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解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案


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解三角形
【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2 R (R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin

A sin B sin C

2、变形公式: (1)化边为角: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;

a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R (3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C a?b?c a b c (4) ? ? ? ? 2R . sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C
(2)化角为边: sin A ? 3、三角形面积公式: S?ABC

1 1 1 1 abc ? ah ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? ? 2R 2 sin A sin B sin C 2 2 2 2 4R

4、正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (解唯一) (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. (解可能不唯一) 二、余弦定理 1、余弦定理: a
2

? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ? b ? c ? a
2 2
2 2

2

2bc
2

b ? c ? a ? 2ac cos B ? cos B ? c ? a ? b 2ca
2 2 2

2

2

c ? a ? b ? 2ab cos C ? cos C ? a ? b ? c 2ab
2 2 2
2 2

2

2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角; (解唯一) (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (解唯一) : (3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图 1). 环球雅思 www.ielts.com.cn
1

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西

α

东 目标 α

i?

h l

h

南 B



θ

l
l

图1

图2

图3

图4

2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 ? (如图 2). 3、方向角 相对于某一正方向的水平角(如图 3). 4、坡角:坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图 4). 坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度(或坡比) 【经典例题】 1、 (2012 天津理)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b =5c , C =2 B ,则 cos C ? ( A.



7 25

B. ?

7 25

C. ?

7 25

D.

24 25

【答案】A 【解析】?8b ? 5c, 由正弦定理得 8sin B ? 5sin C ,又?C ? 2B ,?8sin B ? 5sin 2B , 所以 8sin B ? 10sin B cos B ,易知 sin B ? 0,? cos B ?

4 7 . , cos C ? cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 5 25

o 2、 (2009 广东文)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ?

( A.2 【答案】 A 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos 30 ?
0 0 0 0 0 0 0

)

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

2? 6 4

0 0 由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?

1 2

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2

中国教育培训领军品牌 由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
)

3、 (2011 浙江)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos2 B ? ( A.-

1 2

B.

1 2

C. -1

D. 1

【答案】D 【解析】∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin 2 B , ∴ sin A cos A ? cos2 B ? sin 2 B ? cos2 B ? 1 . 4、 (2012 福建文)在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ? 【答案】 2

3 ,则 AC ? _______.

【解析】由正弦定理得

AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

5、 (2011 北京)在 ? ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

?

1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

.

【答案】

5 2 3

【解析】 :由正弦定理得

a 5 5 2 a b ? 1 又 b ? 5, ?B ? ,sin A ? 所以 ? ,a ? ? 1 ? 3 sin A sin B 4 3 sin 3 4
3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ______ 5 13

6、 (2012 重庆理)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? 【答案】 c ?

14 5 3 5 4 12 , cos B ? ? sin A ? ,sin B ? , 5 13 5 13

【解析】由 cos A ?

4 3? b sin A a b 5 ? 13 , ? 由正弦定理 得a ? ? 12 sin B 5 sin A sin B 13
由余弦定理 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2bc cos A ? 25c 2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ?

14 5

7、 (2011 全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B . (I)求 B; (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

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3

中国教育培训领军品牌 【解析】 (I)由正弦定理得 a ? c ? 2ac ? b
2 2 2

由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B . 故 cos B ?

2 ,因此 B ? 45? 2

(II) sin A ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30? cos 45? ? cos30? sin 45? ?
? ?

2? 6 4

故 a ? b?

sin A 2? 6 ? ? 1? 3 sin B 2

c ? b?

sin C sin 60? ? 2? ? 6. sin B sin 45?

8、 (2012 江西文)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.

?3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C ? 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 ? ? 【解析】 (1) ? 3cos( B ? C ) ? ?1 ? 1 ? cos(? ? A) ? ? ? 3 ?
(2)由(1)得 sin A ?

则 cos A ?

1 . 3

2 2 ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理 3

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? 9 1 cos A ? ? ? 则 b 2 ? c 2 ? 13 ②, 2bc 12 3
①②两式联立可得 ?

?b ? 3 ? ?a ? 2 ?

或?

?a ? 3 ? ?b ? 2 ?

.

9、 (2011 安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 ,1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 , 求边 BC 上的高.

【解析】 :∵A+B+C=180° ,所以 B+C=A, 环球雅思 www.ielts.com.cn
4

中国教育培训领军品牌 又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180 ? A) ? 0 ,
?

即 1 ? 2cos A ? 0 , cos A ?

1 , 2

又 0° <A<180° ,所以 A=60° .

b sin A 2 sin 60? 2 a b ? ? 在△ABC 中,由正弦定理 得 sin B ? , ? a 2 3 sin A sin B
又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45° ,C=75° , ∴BC 边上的高 AD=AC· sinC= 2 sin 75 ?
?

2 sin(45? ? 30? )

? 2(sin 45? cos 30? ? cos 45? sin 30? )

? 2(

2 3 2 1 3 ?1 ? ? ? )? . 2 2 2 2 2

10、 (2012 辽宁理)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (I)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值. 【解析】 (I)由已知 2 B ? A ? C , A ? B ? C ? ? ,? B ?
2

?
3

, cos B ?
2

1 2 3 , 4

(Ⅱ)解法一: b ? ac ,由正弦定理得 sin A sin C ? sin B ? 解法二: b ? ac,
2

1 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2 2 ? cos B ? ? ,由此得 a ? b ? ac ? ac ,得 a ? c 2 2ac 2ac

所以 A ? B ? C ?

?
3

,sin A sin C ?

3 4

【课堂练习】
1、 (2012 广东文)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. )

3 2 2、 (2011 四川)在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是( ? ? ? ? A. (0, ] B. [ , ? ) C. (0, ] D. [ , ? ) 6 3 6 3



3、 (2012 陕西理)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 2c 2 ,则 cos C 的最小值为(



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5

中国教育培训领军品牌 A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2
2

4、 (2012 陕西)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,若 a 值为( )

? b2 ? 2c 2 ,则 cos C 的最小

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2
)

5、 (2011 天津) 如图, 在△ABC 中, 是边 AC 上的点, AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2 BD 则 sinC 的值为( D 且

A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6
b ?( a


6、 (2011 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a ,则 A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2

7 、 2012 湖 北 文 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C , 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 三 边 的 长 为 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且 (

A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C 为(
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3

) D.6∶5∶4
0 0

8、 (2011 上海)在相距 2 千米的 A . B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,则 A C 两点之间的距 离是 千米。

9、(2012 重庆文)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2, C ? cos 10、 (2012 北京文)在△ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ?

?
3

1 ,则 sin B ? ____ 4

,则 ?C 的大小为___________.

11、 (2012 陕西文)在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B= 12、 (2012 北京理)在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ?

?
6

,c=2 3 ,则 b=______

1 ,则 b ? ___________. 4

13、已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________. 14、 如图所示, 货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角)为 140° 的方向航行, 为了确定船位, 船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110° , 航行半小时后船到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少?

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6

中国教育培训领军品牌 15、 (2009 安徽理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 16、 (2012 安徽文)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,且有 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C (Ⅰ)求角 A 的大小; (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 17、 (2011 江苏)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

1 . 3

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
18、 (2012 天津文)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的分别是 a, b, c .已知 a ? 2, c ? (I)求 sin C 和 b 的值; (II)求 cos(2 A ?

?

2, cos A ? ?

2 . 4

?
3

) 的值.

19、 (2010 陕西)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观 测点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号, 的 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救, 其 航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 20 、 我 炮 兵 阵 地 位 于 地 面 A 处 , 两 观 察 所 分 别 位 于 地 面 点 C 和 D 处 , 已 知

?

?

A

CD ? 6000 米, ?ACD ? 45? , ?ADC ? 75? ,目标出现于地面点 B 处时,测
得 ?BCD ? 30? , ?BDC ? 15? (如图) ,求炮兵阵地到目标的距离(结果保留 根号).

C

45? 30?

75? 15?

D

【课后作业】
12 ,则 cos A ? ( ) 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13 12 2、 (2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? , 则 cos A ? ( 5
1、 (2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? 环球雅思 www.ielts.com.cn
7

)

中国教育培训领军品牌 A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

D. ?

12 13


3、 (2012 湖南文)在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60° BC 边上的高等于( ,则

A.

3 2
π 3

B.

3 3 2
2π 3

C.

3? 6 2
3π 4

D.

3 ? 39 4
) 5π 6

4、在△ABC 中,若 sin2A=sin2B+sin2C+sinB· sinC,则角 A 等于( A. B. C. D. )

5、在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、在△ABC 中,a∶b∶c=1∶5∶6,则 sinA∶sinB∶sinC 等于 A.1∶5∶6 B.6∶5∶1 C.6∶1∶5 ( ) D.不确定 , AC 的取值范围为 .

7、 (2009 湖南文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A
. .

8、 (2012 湖北理) 设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? _________. 20 3 9、在△ABC 中,已知 c=10 2 ,C=60° ,a= ,则∠A= 3 a tanA = ,则△ABC 是 b2 tanB
2

10、在△ABC 中,已知三边满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则∠C 等于 11、在△ABC 中,若 .

12、在△ABC 中,已知 B=135° ,C=15° ,a=5,那么此三角形的最大边的长是 13、在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3 sinAsinC,求 B 的度数.

.

14、如图,在△ABC 中,已知角 B=45° ,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求 AB.

15、 (2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b.
16、 (2009 浙江理)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

? A 2 5 ??? ???? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

17、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 依次成等差数列,又三边 a、b、c 依次成等比数列,求证:该三角形为正三 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 角形. 18、 (2011 山东) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 (Ⅰ)求

cos A ? 2cos C 2c ? a , ? cos B b


sin C 1 的值; (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S。 sin A 4

19、某观测站 C 在目标 A 南偏西 25? 方向,从 A 出发有一条南偏东 35? 走向的公路,在 走 C 处测得公路上与 C 相距 31 千米的 B 处有一人正沿此公路向 A 走去, 20 千米到达

A
25?



D ,此时测得 CD 距离为 21 千米,求此人所在 D 处距 A 还有多少千米?
C

21

35? D
20

31
20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 20250 m,速度为 山顶的俯角为 18?30 ,经过 120 秒后又看到山顶的俯角为 81? ,求山顶的海拔
'

B

180 km/h,飞行员先看到

高度(精确到 1 m).

A B D

M

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【参考答案】
【课堂练习】 1-7、BCCCD DD 8、 6

9、

15 4

10、

?
2

11、2 12、4 13、 ?

2 4

14、10 2 km 15、 sin A ?

3 S? ABC ? 3 2 3 ,

16、 A ? 17、 A ?

?
3

, AD ?

7 2

?
3

,sin C ?

1 3
cos(2 A ?

18、 sin C =

7 ,b ?1 4

?
3

)?

?3 ? 21 8

19、需要 1 小时 20、 1000 42 米 【课后作业】 1-6、DDBBDA 7、2, ( 2 , 3 ) 8、

2? 3

9、45° 10、60° 11、等腰或直角三角形 12、5 2 13、B=150°

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中国教育培训领军品牌 5 6 14、 2 15、 b ? 4或b ? 0(舍) 16、? S?ABC ?

1 bc sin A ? 2 ? a ? 2 5 2 ,

17、证法一:∵A、B、C 成等差数列,则 2B=A+C, 又 A+B+C=180° ,∴3B=180° ,∴B=60° , 2 再由 a、b、c 成等比数列,可得 b =ac, 因此用余弦定理 1 b2=a2+c2-2accosB,∴ac=a2+c2-2ac· , 2 即(a-c)2=0,∴a=c,A=C 又 B=60° ,∴△ABC 为正三角形. 18、

15 sin C ?2,S ? 4 sin A

19、15 千米 20、18130m

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