在定点 M ,使以 AB 为直径的圆恒过这个定点?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由。

22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐
t ? x ? 1? ? 2 标系,直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) 。 ? 3 ?y ? 2? t ? ? 2

(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 x ? 2 3 y 的最小值。

? x? ? 3 x ? y? ? y

得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) ,

-4-

文科数学答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 A 10 A 11 B 12 D

二、填空题 13、 y ? 3x ? 1 14、

?
6

(30? )

15、 2 2

16、①③

三、解答题(本大题有 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (满分 12 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
2 n ? 1)=2n+1 ; S n = 3n+ 所以 an ? 3 ? (
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 = = ?( = ? ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1- + ? +? + ) = ? (1)= 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n 。 4(n+1)
B

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

A

C

18. (满分 12 分) 解析: (Ⅰ)设 M 是 DG 的中点,证 BF // AM , AM // CG ; (Ⅱ)体积法或直接法或向量法都可得答案为 D E F G

2 5 。 5

-5-

19. (满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?
2

2b , a

要使 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,
2

当且仅当 a >0 且

2b ? 1,即2b ? a a
5 1 ? 15 3

若 a =1 则 b =-1;若 a =2 则 b =-1,1;若 a =3 则 b =-1,1; ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴所求事件的概率为
2

[1,??) 上为增函数, (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2b ? a 且 a >0 时,函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1在区是间

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ? 依条件可知全部结果所构成的区域为 ?(a, b) ?a ? 0 ? ,该区域为三角形部分。 ? ?b ? 0 ? ? ? ?
?8? ?a ? b ? 8 ? 0 3 ?1。 16 8 ∴所求事件的概率为 P ? 2 由? 得交点坐标为( , ), ? a 1 3 3 b? ? ?8?8 3 2 ? 2
20. (满分 12 分)
1 ????2 分 e 1 1 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 ??3 分 e e 1 1 ??????????????????????5 分 f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e 3 2 (2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ? ,????????????7 分 x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? , x x2
解: (1) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减, ② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增, 所以 h( x) min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 所以 a ? h( x) min ? 4 ;?????????????????????12 分

1

8

21. (满分 12 分)

-6-

解: (Ⅰ)点 P (b, ) 代入

a 2

x2 y2 b2 a 2 2 ? 2 ?1? e ? ? ? 1 得 ??4 分 2 2 2 a 4b a b 2

???? ???? ? 1 a a 1 a2 1 2 2 (Ⅱ) PF1 ? PF2 ? ? (?c ? b, ? ) ? (c ? b, ? ) ? ? b ? c ? ? ?a? 2 2 2 2 2 4 2 x2 故所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ??6 分 2
(Ⅱ)假设存在定点 M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点。 当 AB ? x 轴时,以 AB 为直径的圆的方程为: x ? y ? 1
2 2

?????③

当 AB ? y 轴时,以 AB 为直径的圆的方程为: x 2 ? ( y ? ) 2 ? 由③,④知定点 M ?0,1? 下证:以 AB 为直径的圆恒过定点 M ?0,1? 。 设直线 l : y ? kx ?

1 3

16 9

????④

x2 1 4 16 ,代入 ? y 2 ? 1 消去 y 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? kx ? ? 0 . 2 3 3 9 4k ?16 . , x1 x2 ? 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)
??8 分

设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

又 MA ? ? x1 , y1 ? 1? , MB ? ? x2 , y2 ? 1? ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 4 ?? 4? ? ? MA ? MB ? x1 x2 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? x1 x2 ? ? kx1 ? ?? kx2 ? ? 3 ?? 3? ?

4 16 ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 3 9 ?16 4 4k 16 ? ?1 ? k 2 ? ? k ? 2 2 9 ? 2k ? 1? 3 3 ? 2k ? 1? 9 ?0

?在 x 轴上存在定点 M (0,1) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个定点.
其他方法酌情给分。
22. (满分 10 分)
解: (1) ? : y ? 2 ?

?12 分

3( x ? 1);圆C : x 2 ? y 2 ? 1 ——————————4 分

(2)曲线 C ' :

x2 ? y 2 ? 1 ——————————7 分 9

令?

? x ? 3cos ? ? x ? 2 3 y ? 3cos ? ? 2 3 sin ? ——————————9 分 ? y ? sin ?

-7-

? 21sin(? ? ? ) ? x ? 2 3 y 最小值 ? 21 ——————————10 分

-8-


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