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高中数学空间几何体的表面积和体积人教版必修2


第 七 章
立 体 几 何

第 二 节 空 间 几 何 体 的 表 面 积和 体积

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

提 能 力

[备考方向要明了]
考 什 么 会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式)

/> 怎 么 考 1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点,多与三视 图相结合命题. 2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积,同 时考查空间想象能力及运算能力.题型多为选择、填

空题.

柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 S侧= 2πrl S侧= rl π 体积 V= Sh =π r2h

1 1 2 1 V= Sh = πr h = πr2 l2-r2 3 3 3
V= 1 (S上+S下+ S上 · 下 S = 3 1 2 2 π(r +r +r r )h 3 1 2 12 )h

圆台

S侧= π(r1+r2)l

面积
直棱柱 S侧= Ch V= Sh

体积

1 正棱锥 S侧= Ch′ 2

1 V= Sh 3

1 1 正棱台 S侧= (C+C′)h′ V= (S上+S下+ S上·下)h S 3 2
球 S球面= 4 π R2

4 3 V= πR 3

1.(教材习题改编)一个正方体的体积是8,则这个正方
体的内切球的表面积是 A.8π C.4π B.6π D.π ( )

解析:设正方体的棱长为a,则a3=8,∴a=2.而此
正方体的内切球直径为2,∴S表=4πr2=4π.

答案: C

2.(教材习题改编)正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的全面积为 ( A.48(3+ 3) C.24( 6+ 2) B.48(3+2 3) D.144 )

3 解析:其侧面面积为6×6×4=144,底面积为2× 4 ×42×6=48 ∴S全=48(3+ 3).

3,

答案: A

3.已知某几何体的三视图如下,则该几何体的体积为

(

)

A.1 1 C.3

1 B.2 1 D.6

1 1 解析:由题意可知,该几何体的体积为V=3·正方形· 3. S 1=

答案: C

4.(教材习题改编)在△ABC中,AB=2,BC=3, ∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周所形 成的几何体的体积为________.
解析:形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后剩余部分,作AD⊥BC, 1 1 2 ∴AD= 3.∴V= πAD ×(BC+BD)- πAD2×BD=3π. 3 3

答案: 3π

5.如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三 角形,俯视图是正方形,则该几何体的外接球的体 积是________.

解析:依题意得知,该几何体是一个正四棱锥,其中底 面是边长为2的正方形、高是 2 ,因此底面的中心到各 顶点的距离都等于 2 ,即该几何体的外接球球心为底面 正方形的中心,外接球半径为 2 ,故该几何体的外接球 4 8 2 3 的体积等于 π×( 2) = π. 3 3
8 2 答案: 3 π

1.求体积时应注意的几点 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已 知体积公式的几何体进行解决.

(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及
数据的准确性. 2.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.

[精析考题] [例1] (2011· 安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何 体的表面积为 ( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

[自主解答]

由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底

面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽为2的矩形;两个梯形侧面 垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形,宽 1 为4,长为 42+12 = 17.所以S表=42+2×4+ 2 ×(2+4)×4×2+4× 17 ×2=48+8 17.

[答案] C

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 西安模拟)一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积 (单位:cm2)为 ( )

A.48+12 2 C.36+12 2

B.48+24 2 D.36+24 2

解析:依题意知,该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC, 其中PD⊥平面ABC,底面三角形ABC是一个等腰直角三角 形,BC=CA=6,AC⊥BC,AB= AC2+BC2=6 2, PD=4,点D到边BC的距离为DE=3,连接PE,则有PE 1 ⊥BC,PE= DE2+PD2=5,因此,该几何体的表面积等于2×62+2× 1 1 (2×6×5)+2×6 2×4=48+12 2.

答案: A

2.(2012· 烟台模拟)如图所示是一个几何体的三视图,根 据图中数据,可得该几何体的表面积是________.

解析:此几何体的上部为球,球的直径为2,下部为一
圆柱,圆柱的高为3,底面圆的直径为2,所以S表=4π+

π+π+2π×3=12π. 答案: 12π

[冲关锦囊] 1.在求多面体的侧面积时,应对每一侧面分别求解后再 相加,对于组合体的表面积应注意重合部分的处理. 2.以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对

给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何
体中各元素间的位置关系及数量关系. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要 将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与 底面圆的面积之和.

[精析考题] [例2] (2011· 湖南高考)如图所示是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 9 A.2π+12 C.9π+42 9 B.2π+18 D.36π+18 ( )

[自主解答]

由三视图可得几何体为长方体与球的组合体,
2

4 33 9 故体积为V=3 ×2+3π(2) =18+2π.

[答案] B

若本例的三视图变为如图所示,求该几何体的体积.

解:该几何体下部是一个正方体,棱长为4,上部为 圆柱,底面半径为1,高为4,则 V=4×4×4+π·12×4=64+4π.

[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 长安模拟)一个空间几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体 积为 6 A.5π cm3 B.3π cm3 2 C.3π cm3 7 D.3π cm3 ( )

解析:由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆 2 柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,所以其体积为V=πr2h- 3 πr3 2 7 =3π-3π=3π cm3.

答案: D

4.(2012· 潍坊模拟)如图所示,已知球O的面上有四点A、B、C、 D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球O 的体积等于________.

解析:如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体, 设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体 对角线长即为球O的直径,所以|CD|= 6 ? 2? +? 2? +? 2? =2R,所以R= 2 .
2 2 2

4πR3 故球O的体积V= 3 = 6π.
答案: 6π

[冲关锦囊]

1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应
的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋 转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化 法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的

方法,应熟练掌握.

3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥

的底面.①求体积时,可选择容易计算的方式来计
算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.

[精析考题] [例3] (2011· 陕西高考)如图,在△ABC中,∠ABC=

45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD 折起,使∠BDC=90°.

(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.

[自主解答]

(1)∵折起前AD是BC边上的高,

∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB. 又DB∩DC=D,

∴AD⊥平面BDC.
又AD?平面ABD, ∴平面ABD⊥平面BDC.

(2)由(1)知,DA⊥DB,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1,DB⊥DC, ∴AB=BC=CA= 2. 1 1 从而S△DAB=S△DBC=S△DCA=2×1×1=2, 1 3 S△ABC=2× 2× 2×sin60° 2 , = 1 3 3+ 3 ∴三棱锥的表面积S=2×3+ 2 = 2 .

[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.(2012· 衢州模拟)矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折起,使面 BAC⊥面 DAC,则四面体 A-BCD 的外接球 的体积为 125 A. 12 π 125 C. 6 π 125 B. 9 π 125 D. 3 π ( )

5 4 5 125 解析:外接球直径为BD,∴半径为2.∴V=3π(2)3= 6 π.

答案:C

6.(2012· 湖州模拟)如图所示,已知一个 多面体的平面展开图由一个边长为1 的正方形和4个边长为1的正三角形 组成,则该多面体的体积是________.

解析:折起后为正四棱锥,如图 S底=1,

PO=

1 2 1-2= 2

1 2 2 ∴V=3×1× 2 = 6 .
2 答案: 6

[冲关锦囊] 解决折叠问题时要注意 1.对于翻折前后,线线、线面的位置关系,所成角及距离 加以比较,观察并判断变化情况. 2.一般地,分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系

和数量关系发生变化,位于同一个半平面的元素,其相
对位置和数量关系不变. 3.对于某些翻折不易看清的元素,可结合原图形去分析、 计算,即将空间问题转化为平面问题.

数学思想

函数与方程思想在空间几

何体中的应用

[考题范例]
(2011· 四川高考)如图,半径为R的球O中有一内接圆 柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的 侧面积之差是__________.

[巧妙运用] 法一:设圆柱的轴与球的半径的夹角为α,则圆柱高为 2Rcos α,圆柱底面半径为Rsin α,∴S圆柱侧=2π·Rsin

α· 2Rcos α=2πR2sin 2α.当sin 2α=1时,S圆柱侧最大为
2πR2,此时,S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.

法二:设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R2-r2. 4πr2 ∴S 圆柱侧=2πr· R -r ,S′圆柱侧=4π R -r - 2 2. 2 R -r
2 2 2 2

2 令 S′圆柱侧=0,得 r= 2 R. 2 2 当 0<r< 2 R 时,S′>0;当 2 R<r<R 时,S′<0. 2 ∴当 r= 2 R 时,S 圆柱侧取得最大值 2πR2. 此时 S 球表-S 圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.

法三:设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R2-r2, r2+?R2-r2? ∴S 圆柱侧=2πr· R -r =4π r ?R -r ?≤4π 2 =2πR2 2
2 2 2 2 2

2 (当且仅当 r2=R2-r2,即 r= 2 R 时取“=”). 2 ∴当 r= 2 R 时,S 圆柱侧最大为 2πR2. 此时 S 球表-S 圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.

答案:2πR2

[题后悟道] 本题巧妙地将函数最值的求法与空间几何体的面积交 汇命题,求解思路较多.方法一设圆柱的轴与球的半径的

夹角α为变量,利用三角函数有界性求最值.方法二、三设
圆柱的底面半径r为变量,使用导数或基本不等式求最值, 充分体现了知识交汇,能力立意.

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