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13年高二第一次检测试题(必5 解三角形 数列)

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紫荆中学 2013—2014 学年第一学期单元测试题(1)
解三角形 数列 [必修(5)]
说明:本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,答案全部做在答题卷相应题号上,只交答题卷!

C.①有两解,②只有一解.

D.①只有一解,②有两解.

9.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a4+a5>0,a4·a

5<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 的值为( A.4 ). B.5 C.7 D.8 ).

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每小题 5 分,共 60 分.
1.数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),那么 a4 的值为( A.4 B.8 C.15 ). D.31

10.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn 等于( A.2n 1-2


B.3n

C.2n

D.3n-1

11.在△ABC 中,关于 x 的方程(1+x2)sin A+2xsin B+(1-x2)sin C=0 有两个不等的实根,则 A 为( A.锐角 ). B.直角 C.钝角 D.不存在

2.△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=3,b=4,∠C=60°,则 c 的值等 于( A.5 ). B.13 C. 13 D. 37 ).

12.△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 A.
1? 3 2

3 ,那么 b=( 2

). C.
2? 3 2

3.三角形三边长为 a,b,c,且满足关系式(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则 c 边的对角等于( A.15° B.45° C.60° ). D.30° ). D.47 ). D.120°

B.1+ 3

D.2+ 3

4.在△ABC 中,a=2 3 ,b=2 2 ,∠B=45°,则∠A 为( A.30°或 150° B.60° C.60°或 120°

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:把答案填在答题卷的横线上. 每小题 5 分,共 20 分.
13.已知 x 是 4 和 16 的等比中项,则 x= .
?

1 5.等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n 的值为( 3

A.50

B.49

C.48

14.一树的树干被台风吹断,折断部分与残存树干成 30 角,树干底部与树尖着地处相距 5m,则树 干原来的高度为 . . .

6.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于( A.160 7.在△ABC 中,若
a cos A 2

B.180 =
b cos B 2

C.200 =
c cos C 2

D.220 ).

15. 设等比数列{an}的公比为 q, n 项和为 Sn, Sn+1, n, n+2 成等差数列, q 的值为 前 若 S S 则 16.在等比数列{an}中,若 a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,则 a13+a14+a15=

,则△ABC 是(

三.解答题:共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题 10 分)△ABC 中,BC=7,AB=3,且

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等边三角形 D.等腰直角三角形 (1)求 AC 的长; (2)求∠A 的大小.

3 sin C = . sin B 5

8.根据下列条件解三角形:①∠B=30°,a=14,b=7;②∠B=60°,a=10,b=9.那么下面判 断正确的是( ). B.①有两解,②也有两解.

A.①只有一解,②也只有一解.

18. (本小题 12 分)在等比数列{an}中, (1)若 a3 ?

21. (本小题 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项的和记为 Sn.如果 a4=-12,a8=-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn 的最小值及其相应的 n 的值; (3)从数列{an}中依次取出 a1,a2,a4,a8,…, a2 n- 1 ,…,构成一个新的数列{bn},求{bn}的 前 n 项和.

3 9 , S 3 ? ,求 a1 与 q 2 2

(2)若 a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,求 a3 .

19. (本小题 12 分)某观测站 C 在 A 城的南偏西 20 方向上,由 A 城出发的一条公路走向是南偏东

?

40? .在 C 处测得公路上距 C 为 31km 的 B 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20km 后到达 D 处,
此时 CD 间的距离为 21km,则这个人还要走多远才可到达 A 城? 22. (本小题 12 分)在数列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1. (1)设 bn=an+1-2an,求证数列{bn}是等比数列; A (2)设 cn=

an ,求证数列{cn}是等差数列; 2n

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和的公式. D C B

20. (本小题 12 分)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 bcos C=(2a-c)cos B, (Ⅰ)求∠B 的大小; (Ⅱ)若 b= 7 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

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庄浪县紫荆中学 2013—2014 学年 第一学期单元测试题答题卡
座位号

18.(12 分)

19.(12 分)

第1次
一 二

解三角形


数列
总分

A

题号 得分

D C

一、 选择题: 每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 二、 填空题:每小题 5 分,共 20 分 13. 15. 14. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B

学号

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 请在各题目相应的答题区域内作答, 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效. 17.(10 分)

班级

姓名

20.(12 分)

21.(12 分)

22.(12 分)

答案 一、CCCCA BBDDC 二、13. AB

bn= a 2n?1 =2×2n 1-20=2n-20. 所以 Tn=b1+b2+b3+…+bn=(21-20)+(22-20)+(23-20)+…+(2n-20) =(21+22+23



?8

14.

(10 ? 5 3 )m

15.

?2

16.

1 2

+…+2n)-20n=

三.17.解:(1)由正弦定理得
AC AB AB sin C 3 5?3 = = = ? AC= =5. ? 5 3 sin C AC sin B sin B

2 ? 2 n?1 -20n=2n+1-20n-2. 1? 2

22.解析:(1)由 a1=1,及 Sn+1=4an+2, 有 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,∴ b1=a2-2a1=3. 由 Sn+1=4an+2 ①,则当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2. ②

(2)由余弦定理得 cos A=

1 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 9 ? 25 ? 49 = =- ,所以∠A=120°. 2 AB ? AC 2 ? 3? 5 2

3 1 18.(1)当 q ? 1 时, a1 ? ;当 q ? ? 时, a1 ? 6. 2 2 1 (2)当 q ? 时, a1 ? ?16. 此时 a3 ? ?4; 当 q ? 2 时, a1 ? 1 此时 a3 ? 4. 2
19. 15km 20. 解:(Ⅰ)由已知及正弦定理可得 sin Bcos C=2sin Acos B-cos Bsin C, ∴ 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C). 又在三角形 ABC 中,sin(B+C)=sin A≠0, ∴ 2sin Acos B=sin A,即 cos B= (Ⅱ)∵ b2=7=a2+c2-2accos B,∴ 7=a2+c2-ac, 又 (a+c)2=16=a2+c2+2ac, ac=3, S△ABC= ∴ ∴ 21.解:(1)设公差为 d,由题意,

②-①得 an+1=4an-4an-1,∴ an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵ bn=an+1-2an,∴ bn=2bn-1.∴ {bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. ∴ bn=3×2 n 1. (2)∵ cn=


a 3 ? 2 n?1 3 an a a ? 2a b ,∴ cn+1-cn= n ?1 - n = n?1 n?1 n = nn 1 = = , 2 n?1 2n 2 2? 4 2 n ?1 2 n

1 π ,B= . 2 3

c1=

a1 1 1 3 = ,∴ {cn}是以 为首项, 为公差的等差数列. 2 4 2 2

(3)由(2)可知数列 ? ∴

1 3 ? an ? 是首项为 ,公差为 的等差数列. n? 2 4 ?2 ?

3 3 3 1 1 acsin B, 即 S△ABC= · 3· = . 4 2 2 2

an 1 1 3 3 - = +(n-1) = n- ,an=(3n-1)·2n 2 是数列{an}的通项公式. n 2 2 4 4 4
- -

设 Sn=(3-1)·2 1+(3×2-1)·20+…+(3n-1)·2n 2. Sn=2Sn-Sn =-(3-1)·2 1-3(20+21+…+2n 2)+(3n-1)·2n =-1-3×
- - -1

? a1+3d=-12, ? a4=-12, ? a =-4 ? ? a +7d=-4. ? 8 ? 1
? d=2, 解得 ? ? a1=-18.

所以 an=2n-20.

2 n-1-1 - +(3n-1)·2n 1 2-1
-1

(2)由数列{an}的通项公式可知, 当 n≤9 时,an<0, 当 n=10 时,an=0 当 n≥11 时,an>0.

=-1+3+(3n-4)·2n =2+(3n-4)·2n 1.


所以当 n=9 或 n=10 时,由 Sn=-18n+n(n-1)=n2-19n 得 Sn 取得最小值为 S9=S10=-90. (3)记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,由题意可知

∴ 数列{an}的前 n 项和公式为 Sn=2+(3n-4)·2n 1.




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