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福建省南安第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

时间:2016-02-18


南安一中 2015~2016 学年度上学期期末考 高一数学科试卷

考试内容为:必修 2。分第 I 卷和第 II 卷,共 4 页,满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的 姓名、准考证号填写在答题纸上。 2. 考生作答时, 请将答案答在答题纸上, 在本试卷上答题无效。 按照题号在各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答

案无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题纸纸面清洁,不破损。考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.球的半径扩大为原来的 2 倍,则其表面积扩大为原来的 A.2 倍 B.4 倍 C.6 倍 ( ) D.8 倍 ( C.90° )

2.直线 x ? y ? 2 ? 0 的倾斜角的大小是 A.30° B.45°

D.135° ( )

3. 直线 2 x ? y ? 7 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的交点是 A. (3, ?1) B. (?3,1) C. (?3, ?1)

D. (3,1)

4.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面 图形的面积是 A.2+ 2 1+ 2 B. 2 2+ 2 C. 2 ( ) D.1+ 2 )

5.圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

6. 如图, 在正方体 ABCD ? A 则异面直线 AC 和 MN M 、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 1B 1C1D 1 中, 所成的角为 A. 30 ? B. 45 ? C . 60 ? ( ) D. 90 ?

7.已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面, 下面四个命题中 正确的是 A. 若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ? ( )

B.若 m // ? , m ? n ,则 n ? ? D. 若 m ? n, m ? ? ,则 n ∥ ?

8.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形, 则该三棱锥的侧视图可能为 ( )
1

9. 直线 l 过点 P (-1,2)且与以点 M (-3,-2)、 N (4,0)为 端点的线段恒相交,则 l 的斜率取值范 围是 ( ) 2 2 A.[- ,5] B.[- ,0)∪(0,2] 5 5 2 2 C.(-∞,- ]∪[5,+∞) D.(-∞,- ]∪[2,+∞) 5 5 10.直线 y ? kx ? 1 与圆 ( x ? 2) 2 ? ? y ? 1? ? 4 相交于 P、Q 两点。若| PQ | ? 2 2 ,则 k 的取值范围是
2

( A. [ ?

) B. [?

3 ,0 ] 4

3 3 , ] 3 3

C. [ ?1,1]

D. [? 3, 3]

11. 如图,直三棱柱 ABC?A1B1C1 的六个顶点都在半径为 2 的半球面上,AB =AC,侧面 BCC1B1 是半球底面 圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为 A. 4 2 B. 2 2 ( C. 2
2

) D. 2 上

12. 已知平面上两点 A(?a,0), B(a,0) (a ? 0) , 若圆 ( x ? 3) 存在点 P,使得 ?APB ? 90? ,则 a 的取值范围是 A. [3,6] B. [3,7] C. [4,6]

? ( y ? 4) 2 ? 4




D. [0,7]

二.填空题:(每题 4 分,共 16 分) 13.已知直线 y ? kx ? 2k ? 1 .则直线恒经过的定点 .
侧视图

14.设 O 为原点,点 M 在圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 上运动,则 | OM | 的最大值为 .

15.某空间几何体的三视图如 右 图所示,则该几何体的体积为________.

16. 如图, ?ABC 为等 腰直角三角形, ?BAC ? 90? , AB ? 2, BD ? 1 , 束光线从点 D 射入,先后经过斜边 BC 与直角边 AC 反射后,恰好从

C

一 点

D 射出,则该光线在三角形内 部所走的路程是____________.
三.解答题:(共 76 分) 17.已知平面内两点 M (2,?2), N (4,4) . (Ⅰ)求 MN 的中 垂线方程;
2 A D B

(Ⅱ)求过点 P(2,?3) 且与直线 MN 平行的直线 l 的方程.

18. 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,E、F 分别为 AC、BC 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 PAB ; (Ⅱ)若平面 PAC ? 平面 ABC ,且 PA ? PC , ?ABC ? 90 ?, 求证: BC ? 平面 PEF

19. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点, (Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB (Ⅱ)证明:平面 BDE ? 平面 PCB

20、如图是某圆 拱桥的示意图.这个圆 拱桥的水面跨度 AB ? 24 m,拱高 OP ? 8 m.现有一船,宽 10m, . . 水面以上高 6 m,这条船能从桥下通过吗?为什么?
P

A O

B

3

21 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AC ? CD , ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. P (Ⅰ)证明: AE ? 平面 PCD ; (Ⅱ)求 PB 和平面 PAC 所成的角的正切值.

E A B
C

D

22.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 ,过原点的直线 l 与其交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求直线 l 斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)求线段 AB 的中点 P 的轨迹 ? 的方程; (Ⅲ)若直线 m : y ? ax ? 4 与曲线 ? 只有一个公共点,求 a 的取值范围。

4

南安一中 2015~2016 学年度上学期期末考高一数学科试卷答案 参考答案 一、选择题: 1-12:BBDACC 二、填空题: 13. (?2,1) 三、解答题: 17.解:(1)易求得 MN 的中点坐标为 (3,1) ……………(2 分) 又 k MN ? 14.6 15. 264 16. CBDCAB 2 , 4 , 6

10

4 ? (?2) 1 ? 3 ,所以 MN 的中垂线的斜率为 ? ,……………(6 分) 4?2 3 1 MN 的中垂线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 3) 即 x ? 3 y ? 6 ? 0 .……………(8 分) 3

(2)由(1)知 k MN ? 3 ,所以直线 l 的方程为 y ? 3 ? 3( x ? 2) ,……………(10 分) 即 3x ? y ? 9 ? 0 .……………(12 分) 18.证明: (1)? E , F 分别是 AC , BC 的中点,? EF // AB 。 又 EF ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ? EF // 平面 PAB .………………(6 分) (2)在三角形 PAC 中,? PA ? PC , E 为 AC 中点,

? PE ? AC ? 平 面 PAC ? 平 面 ABC , 平 面 PAC ? 平 面 ABC ? A, C ? PE ? 平面 ABC 。 ? PE ? BC
又 EF // AB, ?ABC ? 90? ,

? EF ? BC ,又 EF ? PE ? E , ? BC ? 平面 PEF ………………(12 分)
19. (1)连接 AC 交 BD 于 O ,连接 OE ∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 中点,∵在 ?PAC 中, E 是 PC 的中点, ∴ OE / / PA …(3 分) ∵ OE ? 平面 EDB , PA ? 平面 EDB ,∴ PA / / 平面 EDB ………………(5 分) (2)∵侧棱 PD ⊥底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BC ∵底面 ABCD 是正方形,∴ DC ? BC ∵ PD 与 DC 为平面 PCD 内两条相交直线,∴ BC ? 平面 PCD …(8 分) C D A B
5

P E

∵ DE ? 平面 PCD ,∴ BC ? DE ∵ PD ? CD , E 是 PC 的中点,∴ DE ? PC ∵ PC 与 BC 为平面 PBC 内两条相交直线,∴ DE ? 平面 PBC ………(11 分) ∵ DE ? 平面 BDE ,∴平面 BDE ? 平面 PBC ……………………………(12 分) 20.解:建立如图所示的坐标系,依题意,有

A? ?12,0? ,B ?12,0? ,P ? 0,8? ,D ? ?5,0? ,E ?5,0? ……(2 分)
2 设所求圆的方程是 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r .于是有 2 2

y P

?? a ? 12 ?2 ? b 2 ? r 2 ? 2 ? 2 2 ?? a ? 12 ? ? b ? r , ? 2 2 a ? ? b ? 8? ? r 2 ? ? 解此方程组得 a ? 0,b ? ?5,r ? 13
2

A D O E

B

x

2 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x ? ? y ? 5 ? ? 169 ? 0 ? y ? 8 ? ………(8 分)

把点 D 的横坐标 x ? ?5 代入上式,得 y ? 7 ,………10 分 由于船在水面以上高 6m, 6 ? 7 ,所以该船可以从桥下通过.………(12 分)

P

21. 解: (1)∵在 ?ABC 中, ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , ∴ ?ABC 为等边三角形,∴ PA ? AC … (1 分) ∵在 ?PAC 中, E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC ∵ PA ? 底面 ABCD , CD ? 底面 ABCD ,∴ PA ? CD

E A B
C

D

∵ AC ? CD , PA 与 AC 为平面 PAC 内两条相交直线,∴ CD ? 平面 PAC …(4 分) ∵ AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE ∵ AE ? PC , PC 与 CD 为平面 PCD 内两条相交直线,∴ AE ? 平面 PCD …(6 分) (2)取 AC 中点 F ,连接 BF 、 PF ,设 PA ? AB ? BC ? AC ? 2a ∵在 ?ABC 中, AB ? BC , F 为 AC 中点,∴ BF ? AC ∵ PA ? 底面 ABCD , BF ? 底面 ABCD ,∴ PA ? BF ∵ PA 与 AC 为平面 PAC 内 两条相交直线,∴ BF ? 平面 PAC ∴ PF 为 PB 在平面 PAC 内的射影,∴ ? BPF 为 PB 和平面 PAC 所成的角…(9 分) ∵ PA ? 底面 ABCD , AC ? 底面 ABCD ,∴ PA ? AC ∵ PA ? AB ? BC ? AC ? 2a ,∴ PF ? 5a , BF ? 3a

6

∴在 Rt ?PBF 中, tan ?BPF ?

3a 15 ? 5 5a
15 …………………(12 分) 5

∴ PB 和平面 PAC 所成的角的正切值为

22.(1)由 x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 直线 l 过原点,可设其方程: y ? kx

? 直线 l 与其交于不同 的两点 A, B

?

2k 1? k 2

?1 ??

3 3 ?k? 3 3

(2)设点 P( x, y) ,? 点 P 为线段 AB 的中点, 而曲线 C 是圆心为 C (2,0) ,半径 r ? 1 的圆,? CP ? OP

? k CP ? k OP ?
由?

y?0 y ? ? ?1( x ? 2且x ? 0) 化简得 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 .① x?2 x

2 2 ? 3 3 ?x ? y ? 4x ? 3 ? 0 得x ? ,y ?? 2 2 2 2 ? ?x ? y ? 2x ? 0

A, B 是不同的两点,且点 (2,0) 的坐标满足①
因此点 P( x, y) 满足 x ? y ? 2 x ? 0(
2 2

3 ? x ? 2) ② 2

这是圆心为 O1 (1,0) ,半径为 1 的一段圆弧(不包括端点 M 1 ( ,

3 3 3 3 , ), M 2 ( ,? ) ) 2 2 2 2

反之,可验证以方程②的解 ( x, y ) 为坐标的点 P( x, y) 是曲线 ? 上的一个点,因此②是轨迹 ? 的方程。 (3)设直线 m : y ? ax ? 4 过 D(0,4) 设直线 m 与圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切于点 M ,则有

a?4 1? a
2

? 1 ,解得 a ? ?

15 8

直线 M 1 D 的斜率为 k M1D

3 ?4 3 ?8 2 ? ? 3 3 ?0 2

类似的可得 k M 2 D ?

? 3 ?8 3
7

综上,若直线 m 与曲线 ? 只有一个公共点,

则 a 的取值范围是 a ? ?

15 ? 3 ? 8 3 ?8 或 ?a? 8 3 3

8


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